空间线积分
\(\int_C \vec F\cdot d\vec r\)，用单参数参数化曲线计算。
MIT 18.02 · 第 30 课
把二维线积分推广到空间曲线，引入三维梯度场与势函数，并定义旋度 \(\nabla\times\vec F\) 来衡量向量场的旋转程度。
核心思想：三维线积分的几何意义与二维完全相同——力沿曲线做的功。关键新内容是旋度：它度量向量场的旋转程度，是"保守性"的障碍。梯度场无旋，无旋场（在单连通区域）是梯度场。
设力场 \(\vec F = \langle P,Q,R\rangle\)，\(C\) 是空间曲线。把 \(C\) 切成小段 \(\Delta\vec r\)，则
\[W = \int_C \vec F\cdot d\vec r = \int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz.\]计算方法：用单参数 \(t\) 参数化曲线，把 \(x,y,z,dx,dy,dz\) 都用 \(t\) 表示，化为一元积分。
路径 1：\(x=t^3,\;y=t^2,\;z=t\)，\(0\le t\le1\)。
\(dx=3t^2\,dt,\;dy=2t\,dt,\;dz=dt\)，代入得
\[W = \int_0^1 (yz\cdot 3t^2 + xz\cdot 2t + xy\cdot 1)\,dt = \int_0^1 6t^5\,dt = \frac{1}{6}.\]路径 2：从 \((0,0,0)\) 到 \((1,0,0)\) 到 \((1,1,0)\) 到 \((1,1,1)\) 的三段线段。
第一、二段在 \(z=0\) 平面，\(\vec F=xy\hat k\)，\(dz=0\)，做功为零。第三段 \(x=y=1,\;dx=dy=0\)，\(\vec F=\langle z,z,1\rangle\)，\(d\vec r=\langle 0,0,dz\rangle\)：
\[W = \int_0^1 1\,dz = 1.\]注意：两个路径给出了不同结果？不对——仔细检查：路径 2 第三段 \(\vec F\cdot d\vec r = xy\,dz = 1\,dz\)，积分确实是 1。但路径 1 给出 \(1/6\)！这说明我算错了路径 1？实际上 \(\vec F=\nabla(xyz)\) 是保守场，两条路径应该给出相同结果。重新检查路径 1：\(yz=t^3,\,xz=t^4,\,xy=t^5\)，代入：\(t^3\cdot 3t^2 + t^4\cdot 2t + t^5\cdot 1 = 3t^5+2t^5+t^5 = 6t^5\)，积分 \(=1\)。正确答案是 1。
两条路径给出相同结果 \(W=1\)，因为 \(\vec F=\nabla(xyz)\) 是保守场。
微积分基本定理（线积分版）：若 \(\vec F=\nabla f\)，则
\[\int_C \vec F\cdot d\vec r = f(P_1)-f(P_0).\]
设 \(\vec F=\langle P,Q,R\rangle\) 是某个函数 \(f\) 的梯度：\(\vec F=\nabla f\)。则
\[P=f_x,\quad Q=f_y,\quad R=f_z.\]由混合偏导相等 \(f_{xy}=f_{yx}\) 等，得到必要条件：
\[P_y=Q_x,\qquad P_z=R_x,\qquad Q_z=Ry.\]定理：若 \(\vec F\) 在整个空间（或单连通区域）上定义且连续可微，则 \(\vec F\) 是梯度场当且仅当以上三个等式成立。
设 \(\vec F = axy\,\hat\imath + (x^2+z^3)\hat\jmath + (byz^2-4z^3)\hat k\)。
已知 \(\vec F=\langle 2xy,\,x^2+z^3,\,3yz^2-4z^3\rangle\) 是梯度场，求 \(f\)：
因此 \(f=x^2y+yz^3-z^4+C\)。
另一方法：\(f(x_1,y_1,z_1) = f(0,0,0)+\displaystyle\int_{(0,0,0)}^{(x_1,y_1,z_1)}\vec F\cdot d\vec r\)。选沿坐标轴的三段路径，计算往往更简单。
旋度衡量向量场不是梯度场的程度，即场的旋转程度。
定义：
\[\nabla\times\vec F = \Bigl\langle R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y\Bigr\rangle.\]
用 del 算子记忆：
\[\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R \end{vmatrix}.\]核心思想：三个分量 \(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y\) 恰好是梯度场判别式的相反数。因此 \(\vec F\) 是梯度场 ⇔ \(\nabla\times\vec F=\vec 0\)。旋度是"保守性的障碍"。
对速度场 \(\vec v\)，旋度 = 2 倍角速度向量。
例：绕过 \(z\) 轴、角速度 \(\omega\) 的均匀旋转：
\[\vec v = \langle -\omega y,\;\omega x,\;0\rangle.\]计算旋度：
\[\nabla\times\vec v = \bigl\langle 0-0,\;0-0,\;\omega-(-\omega)\bigr\rangle = 2\omega\,\hat k.\]旋度大小 = \(2\omega\)（两倍角速度），方向 = 旋转轴方向（沿 \(z\) 轴）。
运动分解：一般运动可以分解为
• 平移（无旋无散）
• 伸缩/压缩（散度）
• 旋转（旋度）
旋度提取出运动中的旋转分量。
三种微分运算的统一表达：
核心思想：这三种运算不是独立的——它们分别对应微分形式中的外微分 \(d\) 在不同维度的表现。三大定理（微积分基本定理、散度定理、Stokes 定理）都是同一个定理（Stokes 广义定理）的特例。
问题 1：\(\vec F=\langle P,Q,R\rangle\) 是梯度场的条件是？
问题 2：均匀旋转 \(\vec v=\langle -\omega y,\omega x,0\rangle\) 的旋度是？
问题 3：旋度对速度场的物理意义是？
\(\int_C \vec F\cdot d\vec r\)，用单参数参数化曲线计算。
\(\vec F\) 保守 ⇔ \(\nabla\times\vec F=\vec 0\)（在单连通区域）。
逐次积分法或选简单路径的线积分法。
\(\nabla\times\vec F\) 衡量旋转，对速度场 = 2×角速度。
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