Lagrange 条件
\(\nabla f = \lambda \nabla g\) 与 \(g=c\) 联立。
MIT 18.02 · 第 13 课
用 Lagrange 乘子法求解约束极值问题：\(\nabla f = \lambda \nabla g\) 与约束 \(g=c\) 联立。
问题：求 \(f(x,y)\) 在约束条件 \(g(x,y)=c\) 下的极大或极小值。
例子：求双曲线 \(xy=3\) 上离原点最近的点，即极小化
\[ f(x,y) = x^2 + y^2 \quad\text{subject to}\quad g(x,y) = xy = 3 \]在极值点处，\(f\) 的等高线与约束曲线 \(g=c\) 相切。因为如果还能沿约束曲线移动并让 \(f\) 继续减小，就不是极小值。
两条曲线相切意味着它们的法向量平行，即梯度向量平行：
\[ \nabla f = \lambda \,\nabla g \]其中 \(\lambda\) 称为Lagrange 乘子（Lagrange multiplier）。
核心思想：在约束极值点处，沿约束曲面的任意切方向移动时 \(f\) 的一阶变化为零，因此 \(\nabla f\) 垂直于切平面，从而与 \(\nabla g\) 平行。
联立求解：
\[ \begin{cases} f_x = \lambda\, g_x \\ f_y = \lambda\, g_y \\ g = c \end{cases} \]对于例子 \(f=x^2+y^2\)，\(g=xy=3\)：
\[ \begin{cases} 2x = \lambda y \\ 2y = \lambda x \\ xy = 3 \end{cases} \]由前两式得 \(2x-\lambda y=0\)，\(-\lambda x+2y=0\)。系数行列式 \(4-\lambda^2=0\)，故 \(\lambda=\pm 2\)。
注意：Lagrange 乘子法本身不区分极大还是极小，也不能直接使用二阶导数检验。需要借助几何直观或比较 \(f\) 的取值来判断。
问题：给定三角形底面和固定体积 \(V\)，求使用表面积最小的顶点位置。
设底面顶点为 \(P_1,P_2,P_3\)，顶点为 \(P=(x,y,h)\)，其中高 \(h\) 由体积固定决定。
技巧：选取适合几何的变量——设 \(u_1,u_2,u_3\) 为底面内切方向上的有向距离，则每个侧面面积为 \(\dfrac{1}{2}a_i\sqrt{u_i^2+h^2}\)。
目标函数：
\[ f(u_1,u_2,u_3) = \frac{1}{2}a_1\sqrt{u_1^2+h^2} + \frac{1}{2}a_2\sqrt{u_2^2+h^2} + \frac{1}{2}a_3\sqrt{u_3^2+h^2} \]约束：
\[ g(u_1,u_2,u_3) = \frac{1}{2}a_1u_1 + \frac{1}{2}a_2u_2 + \frac{1}{2}a_3u_3 = A_{\text{base}} \]由 \(\nabla f = \lambda \nabla g\) 得
\[ \frac{a_i\,u_i}{2\sqrt{u_i^2+h^2}} = \lambda\,\frac{a_i}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u_i}{\sqrt{u_i^2+h^2}} = \lambda \]这对 \(i=1,2,3\) 都相同，故 \(u_1=u_2=u_3\)，即顶点在底面上的投影是三角形的内心（incenter）。
启示：选取合适的变量能极大简化 Lagrange 乘子法的计算。
问题 1：用 Lagrange 乘子法求 \(f\) 在 \(g=c\) 下的极值，需要联立什么方程？
问题 2：Lagrange 乘子法的几何意义是？
问题 3：Lagrange 乘子法求得的点如何判断是极大还是极小？
\(\nabla f = \lambda \nabla g\) 与 \(g=c\) 联立。
极值点处等高线与约束曲线相切。
判断极值：比较 \(f\) 的取值或几何论证。
合适的变量可极大简化计算。
lecture_notes/week_05_summary.pdf