Jacobian
\(J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) 衡量面积元的伸缩比例：\(du\,dv = |J|\,dx\,dy\)。
MIT 18.02 · 第 18 课
把一元积分的换元法推广到二重积分：通过 Jacobian 行列式给出面积元的伸缩比例，把复杂区域/被积函数在新变量下化简。
设椭圆区域 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1\)，求其面积。
令 \(u = x/a,\; v = y/b\)，则椭圆变成单位圆 \(u^2+v^2 \le 1\)。按照一元换元法：
\[ du = \frac{dx}{a},\quad dv = \frac{dy}{b} \implies du\,dv = \frac{1}{ab}\,dx\,dy \]于是
\[ \iint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1} dx\,dy = ab \iint_{u^2+v^2 \le 1} du\,dv = ab \cdot \pi = \pi ab \]要点：线性换元的面积比例因子恰好是变换矩阵的行列式 \(\det\!\begin{pmatrix} 1/a & 0 \\ 0 & 1/b \end{pmatrix} = 1/(ab)\)。
对于一般换元 \(u=u(x,y),\; v=v(x,y)\)，一个 \(xy\) 平面上的小矩形面积 \(\Delta A = \Delta x\,\Delta y\) 在 \(uv\) 平面上近似成为一个平行四边形，其面积 \(\Delta A'\) 与原面积的比值由 Jacobian 行列式给出：
核心公式：Jacobian 行列式定义为
\[ J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix} = u_x v_y - u_y v_x \]
面积元的变换关系为
\[ du\,dv = |J|\,dx\,dy \]
取绝对值是因为面积总是非负的，而行列式可能为负（表示定向反转）。
取 \(xy\) 平面上的单位正方形，映射到 \(uv\) 平面上成为以向量 \(\langle 3,1\rangle\) 和 \(\langle -2,1\rangle\) 为边的平行四边形，面积 = 行列式的绝对值：
\[ \left|\det\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right| = |3\cdot 1 - (-2)\cdot 1| = 5 \]所以 \(du\,dv = 5\,dx\,dy\)，即 \(dx\,dy = \frac15\,du\,dv\)。
极坐标 \(x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\) 的 Jacobian：
\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \det\begin{pmatrix} x_r & x_\theta \\ y_r & y_\theta \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r \]因此 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)，与第 17 课的结果一致。
计算 \(\iint_R f(x,y)\,dx\,dy\)，通过 \(u=u(x,y),\; v=v(x,y)\) 换元的一般步骤：
1. 面积元：
\[ \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ y & x \end{pmatrix} = x \implies du\,dv = x\,dx\,dy \implies dx\,dy = \frac{1}{x}\,du\,dv \]2. 被积函数：\(x^2 y\,dx\,dy = x^2 y \cdot \frac1x\,du\,dv = xy\,du\,dv = v\,du\,dv\)。
3. 积分限：在 \(xy\) 平面区域为正方形 \([0,1]\times[0,1]\)。在 \(uv\) 平面上：
所以
\[ \int_0^1\!\int_v^1 v\,du\,dv = \int_0^1 v(1-v)\,dv \]要点：在 \(uv\) 平面上画出区域往往比在 \(xy\) 平面上更容易看出积分限。
问题 1：换元 \(u=u(x,y), v=v(x,y)\) 下，面积元 \(du\,dv\) 与 \(dx\,dy\) 的关系是？
问题 2：极坐标 \(x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\) 的 Jacobian \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\) 等于？
问题 3：对于换元 \(u=3x-2y,\; v=x+y\)，Jacobian \(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) 的值是？
问题 4：用变量替换法计算二重积分的正确步骤顺序是？
\(J = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\) 衡量面积元的伸缩比例：\(du\,dv = |J|\,dx\,dy\)。
面积元 → 被积函数 → 积分限，是处理变量替换的标准流程。
\(\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r\)，给出 \(dx\,dy = r\,dr\,d\theta\)。
在 \(uv\) 平面上画出区域是设置积分限的关键。
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