谱定理
实对称矩阵特征值全为实数，特征向量可取为标准正交基。
18.06 · 第 23 课
实对称矩阵是线性代数中最好的一类矩阵：特征值全是实数，特征向量可以选为标准正交基。这就是谱定理（spectral theorem）。
定理：设 \(A\) 为 \(n\times n\) 实对称矩阵（\(A^{\mathsf{T}}=A\)）。则
写成矩阵形式：存在正交矩阵 \(Q\)（满足 \(Q^{\mathsf{T}}=Q^{-1}\)），使得
\[A = Q\,\Lambda\,Q^{\mathsf{T}},\]其中 \(\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)。把 \(Q\) 按列写成 \([\mathbf{q}_1\cdots\mathbf{q}_n]\)，则
\[A = \lambda_1\mathbf{q}_1\mathbf{q}_1^{\mathsf{T}} + \lambda_2\mathbf{q}_2\mathbf{q}_2^{\mathsf{T}} + \cdots + \lambda_n\mathbf{q}_n\mathbf{q}_n^{\mathsf{T}}.\]几何图景：对称矩阵的作用 = 沿一组正交方向独立伸缩——这正是"谱分解"的几何含义。
对特征值实数性：设 \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\)，取复共轭转置得 \(\mathbf{x}^*A = \bar\lambda\mathbf{x}^*\)。左乘 \(\mathbf{x}^*\)、右乘 \(\mathbf{x}\) 相减得
\[(\lambda - \bar\lambda)\,\mathbf{x}^*\mathbf{x} = 0.\]因为 \(\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\)，所以 \(\lambda=\bar\lambda\)，即 \(\lambda\in\mathbb{R}\)。
对特征向量正交性：设 \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},\ A\mathbf{y}=\mu\mathbf{y},\ \lambda\neq\mu\)。计算
\[\lambda\,\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{y} = (A\mathbf{x})^{\mathsf{T}}\mathbf{y} = \mathbf{x}^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}\mathbf{y} = \mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{y} = \mu\,\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{y}.\]由于 \(\lambda\neq\mu\)，必有 \(\mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{y}=0\)。
| 一般矩阵 \(A\) | 对称矩阵 \(A=A^{\mathsf{T}}\) |
|---|---|
| \(A=S\Lambda S^{-1}\) | \(A=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}\)（\(Q^{\mathsf{T}}=Q^{-1}\)） |
| \(S\) 列线性无关即可 | \(Q\) 列标准正交 |
| 特征值可能为复数 | 特征值必为实数 |
| 特征向量未必正交 | 不同特征值对应特征向量必正交 |
| 可能不可对角化（亏损） | 必可对角化 |
例：
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.\]特征值 \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=3\)；归一化特征向量
\[\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.\]则 \(Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix},\ \Lambda=\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}\)，且 \(A=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}\)。
实对称矩阵中正特征值的个数称为正惯性指数（index of positivity），负特征值的个数称为负惯性指数。
Cauchy 惯性定律（Sylvester's law of inertia）：对实对称矩阵做合同变换 \(A\mapsto S^{\mathsf{T}}AS\)（\(S\) 可逆），正、负特征值的个数不变。
这引出下一课"正定矩阵"的若干等价判据，尤其是主子式判据：
注意：主子式全正 \(\Rightarrow\) 正定，但反过来并不成立——任意顺序主子式为正只是正定的充分必要条件，不能只看部分主子式。
问题 1：实对称矩阵的特征值必为？
问题 2：实对称矩阵 \(A\) 的对角化形式是？
问题 3：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必？
问题 4：关于实对称矩阵，下列哪项正确？
实对称矩阵特征值全为实数，特征向量可取为标准正交基。
\(A=Q\Lambda Q^{\mathsf{T}}\)，比一般的 \(S\Lambda S^{-1}\) 更对称、更稳定。
\(A=\sum \lambda_i\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^{\mathsf{T}}\)，沿正交方向独立伸缩。
合同变换不改变正、负特征值个数，引出正定矩阵的判据。
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