极坐标面积元
\(dA = r\,dr\,d\theta\)，因子 \(r\) 来自弧长。
MIT 18.02 · 第 17 课
当被积函数或积分区域具有圆形/扇形对称性时，用极坐标（polar coordinates）下的二重积分 \(dA = r\,dr\,d\theta\) 能大大简化计算。
极坐标与直角坐标的关系：
\[ x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta \]把区域切成小片：一个中心角为 \(\Delta\theta\)、径向宽度为 \(\Delta r\) 的小曲边矩形，其面积近似为
\[ \Delta A \approx (r\,\Delta\theta)\,\Delta r \]核心公式：极坐标下的面积元为
\[ dA = r\,dr\,d\theta \]
其中因子 \(r\) 来自弧长 \(r\,\Delta\theta\)，不能忘记！
计算 \(\iint_R (1-x^2-y^2)\,dA\)，其中 \(R\) 是第一象限的四分之一圆盘 \(x^2+y^2 \le 1,\; x \ge 0,\; y \ge 0\)。
在极坐标下：\(x^2+y^2 = r^2\)，区域描述为 \(0 \le r \le 1\)，\(0 \le \theta \le \pi/2\)。于是
\[ \int_0^{\pi/2}\!\int_0^1 (1-r^2)\,r\,dr\,d\theta \]注意被积函数多了一个 \(r\)（面积元）。内层积分：
\[ \int_0^1 (r - r^3)\,dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac14 \]外层积分：\(\int_0^{\pi/2} \frac14\,d\theta = \frac{\pi}{8}\)。
与第 16 课的直角坐标方法（需要复杂三角代换）相比，极坐标方法简便得多！
何时用极坐标：当出现以下情况时考虑极坐标——
1. 被积函数含有 \(x^2+y^2\)（变为 \(r^2\)）；
2. 区域是圆盘、扇形、环形或其一部分；
3. 边界曲线用极坐标方程更简单（如 \(r = a\cos\theta\)）。
一般方法：固定 \(\theta\)，用从原点出发的射线去"扫"区域，射线进入区域时的 \(r\) 值是下限，离开时的 \(r\) 值是上限。\(\theta\) 的取值范围则是覆盖整个区域的最小角度区间。
区域 \(R\) 的面积可以直接用二重积分表示：
\[ \text{Area}(R) = \iint_R 1\,dA \]设薄板在点 \((x,y)\) 处的面密度为 \(\delta(x,y)\)（单位面积的质量），则总质量为：
\[ M = \iint_R \delta(x,y)\,dA \]若密度均匀（常数 \(\delta\)），则 \(M = \delta \cdot \text{Area}(R)\)。
函数 \(f\) 在区域 \(R\) 上的平均值为：
\[ \bar{f} = \frac{1}{\text{Area}(R)} \iint_R f\,dA \]密度为 \(\delta\) 的薄板质心坐标 \((\bar{x}, \bar{y})\) 为加权平均：
\[ \bar{x} = \frac{1}{M} \iint_R x\,\delta\,dA,\qquad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_R y\,\delta\,dA \]转动惯量是物体在转动运动中的惯性量度（类比平动中的质量）。对原点：
\[ I_0 = \iint_R r^2\,\delta\,dA = \iint_R (x^2+y^2)\,\delta\,dA \]对 \(x\) 轴的转动惯量（距离为 \(|y|\)）：
\[ I_x = \iint_R y^2\,\delta\,dA \]物理意义：转动动能 = \(\frac12 I_0 \omega^2\)，其中 \(\omega\) 为角速度。转动惯量越大，改变转动状态越难。
半径为 \(a\)、密度 \(\delta=1\) 的均质圆盘绕原点的转动惯量：
\[ I_0 = \int_0^{2\pi}\!\int_0^a r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^a = \frac{\pi a^4}{2} \]把坐标原点放在圆盘边缘一点，直径沿 \(x\) 轴，则圆盘边界为 \(r = 2a\cos\theta\)，\(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\)：
\[ I_0 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\int_0^{2a\cos\theta} r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = \frac{3\pi a^4}{2} \]要点：通过平移坐标系、选择极坐标原点使边界方程简化，是处理圆形区域的常用技巧。
问题 1：极坐标下二重积分的面积元 \(dA\) 等于？
问题 2：把 \(\iint_R (1-x^2-y^2)\,dA\)（\(R\) 为圆盘 \(x^2+y^2 \le a^2\)）转为极坐标，被积表达式为？
问题 3：半径为 \(a\)、密度 \(\delta=1\) 的均质圆盘，对圆心的转动惯量 \(I_0\) 等于？
问题 4：密度为 \(\delta(x,y)\) 的薄板，其质心坐标 \((\bar{x}, \bar{y})\) 的正确表达式是？
\(dA = r\,dr\,d\theta\)，因子 \(r\) 来自弧长。
被积函数含 \(x^2+y^2\) 或区域为圆形/扇形时优先考虑。
面积 = \(\iint 1\,dA\)，质量 = \(\iint \delta\,dA\)。
\(I_0 = \iint r^2\delta\,dA\)，衡量物体对转动的惯性。
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