刚度矩阵自然对称正定
在保守的弹簧-质量系统中，刚度矩阵 \(K\) 对称且正定，这源于能量守恒和稳定性要求，而非人为假设。
18.06 · 第 25 课
对称矩阵与正定矩阵并非凭空而来——它们在结构力学中自然出现。通过弹簧-质量系统，我们看到了刚度矩阵（stiffness matrix）和特征值如何描述真实世界的振动。
考虑一排由弹簧连接的质点。每个质点只能沿水平方向滑动，第 \(i\) 个质点的位移记为 \(u_i\)。胡克定律（Hooke's law）告诉我们，弹簧施加的力正比于两端位移之差。把所有质点的平衡条件写在一起，就得到一个线性系统：
\[K \mathbf{u} = \mathbf{f}\]其中 \(\mathbf{f}\) 是外力向量，\(\mathbf{u}\) 是位移向量，\(K\) 是刚度矩阵（stiffness matrix）。
物理直觉：刚度矩阵的每一行对应一个质点的力平衡。对角元 \(K_{ii}\) 是连接到质点 \(i\) 的所有弹簧刚度之和，非对角元 \(K_{ij}\)（\(i \neq j\)）是连接质点 \(i\) 与 \(j\) 的弹簧刚度的相反数。
以一个三质点、两端固定的系统为例，弹簧刚度分别为 \(k_1, k_2, k_3, k_4\)：
\[K = \begin{pmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 & 0 \\ -k_2 & k_2 + k_3 & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3 + k_4 \end{pmatrix}\]观察这个矩阵：它是对称的，对角元为正，非对角元为负或零。这正是我们上一课讨论过的矩阵类型。
对称性 \(K = K^T\) 并非巧合，它来自力学中的互易原理（Betti's reciprocal theorem）：质点 \(i\) 在质点 \(j\) 上产生的力，等于质点 \(j\) 在质点 \(i\) 上产生的力。
更形式地，我们可以从能量角度理解。系统的弹性势能是一个二次型：
\[V = \frac{1}{2} \mathbf{u}^T K \mathbf{u}\]外力 \(\mathbf{f}\) 做的功等于势能的变分，即 \(f_i = \partial V / \partial u_i\)。由于混合偏导数与次序无关，\(\partial^2 V / \partial u_i \partial u_j = \partial^2 V / \partial u_j \partial u_i\)，这直接给出 \(K_{ij} = K_{ji}\)。
注意：并非所有工程矩阵都对称。当系统存在非保守力（如追随力 follower force）或旋转效应时，可能会出现非对称的刚度矩阵。本课程讨论的是最常见、最对称的理想情况。
要使结构稳定，任何非零位移 \(\mathbf{u} \neq \mathbf{0}\) 都必须储存正的弹性势能。也就是说：
\[\mathbf{u}^T K \mathbf{u} > 0 \quad \text{对所有 } \mathbf{u} \neq \mathbf{0}\]这正是正定矩阵的定义。如果 \(K\) 不是正定的，意味着存在某个位移模式不消耗能量——结构会在这个方向上"垮掉"（mechanism mode），即几何可变。
对于两端固定的弹簧-质量系统，\(K\) 总是正定的。但如果系统未被充分约束（例如一端自由），则 \(K\) 会是半正定的（positive semidefinite），此时存在刚体位移模式使得 \(\mathbf{u}^T K \mathbf{u} = 0\)。
现在让系统振动。忽略阻尼，运动方程为：
\[M \ddot{\mathbf{u}} + K \mathbf{u} = \mathbf{0}\]其中 \(M\) 是质量矩阵（mass matrix），通常是对角矩阵。假设简谐解 \(\mathbf{u}(t) = \mathbf{x} e^{i \omega t}\)，代入得：
\[K \mathbf{x} = \omega^2 M \mathbf{x}\]这是一个广义特征值问题（generalized eigenvalue problem）。特征值 \(\lambda = \omega^2\) 的平方根给出系统的固有频率（natural frequencies），特征向量 \(\mathbf{x}\) 给出振型（mode shapes）。
物理图像：每个特征向量描述系统的一种"纯"振动模式——所有质点以同一频率同步振动，按固定比例运动。最低频率对应最"柔软"的振型，最高频率对应最"刚硬"的振型。
由于 \(K\) 和 \(M\) 都对称正定，所有特征值都是正实数，且特征向量关于 \(M\) 正交：
\[\mathbf{x}_i^T M \mathbf{x}_j = 0 \quad (i \neq j)\]弹簧-质量系统是有限元方法（finite element method, FEM）的最简原型。在真实结构分析中，连续体被离散为大量单元，每个单元贡献一个小的刚度矩阵，组装成全局刚度矩阵 \(K\)。
无论网格多细，全局 \(K\) 仍然对称正定（在充分约束下）。这使得我们可以使用 Cholesky 分解 \(K = L L^T\) 高效求解——这正是第 24 课讨论的内容。
问题 1：为什么两端固定的弹簧-质量系统，其刚度矩阵 \(K\) 是正定的？
问题 2：在振动方程 \(M\ddot{\mathbf{u}} + K\mathbf{u} = \mathbf{0}\) 中，固有频率 \(\omega\) 与什么直接相关？
问题 3：刚度矩阵的对称性 \(K = K^T\) 最根本的来源是什么？
问题 4：如果刚度矩阵 \(K\) 只是半正定而非正定，这意味着结构有什么特性？
在保守的弹簧-质量系统中，刚度矩阵 \(K\) 对称且正定，这源于能量守恒和稳定性要求，而非人为假设。
广义特征值问题 \(K\mathbf{x} = \omega^2 M \mathbf{x}\) 将线性代数与振动物理直接联系起来，特征值给出固有频率。
对角元为连接刚度之和，非对角元为连接刚度的相反数——这种模式在有限元分析中反复出现。
当 \(K\) 半正定时，存在零能量位移模式，结构在该方向上缺乏约束，这是工程失稳的代数信号。
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