18.06 · 第 32 课

第一次阶段复习

从消元法到四大子空间——第 1–12 课构建了线性代数的核心框架。本课以典型问题串联：秩、零空间、列空间、线性无关，以及 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 解的存在性与唯一性。

授课：Prof. Gilbert Strang日期：2010-04-26难度：中等（复习）

复习目标

运用高斯消元将矩阵化为行阶梯形与行最简形（RREF）
计算矩阵的秩并找到列空间与行空间的基
求解零空间并写出通解形式
判断 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 何时有解、解是否唯一
理解四个基本子空间及其维数关系

知识地图：第 1–12 课

课次	主题	核心工具
L1–L2	线性方程组与消元	行操作、主元、回代
L3–L4	矩阵运算与 LU 分解	矩阵乘法、逆、\(A = LU\)
L5	转置与置换	对称矩阵、置换矩阵 \(P\)
L6–L7	向量空间与零空间	子空间、\(N(A)\)、特解
L8	\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的可解性	列空间条件、通解结构
L9–L10	线性无关、基、维数	RREF 判基、维数定理
L11	四大子空间	\(C(A), N(A), C(A^T), N(A^T)\)
L12	图与网络	关联矩阵、Kirchhoff 定律

核心解题技巧

1. 求秩与基

将 \(A\) 通过行消元化为行阶梯形（echelon form）。主元列数 = 秩。主元列对应的原矩阵列构成列空间的基；非零行构成行空间的基。

2. 求零空间

将 \(A\) 化为 RREF，识别主变量与自由变量。对每个自由变量取 1、其余自由变量取 0，回代求得主变量——得到一个特解。所有特解的线性组合构成零空间。

3. \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 可解性

方程有解当且仅当 \(\mathbf{b} \in C(A)\)，即 \(\mathbf{b}\) 与 \(A^T\) 的零空间正交：\(\mathbf{y}^T \mathbf{b} = 0\) 对所有 \(A^T \mathbf{y} = \mathbf{0}\) 成立。

4. 通解结构

若 \(\mathbf{x}_p\) 是一个特解（\(A\mathbf{x}_p = \mathbf{b}\)），则通解为：

\[\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n, \quad \mathbf{x}_n \in N(A)\]

四大子空间维数关系：

\(\dim C(A) = \dim C(A^T) = r\)（秩）
\(\dim N(A) = n - r\)（零化度）
\(\dim N(A^T) = m - r\)（左零化度）
\(C(A) \perp N(A^T)\)，\(C(A^T) \perp N(A)\)

典型考题类型

常见陷阱：

行空间的基来自 RREF 的非零行，但列空间的基必须来自原矩阵的对应列
忘记检查 \(\mathbf{b}\) 条件就写通解
把"线性无关"与"生成空间"混淆——基要求两者同时满足

\(3 \times 4\) 矩阵的秩为 2，求四个子空间的维数并给出可能的基。
判断 \(\mathbf{b} = (1,2,5)^T\) 是否在 \(A\) 的列空间中。
已知 \(A\) 的零空间基，写出 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的通解。
给定图的关联矩阵，求其零空间（物理含义：回路）。

知识检查

问题 1：\(m \times n\) 矩阵 \(A\) 的零空间是什么的子空间？

问题 2：\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 有解的充要条件是什么？

问题 3：\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 的通解（如果存在）具有什么形式？

问题 4：关于矩阵四个子空间的基，下列哪项正确？

本课要点

消元是基本工具

高斯消元给出秩、主元列、RREF——几乎所有进一步计算的基础。

四大子空间是框架

列空间与零空间在 \(\mathbb{R}^n\) 中互为正交补的类似，行空间与左零空间在 \(\mathbb{R}^m\) 中互为正交补。

可解性 = 正交条件

\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) 有解当且仅当 \(\mathbf{b}\) 垂直于 \(A^T\) 的零空间——这是贯穿课程的核心判据。

通解 = 特解 + 齐次解

非齐次方程的解集是一个仿射子空间：特解平移零空间。

一手资料

exams/exam1.pdf
exams/exam1_sol.pdf

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