单连通区域
没有洞的区域，任何闭合曲线的内部都在区域内。
MIT 18.02 · 第 24 课
讨论 Green 定理适用的拓扑条件——单连通区域（simply connected regions），并通过一个经典反例说明为什么需要这一条件；最后对 Unit IIIa 进行复习。
设 \(C\) 是正向（逆时针）闭合曲线，\(R\) 是其包围的区域，向量场在 \(R\) 上连续可微：
两类 Green 定理：
切向形式（功）： \(\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_R \operatorname{curl}(\vec{F})\,dA\)
法向形式（通量）： \(\oint_C \vec{F}\cdot\hat{n}\,ds = \iint_R \nabla\cdot\vec{F}\,dA\)
其中 \(\operatorname{curl}(M\hat{\imath} + N\hat{\jmath}) = N_x - M_y\)，\(\nabla\cdot(P\hat{\imath} + Q\hat{\jmath}) = P_x + Q_y\)。
关键条件：Green 定理要求向量场 \(\vec{F}\) 在 \(C\) 包围的整个区域 \(R\) 上有定义且连续可微。如果 \(R\) 包含 \(\vec{F}\) 的奇点（如原点），Green 定理不能直接应用！
考虑向量场
\[ \vec{F} = \frac{-y\,\hat{\imath} + x\,\hat{\jmath}}{x^2+y^2} \]它在除原点外的平面上处处有定义。计算其旋度：
\[ \operatorname{curl}(\vec{F}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right) = 0 \quad (\text{在 } x^2+y^2 > 0 \text{ 处}) \]但沿单位圆周 \(C\)（逆时针）的线积分：
\[ \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = 2\pi \neq 0 \]这看似与 Green 定理矛盾——实际上是因为区域 \(R\)（单位圆盘）包含了原点，而 \(\vec{F}\) 在原点没有定义，所以 Green 定理不适用。
平面区域 \(R\) 称为单连通（simply connected）的，如果：对于 \(R\) 内的任意闭合曲线 \(C\)，\(C\) 所包围的整个区域也都包含在 \(R\) 内。
直观理解：没有洞的区域。
例子：
单连通：整个平面、圆盘、矩形、半平面。
非单连通：平面去掉原点（穿孔平面）、环形区域、圆环。
为什么重要：若 \(\vec{F}\) 在单连通区域 \(R\) 上有定义且可微，则对 \(R\) 内任意闭合曲线 \(C\)，\(\vec{F}\) 自动在 \(C\) 包围的区域内有定义，Green 定理一定适用。
对于非单连通区域，Green 定理可以"绕开奇点"来使用。例如，对上述向量场，考虑环形区域 \(R'\)：单位圆盘内部挖去一个以原点为心的小圆盘。
边界 \(C'\) = 单位圆（逆时针）+ 小圆（顺时针），由叠加法：
\[ \oint_{C'} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{R'} 0\,dA = 0 \]所以
\[ \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \oint_{C_2} \vec{F}\cdot d\vec{r} \]即绕任何包含原点的闭合曲线的线积分都相等——这就是绕数（winding number）的雏形。
考试提示：需要掌握基本积分、换元法；不需要复杂的三角积分（如 \(\cos^4\theta\)）或分部积分。变量替换的题目会被设计得相对简单。
问题 1：下列哪个区域是单连通的？
问题 2：向量场 \(\vec{F} = \frac{-y\hat{\imath} + x\hat{\jmath}}{x^2+y^2}\) 沿单位圆的线积分为 \(2\pi\)，但旋度为零。为什么 Green 定理不适用？
问题 3：下列哪个性质与其他三个不等价？
问题 4：关于两类 Green 定理，下列说法正确的是？
没有洞的区域，任何闭合曲线的内部都在区域内。
要求向量场在整个区域上有定义，否则可能失效。
\(\frac{-y\hat{\imath} + x\hat{\jmath}}{x^2+y^2}\) 旋度为零但线积分非零。
二重积分 + 线积分 + Green 定理，两大主题。
lecture_notes/week_10_summary.pdf