18.06 · Exam 3 备考指南

第三次测验：对称矩阵、SVD 与线性变换

这份指南帮助你围绕官方真题进行备考复习，梳理重点概念与典型题型。它不包含逐题答案，而是引导你关注核心思路，让你在考场上能独立建模、计算与判断。

---

考试定位

Exam 3 是 18.06 的"高阶结构"考试：对称矩阵的谱定理（spectral theorem）把实特征值与正交特征向量锁定，正定判据给出优化的二阶条件，SVD（singular value decomposition）揭示任意矩阵的四个子空间结构，线性变换把矩阵从"数组"提升为"映射"。官方样卷见 exams/exam3.pdf。

核心主题

1. 对称矩阵与谱定理

实对称矩阵 \(A = A^T\) 有三个核心性质：

• 所有特征值都是实数
• 不同特征值对应的特征向量互相正交
• 可以正交对角化：\(A = Q\Lambda Q^T\)，其中 \(Q^T Q = I\)

考试常让你利用这些性质简化计算，例如不用求特征向量就能判断惯性（正、负、零特征值的个数）。

2. 正定矩阵

对称矩阵 \(A\) 正定当且仅当以下任一条件成立：

• 所有特征值 \(\lambda_i > 0\)
• 所有顺序主子式 > 0（Sylvester 判据）
• \(\xvec^T A \xvec > 0\) 对所有非零 \(\xvec\)
• \(A = R^T R\) 且 \(R\) 列满秩（Cholesky 型分解）

3. 相似矩阵

若存在可逆 \(M\) 使得 \(B = M^{-1}AM\)，则 \(A\) 与 \(B\) 相似。相似矩阵共享：特征值、迹、行列式、秩、Jordan 形。考试常给两个矩阵让你判断是否相似，或让你找一个简单的相似标准形（对角或 Jordan）。

4. 奇异值分解 SVD

任何 \(m \times n\) 矩阵都可以分解为：

\[A = U \Sigma V^T\]

其中 \(U\)（\(m \times m\)）和 \(V\)（\(n \times n\)）是正交矩阵，\(\Sigma\) 对角线上的非负奇异值 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\)。

SVD 的几何意义：把 \(V\) 的列（输入空间的标准正交基）映到 \(U\) 的列（输出空间的标准正交基），并伸缩 \(\sigma_i\) 倍。

考试常要求你通过算 \(A^T A\) 的特征值与特征向量得到 \(V\) 和 \(\Sigma\)，再用 \(\uvec_i = \frac{1}{\sigma_i}A\vvec_i\) 得到 \(U\)。

5. Fourier 与复矩阵

在复数域中，内积变为 \(\langle \xvec, \yvec \rangle = \yvec^* \xvec\)（共轭转置）。酉矩阵（unitary）满足 \(Q^* Q = I\)，是复空间中的"正交矩阵"。Fourier 矩阵 \(F\) 是最常用的酉矩阵，其列是单位圆上的等分点。考试常让你验证酉性或用 Fourier 矩阵做快速变换。

6. 线性变换

线性变换 \(T: V \to W\) 满足 \(T(c_1\vvec_1 + c_2\vvec_2) = c_1 T(\vvec_1) + c_2 T(\vvec_2)\)。选定基后，变换对应一个矩阵；基变换时矩阵按 \(B = M^{-1}AM\) 相似变换。考试常让你在两组基之间转换矩阵，或让你找变换的核（kernel）与像（image）。

典型题型思路导引

题型 A：正定判定

对 \(2 \times 2\) 对称矩阵 \(\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}\)，正定等价于 \(a > 0\) 且 \(ac - b^2 > 0\)。更大的矩阵用 Sylvester 判据（所有顺序主子式 > 0）。

题型 B：SVD 计算

步骤：算 \(A^T A\) → 求特征值 \(\lambda_i\) → 奇异值 \(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}\) → 特征向量正交化得 \(V\) → \(\uvec_i = A\vvec_i / \sigma_i\) → 组合成 \(U\Sigma V^T\)。注意重特征值时要正交化。

题型 C：相似与 Jordan 形

判断相似先看特征值与重数，再看几何重数。不可对角化的矩阵需要 Jordan 块——考试常考 \(2 \times 2\) 的单个 Jordan 块 \(J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}\)。

题型 D：线性变换的矩阵

先确定定义域与值域的基，对每个基向量求变换后的像，再把像写成基的坐标，这些坐标就是矩阵的列。

备考自测

备考要点

---

完整题目清单

共 3 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

• 考试日期：2010年5月8日，教授：Strang
• 填写打印姓名与习题课号

覆盖范围

• Householder 对称矩阵与正交性
• 正定矩阵
• 特征值/特征向量与 SVD

题目 1 Householder 矩阵 \(H = I - 2uu^T\) Householder矩阵 · 正交矩阵 · 特征值 · 特征向量 · 可对角化 · 迹

官方题面翻译可离线作答

设 \(u\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中单位向量，\(u^T u=1\)，考虑 \(n\times n\) 对称矩阵 \(H = I - 2uu^T\)

1. (a) 直接验证 \(H^2=I\)。由于 \(H=H^T\)，故 \(H\) 不仅对称而且 ___
2. (b) \(u\) 本身是 \(H\) 的特征向量，求对应特征值
3. (c) 若 \(v\) 垂直于 \(u\)，证明 \(v\) 是 \(H\) 的特征向量并求特征值。该特征值重复多少次？\(H\) 是否可对角化？
4. (d) 求对角元 \(H_{11}\) 和 \(H_{ii}\)（用 \(u_1,\dots,u_n\) 表示）。求 \(H_{11}+\dots+H_{nn}\) 与特征值之和

公式与已知条件

• \(H = I - 2uu^T\)，其中 \(u\) 为单位向量，满足 \(u^T u = 1\)
• \(H\) 为对称矩阵：\(H = H^T\)
• 矩阵迹的定义：\(\operatorname{tr}(H) = H_{11}+H_{22}+\dots+H_{nn}\)

解题入口

将 \(H^2\) 按 \((I-2uu^T)^2\) 展开，利用 \(u^T u=1\) 化简；结合 \(H=H^T\) 与 \(H^2=I\) 推断 \(H\) 的进一步性质

完成后检查

• 验证 \(\operatorname{tr}(H)\) 与特征值之和相等
• 检查属于 \(u\) 的特征值与属于其正交补空间的特征值的重数之和是否为 \(n\)

本题题面与解答参考 exams/exam3.pdf 与 exams/exam3_sol.pdf，经翻译与润色为简体中文，所有条件均已给出，无需外部资料。

来源：exams/exam3.pdf · 1

题目 2 正定矩阵 正定矩阵 · 半正定矩阵 · 合同变换 · 特征值判定 · 能量判定 · 主元判定

官方题面翻译可离线作答

设 \(A\) 为 \(n\times n\) 正定对称矩阵

1. (a) 为何 \(A^{-1}\) 也是正定的？
2. (b) 设 \(Q\) 为任意 \(n\times n\) 正交矩阵，为何 \(QAQ^T = QAQ^{-1}\) 正定？写出所用判定法
3. (c) 证明分块矩阵 \(B=\begin{bmatrix}A & A \\ A & A\end{bmatrix}\) 半正定。为何 \(B\) 不正定？

公式与已知条件

• \(A\) 为对称正定矩阵：\(A=A^T\)，且对任意非零 \(x\in\mathbb{R}^n\) 有 \(x^T A x > 0\)
• \(Q\) 为正交矩阵：\(Q^T Q = Q Q^T = I\)
• \(B = \begin{bmatrix}A & A \\ A & A\end{bmatrix}\)，将向量分块为 \(u=\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\) 时，\(u^T B u = (x+y)^T A (x+y)\)

解题入口

(a) 考虑 \(A^{-1}\) 的特征值与 \(A\) 的特征值的关系；(b) 从能量检验 \(x^T(QAQ^T)x > 0\) 或特征值在合同变换下的不变性入手；(c) 通过 \(u^T B u\) 的符号判断半正定，再结合 \(B\) 的奇异性说明其不正定

完成后检查

• 验证对任意非零 \(x\) 有 \(x^T A^{-1} x > 0\)
• 验证 \(u^T B u \ge 0\) 对一切 \(u\) 成立，并找出使等号成立的非零向量

本题题面与解答参考 exams/exam3.pdf 与 exams/exam3_sol.pdf，经翻译与润色为简体中文，所有条件均已给出，无需外部资料。

来源：exams/exam3.pdf · 2

题目 3 特征值、微分方程与 SVD 特征值 · 特征向量 · 微分方程组 · SVD · A^T A

官方题面翻译可离线作答

\(A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 4 & 0\end{bmatrix}\)

1. (a) 求 \(A\) 的特征值与特征向量。将 \(u(0)=\begin{bmatrix}2 \\ 0\end{bmatrix}\) 写成特征向量的组合
2. (b) 解微分方程 \(du/dt=Au\)，初值 \(u(0)\) 同上。\(u(t)\) 是特征向量的什么组合？
3. (c) 求 SVD \(A=U\Sigma V^T\)：先用 \(A^T A\) 求 \(V\) 和 \(\Sigma\)，再求 \(U\) 的正交规范列

公式与已知条件

• \(A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 4 & 0\end{bmatrix}\)
• 初值条件：\(u(0) = \begin{bmatrix}2 \\ 0\end{bmatrix}\)
• SVD 关系：\(A^T A = V \Sigma^2 V^T\)，\(A v_i = \sigma_i u_i\)

解题入口

由 \(\det(A-\lambda I)=0\) 求特征值，再求特征向量；将初值写成特征向量组合后按 \(e^{\lambda t}\) 写出解；对 SVD，先计算 \(A^T A\) 并特征分解得到 \(V\) 与 \(\Sigma\)，再利用 \(A v_i = \sigma_i u_i\) 求 \(U\)

完成后检查

• 验证奇异值为 \(A^T A\) 特征值的正平方根
• 验证 \(U\) 与 \(V\) 的列向量组均为正交规范组

本题题面与解答参考 exams/exam3.pdf 与 exams/exam3_sol.pdf，经翻译与润色为简体中文，所有条件均已给出，无需外部资料。

来源：exams/exam3.pdf · 3

一手资料

• exams/exam3.pdf
• exams/exam3_sol.pdf