相似 = 同一变换，不同基
\(B = M^{-1}AM\) 表示线性变换在两组不同基下的矩阵表示，\(M\) 是基变换矩阵。
18.06 · 第 26 课
同一个线性变换在不同基下表现为不同的矩阵。相似矩阵（similar matrices）共享特征值、迹、行列式和秩——理解这种"不变量"是掌握矩阵理论的关键一步。
两个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 称为相似（similar），如果存在可逆矩阵 \(M\) 使得：
\[B = M^{-1} A M\]几何上，这表示 \(A\) 和 \(B\) 是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示。矩阵 \(M\) 是基变换矩阵（change-of-basis matrix），其列向量是新基在旧基下的坐标。
核心图像：设变换 \(T\) 在旧基下的矩阵是 \(A\)，在新基下的矩阵是 \(B\)。若向量 \(\mathbf{x}\) 在新基下的坐标是 \(\mathbf{v}\)，则 \(\mathbf{x} = M \mathbf{v}\)。变换后的坐标为：
\[\mathbf{v}' = M^{-1} A M \mathbf{v} = B \mathbf{v}\]相似关系编码了"同一个变换，不同坐标系"的思想。
相似关系虽然改变了矩阵的外观，但保留了若干重要的量。这些相似不变量（similarity invariants）包括：
证明特征值不变：若 \(A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\)，则令 \(\mathbf{y} = M^{-1} \mathbf{x}\)，有：
\[B \mathbf{y} = M^{-1} A M (M^{-1} \mathbf{x}) = M^{-1} A \mathbf{x} = \lambda M^{-1} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{y}\]所以 \(\lambda\) 也是 \(B\) 的特征值，\(\mathbf{y}\) 是对应的特征向量。
注意：特征向量不是不变量。相似变换把特征向量从 \(\mathbf{x}\) 变为 \(M^{-1}\mathbf{x}\)。只有特征值、迹、行列式这些标量才是严格不变的。
相似变换与另一种常见的矩阵关系——合同（congruence）容易混淆。合同关系定义为：
\[B = M^T A M\]关键区别在于：
当 \(M\) 是正交矩阵（\(M^{-1} = M^T\)）时，相似与合同一致——这正是对称矩阵对角化的情况。
如果 \(A\) 可对角化，则存在 \(M\) 使得 \(M^{-1} A M = \Lambda\)（对角矩阵）。但并非所有矩阵都可对角化——当特征值的几何重数小于代数重数时，矩阵是亏损的（defective）。
Jordan 标准形（Jordan normal form）是最接近对角形的一般形式。每个复方阵 \(A\) 都相似于一个 Jordan 矩阵：
\[M^{-1} A M = J = \begin{pmatrix} J_1 & & \\ & \ddots & \\ & & J_k \end{pmatrix}, \quad J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i \end{pmatrix}\]每个 Jordan 块对应一个特征值，其大小等于该特征值的代数重数。当所有 Jordan 块都是 \(1 \times 1\) 时，矩阵可对角化。
为什么重要：Jordan 标准形告诉我们，亏损矩阵不能对角化，但可以通过相似变换化为"几乎对角"的形式。这在微分方程 \(\dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x}\) 的理论中至关重要——Jordan 块中的 1 会产生多项式因子 \(t e^{\lambda t}\)。
设 \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\)。它有重特征值 \(\lambda = 4\)（代数重数 2），但只有一个线性无关的特征向量 \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)。这是不可对角化的。
它的 Jordan 标准形就是它自身——一个 \(2 \times 2\) Jordan 块。任何与之相似的特征值全为 4 的矩阵都有相同的形式。
问题 1：若 \(B = M^{-1} A M\)，下列哪项一定成立？
问题 2：相似关系 \(B = M^{-1} A M\) 的几何含义是什么？
问题 3：对于不可对角化的矩阵，最简的相似标准形是什么？
问题 4：相似变换 \(M^{-1}AM\) 与合同变换 \(M^TAM\) 的关键区别是什么？
\(B = M^{-1}AM\) 表示线性变换在两组不同基下的矩阵表示，\(M\) 是基变换矩阵。
相似矩阵共享特征值、迹、行列式和秩，但特征向量会变化。
每个复方阵都相似于 Jordan 标准形；可对角化当且仅当所有 Jordan 块为 \(1 \times 1\)。
相似保持特征值，合同保持惯性指数；正交矩阵时两者一致。
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