散度定理
\(\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS} = \iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV\)，通量与源强度联系。
MIT 18.02 · 第 29 课
三维中的"通量—源"恒等式：向量场通过闭曲面的通量等于其散度在内部区域上的三重积分，由此引出 diffusion（热）方程。
核心思想：散度定理是 Green 定理法向形式的三维推广：闭曲面上的通量 = 内部散度的体积分。它把"边界上的量"与"内部的量"联系起来，是向量分析的三大定理之一。
散度定理（Gauss-Green 定理）：设 \(S\) 是空间中的闭曲面，围成区域 \(D\)，外法向为 \(\hat n\)。若 \(\vec F\) 在 \(D\) 上连续可微，则
\[\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS} = \iiint_D \operatorname{div}\vec F\,dV,\qquad \operatorname{div}(P\hat\imath+Q\hat\jmath+R\hat k) = P_x+Q_y+R_z.\]
记忆口诀：通量（面积分）= 散度（体积分）。
引入符号算子
\[\nabla = \Bigl\langle\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\Bigr\rangle.\]则
\[\nabla f = \langle f_x,f_y,f_z\rangle = \text{梯度},\] \[\nabla\cdot\vec F = \langle \partial_x,\partial_y,\partial_z\rangle\cdot\langle P,Q,R\rangle = P_x+Q_y+R_z = \text{散度}.\]注意：\(\nabla\) 只是一个符号记法，不是真正的向量。\(\nabla\cdot\vec F\) 是"形式上的点乘"，\(\nabla f\) 是"形式上的数乘"。
散度 = 源强度 = 单位体积产生的通量。
想象不可压缩流体的流速场 \(\vec F\)。取一小块区域 \(D\) 被闭曲面 \(S\) 包围，则：
\[\oiint_S \vec F\cdot\hat n\,dS = \text{单位时间内从 }D\text{ 流出的净流体量}.\]根据散度定理，这也等于 \(\displaystyle\iiint_D \operatorname{div}\vec F\,dV\)。因此
\[\operatorname{div}\vec F = \lim_{|D|\to 0}\frac{1}{|D|}\oiint_S \vec F\cdot\hat n\,dS.\]物理含义：
只需证明 \(\displaystyle\oiint_S R\hat k\cdot\vec{dS} = \iiint_D R_z\,dV\)，对 \(P\hat\imath\) 和 \(Q\hat\jmath\) 同理。
竖直简单区域 (vertically simple)：顶部和底部都是曲面 \(z=z_2(x,y)\) 和 \(z=z_1(x,y)\)，侧面竖直。
右边：
\[\iiint_D R_z\,dV = \iint_U \bigl(R(x,y,z_2)-R(x,y,z_1)\bigr)\,dx\,dy.\]左边：
两边相等！对一般区域，可分解为竖直简单块的并，内部边界上的通量相互抵消，只剩外表面的通量。
核心思想：证明的关键是"内部抵消"——两个相邻块在公共面上法向相反，通量符号相反，求和时消去。
对 \(\vec F = z\hat k\) 穿过半径 \(a\) 的球面（第 27 课例 2），直接计算得通量 \(\Phi = \dfrac{4}{3}\pi a^3\)。
用散度定理：\(\operatorname{div}\vec F = 0+0+1 = 1\)，所以
\[\iiint_D 1\,dV = \text{球的体积} = \frac{4}{3}\pi a^3.\]两种方法结果一致！
扩散方程 (diffusion equation / heat equation) 描述烟雾在静止空气中的传播、染料在溶液中的扩散、热的传导等：
\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\nabla^2 u = k\Bigl(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Bigr),\]其中 \(u(x,y,z,t)\) 是浓度（或温度），\(k\) 是扩散系数。
推导基于两个输入：
对左边用散度定理：\(\oiint_S \vec F\cdot\hat n\,dS = \iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV\)。
对右边交换导数与积分：\(\dfrac{d}{dt}\iiint_D u\,dV = \iiint_D \dfrac{\partial u}{\partial t}\,dV\)。
因此对任意区域 \(D\)：
\[\iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV = -\iiint_D \frac{\partial u}{\partial t}\,dV.\]令 \(D\) 收缩到一点，得到逐点等式
\[-\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla\cdot\vec F.\]代入 \(\vec F = -k\nabla u\)：
\[\frac{\partial u}{\partial t} = -\nabla\cdot(-k\nabla u) = k\nabla\cdot(\nabla u) = k\nabla^2 u.\]扩散方程：
\[\boxed{\frac{\partial u}{\partial t} = k\nabla^2 u}\]
核心思想：散度定理把"边界上的通量"与"内部的散度"联系起来，是推导守恒律偏微分方程的通用工具。除了扩散方程，流体力学、电磁学的基本方程都由此推出。
问题 1：散度定理的内容是？
问题 2：\(\vec F = z\hat k\) 的散度是？
问题 3：扩散方程的形式是？
\(\oiint_S \vec F\cdot\vec{dS} = \iiint_D \nabla\cdot\vec F\,dV\)，通量与源强度联系。
\(\nabla = \langle\partial_x,\partial_y,\partial_z\rangle\)，\(\nabla\cdot\vec F\) 是散度。
散度 = 单位体积的源强度，正为源，负为汇。
\(\partial u/\partial t = k\nabla^2 u\)，散度定理是推导守恒律的工具。
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