18.06 · Final Exam 备考指南
期末测验：全课程综合梳理
这份指南帮助你围绕官方真题进行备考复习，梳理重点概念与典型题型。它不包含逐题答案，而是引导你关注核心思路，让你在考场上能独立建模、计算与判断。
覆盖范围：课程全部核心主题（方程组、消元、四个子空间、正交性、最小二乘、行列式、特征值、对角化、对称/正定、SVD、线性变换）前置讲义：第 1–31 课建议用时：120 分钟
考试定位
期末考是对 18.06 31 课的综合考察。它不要求你记住所有公式，而是要求你识别题目属于哪个"模块"，选择最合适的工具，并在不同模块之间建立联系。官方样卷见 exams/final.pdf。
知识地图
18.06 的主线可以概括为"一个方程、两种图像、四个子空间、三种分解"：
| 模块 | 核心问题 | 关键工具 |
|---|
| 方程组与消元 | 解是否存在、是否唯一？ | 高斯消元、秩、LU |
| 四个子空间 | 矩阵把哪些方向映到零？哪些方向可达？ | 列空间、零空间、行空间、左零空间 |
| 正交性与投影 | 超定方程组的最佳近似？ | 法方程、QR、投影矩阵 P |
| 行列式 | 体积缩放因子与可逆性 | 10 条性质、余子式、Cramer 法则 |
| 特征值与对角化 | 矩阵的"指纹"与幂计算 | 特征多项式、SΛS^{-1}、微分方程 |
| 对称与正定 | 优化与二次型的分类 | 谱定理、Sylvester 判据、Cholesky |
| SVD | 任意矩阵的结构 | UΣV^T、低秩近似、四个子空间基 |
| 线性变换 | 矩阵背后的映射 | 基变换、相似、核与像 |
跨模块联系
从最小二乘到 SVD
最小二乘的解 \(\xhat = (A^T A)^{-1}A^T \bvec\) 在 \(A\) 列不满秩时失效。SVD 给出通解 \(\xhat = V \Sigma^+ U^T \bvec\)，其中 \(\Sigma^+\) 是伪逆（pseudoinverse）。这是课程从"可逆"到"广义可逆"的自然延伸。
从特征值到正定
对称矩阵的特征值全正 ⇔ 正定 ⇔ 二次型开口向上 ⇔ 所有顺序主子式为正。优化、数值代数、统计（协方差矩阵）都依赖这条链。
从投影到 Gram-Schmidt
Gram-Schmidt 的每一步都是投影：\(\vvec_j = \avec_j - \sum_{i < j} \operatorname{proj}_{\qvec_i}(\avec_j)\)。\(Q\) 的列正交意味着 \(A^T A\) 对角化，从而 \(R = Q^T A\) 上三角。
核心洞察：整门课反复使用同一套路——把空间分解为正交子空间，在每个子空间上独立处理，再组合。四个子空间是第一次分解，QR 是第二次，特征分解是第三次，SVD 是最后一次。
常见错误速查
- 把 \(U\) 的主元列当作列空间的基 → 应取原矩阵 \(A\) 的主元列
- 认为 \(A^T A\) 总可逆 → 仅当 \(A\) 列满秩时可逆
- 认为不同特征值只是可对角化的充分条件 → 本质是几何重数 = 代数重数
- Gram-Schmidt 只减一个投影 → 要减所有前面的投影
- 混淆相似 \(M^{-1}AM\) 与合同 \(M^T AM\) → 对称矩阵用正交对角化 \(Q^T A Q\)
- 投影矩阵乘列向量时忘了 \(P\bvec\) 才是投影结果 → \(P\) 作用在向量上，不是 \(A\bvec\)
| 场景 | 公式 |
|---|
| 投影矩阵 | \(P = A(A^T A)^{-1}A^T\)，满足 \(P^2 = P^T = P\) |
| 法方程 | \(A^T A \xhat = A^T \bvec\) |
| 特征多项式（2×2） | \(\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0\) |
| 谱分解（对称） | \(A = Q\Lambda Q^T = \sum_i \lambda_i \qvec_i \qvec_i^T\) |
| SVD | \(A = U\Sigma V^T\)，\(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^T A)}\) |
| 正定判据（2×2） | \(a > 0,\; ac - b^2 > 0\) |
| 秩-零化度 | \(\dim N(A) = n - r\)，\(\dim N(A^T) = m - r\) |
| 行列式与可逆 | \(\det A \neq 0 \iff A^{-1}\) 存在 |
考场策略
- 通卷分类：先快速浏览，把题目归入"消元/子空间""投影/最小二乘""特征值/对角化""SVD/变换"四类。
- 先拿概念分：判断题、选择题、简答往往不需要计算，先拿下。
- 消元是通用工具：遇到不确定的矩阵题，先消元到 \(U\) 或 \(R\)，秩与主元会告诉你大部分信息。
- 检查对称性：如果矩阵对称，立刻用谱定理——特征值实、特征向量正交、SVD 与特征分解重合。
- 最后 5 分钟：检查主元列是否来自原矩阵、投影矩阵是否幂等、特征向量是否归一、行列式符号是否正确。
时间分配提醒：期末考 120 分钟，题量较大。建议每道大题控制在 15 分钟内，留 15 分钟检查。遇到复杂计算先跳过，确保所有题目都有时间作答。
备考自测
问题 1：下列哪种分解能同时给出矩阵的列空间、零空间、行空间、左零空间的标准正交基？
问题 2：\(n \times n\) 矩阵可对角化的充要条件是？
问题 3：若对称矩阵 \(A\) 正定，则下列哪项必然成立？
备考要点
一个方程贯穿全课
\(A\xvec = \bvec\) 是 18.06 的主题：从消元的直接解，到最小二乘的近似解，到特征展开的模态解，到 SVD 的广义解——每种解法对应一类矩阵结构。
分解是理解矩阵的钥匙
LU 揭示消元过程，QR 揭示正交化，对角化揭示动力学，SVD 揭示几何结构。每种分解都是一套"语言"。
对称矩阵是"最友好"的矩阵
实谱、正交特征向量、可对角化、正定判据清晰——遇到对称矩阵，所有工具都可用且互相印证。
四个子空间是几何直觉
行空间与零空间、列空间与左零空间——这两对正交补是投影、最小二乘、SVD 的共同几何基础。
完整题目清单
共 9 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 考试日期：2010年5月18日，教授：Strang
- 填写打印姓名与习题课号
覆盖范围
- LU分解、行最简形、零空间
- 最小二乘拟合
- 矩阵方程与列空间
- 马尔可夫矩阵与微分方程
- 旋转矩阵与投影特征值
- \(A^T A\) 与 \(A A^T\) 的特征值、Gram-Schmidt、正定性
- 行列式与代数余子式
- 矩阵幂零性与子空间
- 网络关联矩阵与基尔霍夫定律
题目 1
LU分解与零空间
LU分解 · 行最简形 · 零空间 · 完整解 · 列独立
官方题面翻译可离线作答
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 3 & 9 \end{bmatrix}\)
- (a) 求下三角矩阵 \(L\) 和上三角矩阵 \(U\)，使得 \(A = LU\)。
- (b) 求行最简形 \(R = \mathrm{rref}(A)\)。\(A\) 有多少个列独立（线性无关列）？
- (c) 求 \(A\) 的零空间（nullspace）的一组基。
- (d) 若 \(b\) 为 \(A\) 的四列之和，写出 \(Ax = b\) 的完整解。
公式与已知条件
- \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 3 & 9 \end{bmatrix}\)
- \(b\) 为 \(A\) 的四列之和，即 \(b = \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 21 \end{bmatrix}\)
解题入口对 \(A\) 作行消元得到 \(U\)，消元乘子构成下三角矩阵 \(L\)。完整解等于一个特解加上零空间通解。
完成后检查
- 验证 \(L \cdot U\) 是否等于 \(A\)。
- 将特解代入 \(Ax = b\) 验证等式成立。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第1页。
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题目 2
最小二乘拟合
最小二乘 · 法方程 · 投影
官方题面翻译可离线作答
求曲线 \(y = C + D \cdot 2^t\) 对点 \((t, y) = (0, 6), (1, 4), (2, 0)\) 的最小二乘拟合。
- (a) 写出曲线经过全部 3 个点时应满足的 3 个方程。
- (b) 求最佳曲线 \(y = C + D \cdot 2^t\) 的系数 \(C\) 和 \(D\)。
- (c) \(t = 0, 1, 2\) 时 \(y\) 应取何值，才能使最佳曲线为 \(y = 0\)？
公式与已知条件
- 数据点：\((0, 6), (1, 4), (2, 0)\)
- 三个方程：\(C + D = 6\)，\(C + 2D = 4\)，\(C + 4D = 0\)
- \(A^T A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 7 & 21 \end{bmatrix}\)；\(A^T b = \begin{bmatrix} 10 \\ 14 \end{bmatrix}\)
解题入口建立超定方程组 \(Ax = b\)，通过法方程 \(A^T A \hat{x} = A^T b\) 求解。\(y = 0\) 当且仅当 \(b\) 属于 \(A\) 的左零空间。
完成后检查
- 将求得的 \(C\)、\(D\) 代入原方程，验证等式成立。
- 检查残差向量是否与 \(A\) 的列空间正交。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第2页。
来源：exams/final.pdf · 2
题目 3
矩阵方程 Av_i = b_i
矩阵方程 · 列空间 · 可逆性
官方题面翻译可离线作答
设 \(Av_i = b_i\)，\(i = 1, \ldots, n\)，其中 \(v_i, b_i \in \mathbb{R}^n\)。将 \(v_i\) 作为矩阵 \(V\) 的列，\(b_i\) 作为矩阵 \(B\) 的列。
- (a) 将方程组写成矩阵形式。\(v_i\) 满足什么条件时 \(A\) 能被唯一确定？用 \(V\) 和 \(B\) 表示 \(A\)。
- (b) 用已知向量描述 \(A\) 的列空间（column space）。
- (c) \(b_i\) 满足什么额外条件时 \(A\) 可逆？用 \(V\) 和 \(B\) 表示 \(A^{-1}\)。
解题入口矩阵乘法按列理解：\(AV = [Av_1 \ \cdots \ Av_n] = [b_1 \ \cdots \ b_n] = B\)。\(V\) 可逆当且仅当 \(v_i\) 线性无关。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第3页。
来源：exams/final.pdf · 3
题目 4
马尔可夫矩阵与微分方程
马尔可夫矩阵 · 稳态 · 微分方程组 · 特征值 · 特征向量
官方题面翻译可离线作答
\(x_k\) 为偏好微积分的 MIT 学生比例，\(y_k = 1 - x_k\) 为偏好线性代数的比例。
- (a) 每年 \(k+1\)，\(1/5\) 的微积分偏好者改变主意，\(1/10\) 的线代偏好者改变主意。构造矩阵 \(A\) 使得 \(\begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \end{bmatrix}\)，并求 \(k \to \infty\) 时 \(A^k\) 的极限。
- (b) 解微分方程组 \(dx/dt = 3x - 4y\)，\(dy/dt = 2x - 3y\)，初值 \(x(0) = 1\)，\(y(0) = 0\)。
- (c) 什么初值使解在所有 \(t\) 时刻位于 \(\mathbb{R}^2\) 中同一直线上？
公式与已知条件
- 微分方程系数矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\)
解题入口马尔可夫矩阵列和为 1，\(\lambda = 1\) 必为特征值，对应特征向量为稳态分布。微分方程通过特征值/特征向量展开初值求解。
完成后检查
- 验证 \(A^k\) 的每列是否趋于同一稳态向量。
- 验证解在 \(t = 0\) 时是否满足给定初值。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第4页。
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题目 5
旋转矩阵与投影特征值
旋转矩阵 · 特征值 · 投影矩阵 · 特征向量
官方题面翻译可离线作答
绕轴 \(x = y = z\) 旋转 \(120^\circ\)。
- (a) 证明 \(i = (1, 0, 0)\) 旋转到 \(j = (0, 1, 0)\)。\(j - i\) 与轴向量的关系是什么？
- (b) 求产生此旋转的矩阵 \(A\)。解释为什么 \(A^3 = I\)。求 \(A\) 的特征值。
- (c) 若 \(3 \times 3\) 矩阵 \(P\) 将每个向量投影到平面 \(x + 2y + z = 0\) 上，求 \(P\) 的三个特征值和三个线性无关的特征向量（不必计算 \(P\)）。
解题入口旋转矩阵保持轴向不变（\(\lambda = 1\)），垂直平面内向量旋转 \(120^\circ\)。投影矩阵的特征值由投影方向决定，先分析法向与平面内向量的变换。
完成后检查
- 验证 \(A^3 = I\)。
- 注意投影矩阵特征值的分布（法向与平面内不同）。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第5页。
来源：exams/final.pdf · 5
题目 6
A^T A、A A^T 与 Gram-Schmidt
A^T A · A A^T · 特征值 · Gram-Schmidt · 正定性 · 秩
官方题面翻译可离线作答
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\)
- (a) 求 \(A^T A\) 和 \(A A^T\) 的特征值，并对两者各求一组完整的正交规范特征向量。
- (b) 对 \(A\) 的列作 Gram-Schmidt 正交规范化，输出结果是什么？
- (c) 若 \(A\) 为 \(m \times n\) 且 \(m > n\)，为什么 \(A A^T\) 不能正定？\(A^T A\) 是否总是正定？
公式与已知条件
- \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\)
- \(A^T A = \begin{bmatrix} 14 & 28 \\ 28 & 56 \end{bmatrix}\)
- \(A A^T = \begin{bmatrix} 5 & 10 & 15 \\ 10 & 20 & 30 \\ 15 & 30 & 45 \end{bmatrix}\)
解题入口\(A^T A\) 与 \(A A^T\) 共享非零特征值。对线性相关列作 Gram-Schmidt 会在某一步得到零向量。
完成后检查
- 验证 \(A^T A\) 的特征值之和是否等于迹（\(14 + 56 = 70\)）。
- 验证 \(A A^T\) 的特征值之和是否等于迹（\(5 + 20 + 45 = 70\)）。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第6页。
来源：exams/final.pdf · 6
题目 7
4×4 矩阵的行列式
行列式 · 代数余子式 · 体积 · 行线性性
官方题面翻译可离线作答
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)；\(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)；\(C = \begin{bmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
- (a) 求 \(\det A\) 并说明理由。
- (b) 求代数余子式 \(C_{11}\)，然后求 \(\det B\)。这是 \(\mathbb{R}^4\) 中什么区域的体积？
- (c) 对任意 \(x\) 求 \(\det C\)。可利用第 1 行的线性性质。
公式与已知条件
- \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)；\(A\) 的第 1、2 行相同
- \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)；\(B\) 与 \(A\) 仅第 1 行不同
- \(C = \begin{bmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)；\(C\) 的第 1 行含参数 \(x\)
解题入口两行相等则行列式为 0。对 \(C\) 的第 1 行利用行列式的线性性质，拆分为含 \(x\) 项与常数项。
完成后检查
- 取 \(x = 1\) 验证 \(C = A\)，此时 \(\det C\) 应与 \(\det A\) 一致。
- 检查代数余子式的符号是否正确。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第7页。
来源：exams/final.pdf · 7
题目 8
矩阵幂零性与子空间
相似矩阵 · 矩阵幂 · 子空间 · 对角化 · 基
官方题面翻译可离线作答
关于相似矩阵与可对角化矩阵。
- (a) 证明：若 \(A^k \to 0\)（\(k \to \infty\)），则 \(B^k \to 0\)（\(B\) 相似于 \(A\)）。
- (b) 设 \(S\) 为固定的可逆 \(3 \times 3\) 矩阵。所有被 \(S\) 对角化的矩阵 \(A\)（即 \(S^{-1}AS\) 为对角阵）构成 \(3 \times 3\) 矩阵空间的子空间。验证子空间条件。
- (c) 给出 \(3 \times 3\) 对角矩阵空间的一组基。给出 (b) 中矩阵子空间的一组基。
公式与已知条件
- \(B = M^{-1} A M\)（相似定义）
- \(A^k \to 0 \iff\) 所有特征值 \(|\lambda| < 1\)
解题入口相似矩阵具有相同特征值，故 \(A^k \to 0\) 等价于 \(B^k \to 0\)。验证子空间需检查对加法和数乘的封闭性。
完成后检查
- 验证 \(S^{-1}(cA_1 + dA_2)S\) 是否为对角阵（对角阵之和仍为对角阵）。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第8页。
来源：exams/final.pdf · 8
题目 9
网络关联矩阵与电路
关联矩阵 · A^T A · 基尔霍夫电流定律 · 网络
依据本地资料重建可离线作答
完全图 \(K_4\) 有 4 个节点和 6 条边，每对节点之间均有边相连。每条边正电流 \(w_i > 0\) 从低节点号流向高节点号。节点电压为 \((v_1, v_2, v_3, v_4)\)。
- (a) 写出关联矩阵 \(A\)（\(Av\) 给出 6 个电压差如 \(v_2 - v_1\)）。\(A\) 的秩？\(A^T\) 零空间的维数？
- (b) 计算 \(A^T A\)。秩？零空间？
- (c) 设 \(v_1 = 1\)，\(v_4 = 0\)。每边为单位电阻，电流 \(w = -Av\)（欧姆定律）。在节点 2、3 应用基尔霍夫电流定律（KCL），得 \((A^T A v)_2 = 0\)，\((A^T A v)_3 = 0\)。求解 \(v_2\)、\(v_3\)。求所有 6 个电流 \(w_1, \ldots, w_6\)。流入节点 4 的电流是多少？
公式与已知条件
- \(A\) 为 \(6 \times 4\) 关联矩阵（边 × 节点），完全图 \(K_4\) 含 4 节点 6 边
- \(A^T A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\)
解题入口关联矩阵每行在低节点处为 \(-1\)、高节点处为 \(+1\)，\(A^T A\) 为图拉普拉斯矩阵。在节点 2、3 应用 KCL，结合 \(v_1 = 1\)、\(v_4 = 0\) 求解。
完成后检查
- 验证 \(A^T A\) 的零空间是否为等电位向量 \((1,1,1,1)\)。
- 检查 KCL 在节点 2、3 是否满足。
来源：MIT 18.06 期末考试（2010年5月18日，Strang教授），exams/final.pdf 第9页。原题条件存在矛盾，此处依据本地资料重建题面。
来源：exams/final.pdf · 9
来源与改编说明
- 第9题(c)：原题所给条件 v1=1, v4=0 与 A^T A v=0 矛盾（原解答已致歉），此处依据对称性和KCL重建题面，在节点 2、3 应用 KCL 求解。
- 第5题(c)：原解答给出投影矩阵 P 三个特征值均为 0（法向与平面内两向量），与通常平面投影（平面内 λ=1）不同。此处已修正提示与检查项，避免泄露错误答案。
- 第9题(c)：流入节点 4 的电流原解答写作'21'，疑为 OCR 误识，实际值存在不确定性，建议通过 KCL 自行核算。
一手资料
exams/final.pdfexams/final_sol.pdf