18.06 · Exam 2 备考指南

第二次测验：正交性、最小二乘、行列式与特征值

这份指南帮助你围绕官方真题进行备考复习，梳理重点概念与典型题型。它不包含逐题答案，而是引导你关注核心思路，让你在考场上能独立建模、计算与判断。

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考试定位

Exam 2 是 18.06 的"核心方法"考试：正交投影（orthogonal projection）与最小二乘（least squares）是数据拟合的基石，Gram-Schmidt 给出正交基（orthogonal basis），行列式（determinant）提供体积与可逆性的代数判据，特征值（eigenvalue）与对角化（diagonalization）则开启矩阵幂与微分方程的快速计算。官方样卷见 exams/exam2.pdf。

核心主题

1. 正交子空间与投影

当列空间 \(C(A)\) 与左零空间 \(N(A^T)\) 把 \(\mathbb{R}^m\) 分成两个正交补时，任何向量 \(\bvec\) 都可以唯一分解为 \(\bvec = \bvec_{\parallel} + \bvec_{\perp}\)，其中 \(\bvec_{\parallel} \in C(A)\)，\(\bvec_{\perp} \in N(A^T)\)。投影矩阵 \(P\) 把 \(\bvec\) 映到 \(\bvec_{\parallel}\)：

\[P = A(A^T A)^{-1} A^T\]

考试常让你验证 \(P^2 = P\)（幂等）和 \(P^T = P\)（对称），并指出 \(P\) 与 \(I-P\) 的几何意义。

2. 最小二乘与法方程

超定方程组 \(A\xvec = \bvec\)（\(m > n\)，无解）的最佳近似解是使 \(\|A\xvec - \bvec\|^2\) 最小的 \(\xhat\)。它满足法方程（normal equation）：

\[A^T A \xhat = A^T \bvec\]

当 \(A\) 列满秩时，\(A^T A\) 可逆，\(\xhat = (A^T A)^{-1} A^T \bvec\)。考试常给具体数据让你求拟合直线或平面，或让你解释法方程的几何含义（残差 \(\bvec - A\xhat\) 与列空间垂直）。

3. Gram-Schmidt 正交化

把线性无关的列 \(\avec_1, \dots, \avec_n\) 变成正交基 \(\qvec_1, \dots, \qvec_n\)：每一步减去新向量在已有方向上的投影。写成矩阵形式就是 \(A = QR\)，其中 \(Q\) 列正交、\(R\) 上三角。

4. 行列式

行列式 \(\det(A)\) 的 10 条性质（行线性、行交换变号、\(\det(I) = 1\) 等）是考试的"速算工具"。关键公式：

• \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
• \(\det(A^T) = \det(A)\)
• \(\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)\)
• 若 \(A\) 三角，则 \(\det(A)\) 等于对角线乘积

余子式展开（cofactor expansion）常用于含参数的矩阵，让你找使 \(\det = 0\) 的参数值。

5. 特征值与特征向量

特征方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 给出特征值 \(\lambda\)，再解 \((A - \lambda I)\xvec = \zerovec\) 得特征向量。常用结论：

• 特征值之和 = 迹 \(\operatorname{tr}(A)\)
• 特征值之积 = \(\det(A)\)
• 不同特征值对应的特征向量线性无关
• 实对称矩阵的特征值全为实数，特征向量可取为正交

6. 对角化 \(A = S\Lambda S^{-1}\)

当 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量时，它可以对角化。这让矩阵幂和矩阵指数变得简单：

\[A^k = S \Lambda^k S^{-1}, \quad e^{At} = S e^{\Lambda t} S^{-1}\]

考试常给一个 \(2 \times 2\) 矩阵，让你求特征值、特征向量、写出 \(S\) 与 \(\Lambda\)，并用对角化计算 \(A^k\) 或解差分方程 \(\xvec_{k+1} = A\xvec_k\)。

典型题型思路导引

题型 A：最小二乘拟合

给定数据点，选择模型（直线、二次曲线），构造 \(A\) 与 \(\bvec\)，列法方程，解 \(\xhat\)。注意：如果模型里有常数项，\(A\) 的第一列通常是全 1。

题型 B：Gram-Schmidt 与 QR

按公式一步步算，不要跳步。完成后验证 \(\qvec_i^T\qvec_j = 0\)（\(i \neq j\)）。\(R\) 的元素是 \(\rij = \qvec_i^T\avec_j\)，\(r_{ii} = \|\vvec_i\|\)。

题型 C：行列式计算

先用行变换化到三角（注意交换变号），再乘对角线。含参数时保留参数，最后令 \(\det = 0\) 解方程。

题型 D：特征值与对角化

先求特征多项式（\(2 \times 2\) 时 \(\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0\)），再求特征向量。若特征值重复但特征向量不够，则不可对角化——考试常考这个边界情况。

备考自测

备考要点

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完整题目清单

共 3 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

• 考试日期：2010年4月7日，教授：Strang
• 请填写打印姓名、习题课号或讲师

覆盖范围

• 正交投影矩阵
• 最小二乘与QR分解
• 特殊矩阵的特征值/特征向量与行列式

题目 1 投影矩阵 正交投影 · 列空间 · 零空间 · 特征值 · 特征向量

官方题面翻译可离线作答

求将 \(\mathbb{R}^3\) 中任意向量 \(b\) 投影到方向 \(a=(2,1,3)\) 所在直线的矩阵 \(P\)。

1. (a) 求投影矩阵 \(P\)。
2. (b) 求 \(P\) 的列空间与零空间，给出几何描述及各自的基。
3. (c) 求 \(P\) 的所有特征值与对应的特征向量（可利用投影的几何性质）；\(P\) 的对角线元素之和为______。

公式与已知条件

• 向量 \(a = (2,1,3)\)
• 投影公式 \(P = A(A^T A)^{-1} A^T\)，其中 \(A\) 为以 \(a\) 为列的矩阵

解题入口

利用投影的几何性质与 \(P^2 = P\) 的幂等关系推导特征值与特征向量。

完成后检查

• 验证 \(P^2 = P\) 且 \(P^T = P\)（对称幂等）
• 检查特征值是否只能为 0 或 1
• 列空间的维数与零空间维数之和应为 3

题面翻译自 exams/exam2.pdf 第1页，为 MIT 18.06 测验 2 第1题官方原题。

来源：exams/exam2.pdf · 1

题目 2 最小二乘与QR分解 最小二乘 · 法方程 · QR分解 · 正交投影

官方题面翻译可离线作答

\(p = A\hat{x}\) 是列空间 \(C(A)\) 中距离给定向量 \(b\) 最近的向量。

1. (a) 若 \(A\) 列独立，确定 \(\hat{x}\) 的方程是什么？哪些向量垂直于误差 \(e = b - A\hat{x}\)？若 \(A\) 列相关会怎样？
2. (b) 设 \(A = QR\)，其中 \(Q\) 列正交规范，\(R\) 为上三角可逆矩阵，用 \(Q, R, b\) 表示 \(\hat{x}\) 和 \(p\)。
3. (c) 若 \(q_1, q_2\) 为 \(\mathbb{R}^5\) 中任意两个正交规范向量，用 \(q_1, q_2\) 表示任意向量 \(b\) 在 \(\operatorname{span}\{q_1, q_2\}\) 平面上的投影 \(p\)。

公式与已知条件

• 法方程：\(A^T A \hat{x} = A^T b\)
• QR 分解情形：\(A = QR\)，\(Q\) 列正交规范，\(R\) 上三角可逆
• 两正交规范向量投影：\(p = (q_1^T b) q_1 + (q_2^T b) q_2\)

解题入口

从误差向量 \(e\) 垂直于列空间 \(C(A)\) 入手建立法方程，再代入 \(A = QR\) 进行化简。

完成后检查

• 验证 \(e = b - A\hat{x}\) 与 \(A\) 的每一列正交
• 当 \(A\) 列相关时，检查 \(A^T A\) 是否可逆
• 确认 \(p\) 的表达式在 \(Q\) 列正交规范下成立

题面翻译自 exams/exam2.pdf 第2页，为 MIT 18.06 测验 2 第2题官方原题。

来源：exams/exam2.pdf · 2

题目 3 矩阵 A_n 的行列式与特征值 行列式 · 特征值 · 特征向量 · 克拉默法则 · 代数余子式

官方题面翻译可离线作答

\(n \times n\) 矩阵 \(A_n\) 主对角线元素为 0，其余元素均为 \(-1\)。MATLAB 命令为 `An = eye(n) - ones(n)`。

1. (a) 求 \(\det(A_n)\)。提示：将其余行加到最后一行，再提取公因子（可用 \(n=3\) 验证 (b)）。
2. (b) 对任意可逆矩阵 \(A\)，\(A^{-1}\) 的 \((1,1)\) 元为______之比。因此 \(A_4^{-1}\) 的 \((1,1)\) 元为______。
3. (c) 求 \(A_3 x = x\) 的两个正交特征向量（因此 \(\lambda = 1\) 为二重特征值）。
4. (d) 求 \(A_3\) 的第三个特征值及对应的一个特征向量。

公式与已知条件

• \(A_n = I - \mathbf{1}\mathbf{1}^T\)，即对角线为 0、非对角线为 \(-1\)
• \(A^{-1}\) 的 \((1,1)\) 元等于余子式 \(M_{11}\) 与 \(\det(A)\) 之比，其中 \(M_{11} = \det(A_{n-1}\)

解题入口

对行列式，将前 \(n-1\) 行加到最后一行并提取公因子；对特征值，利用 \(A_n = I - \mathbf{1}\mathbf{1}^T\) 的结构进行分析。

完成后检查

• 用 \(n=3\) 验证 \(\det(A_3)\) 与公式 \(1-n\) 的一致性
• 检查特征向量是否满足 \(A_n x = \lambda x\
• 确认特征值的和等于 \(A_n\) 的迹

题面翻译自 exams/exam2.pdf 第3页，为 MIT 18.06 测验 2 第3题官方原题。

来源：exams/exam2.pdf · 3

来源与改编说明

• Exam 2 各题总分在 exam2.pdf 中为 30+30+40=100，在 exam2_sol.pdf 中为 33+34+33=100，各小问分值略有差异（如题1整体在 sol 中占33分），以 exam2.pdf 为准。

一手资料

• exams/exam2.pdf
• exams/exam2_sol.pdf