梯度
\(\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z\rangle\)，统一表达链式法则。
MIT 18.02 · 第 12 课
引入梯度向量 \(\nabla f\) 统一表达链式法则，并定义方向导数 \(D_{\hat{u}}f\)，揭示梯度指向最陡上升方向且垂直于等高线。
回顾链式法则：\(\displaystyle \frac{dw}{dt} = w_x\frac{dx}{dt} + w_y\frac{dy}{dt} + w_z\frac{dz}{dt}\)，用向量记号写作
\[ \frac{dw}{dt} = \langle w_x, w_y, w_z\rangle \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \]定义（梯度）：向量
\[ \nabla f = \langle f_x, f_y, f_z\rangle \]
称为 \(f\) 的梯度（gradient）。
梯度是一个逐点取值的向量，在不同位置一般指向不同方向、有不同长度。
设 \(\vec{r}(t)\) 是等值面 \(w=c\) 上的一条曲线，速度向量 \(\vec{v} = d\vec{r}/dt\) 位于切平面内。由链式法则
\[ \frac{dw}{dt} = \nabla w \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = \nabla w \cdot \vec{v} = 0 \]这对切平面内所有 \(\vec{v}\) 都成立，因此 \(\nabla w\) 垂直于等值面的切平面，即梯度垂直于等值面。
例子：
• \(w = ax+by+cz\)：等值面是平面，\(\nabla w = \langle a,b,c\rangle\) 是法向量。
• \(w = x^2+y^2\)：等值线是圆，\(\nabla w = \langle 2x,2y\rangle\) 沿径向向外，垂直于圆。
应用：切平面方程。例：曲面 \(x^2+y^2-z^2=4\) 在 \((2,1,1)\) 处，\(\nabla w = \langle 4,2,-2\rangle\)，切平面为 \(4x+2y-2z=8\)。
给定单位向量 \(\hat{u} = \langle a,b\rangle\)，考虑沿方向 \(\hat{u}\) 的直线运动 \(x(s)=x_0+as\)，\(y(s)=y_0+bs\)（\(s\) 是弧长参数），则
\[ \left.\frac{dw}{ds}\right|_{\hat{u}} = \nabla w \cdot \hat{u} \]称为 \(w\) 沿方向 \(\hat{u}\) 的方向导数（directional derivative），记作 \(D_{\hat{u}}w\)。
几何意义：\(D_{\hat{u}}w = |\nabla w|\cos\theta\)，其中 \(\theta\) 是 \(\hat{u}\) 与 \(\nabla w\) 的夹角。
• 当 \(\cos\theta=1\)（即 \(\hat{u}\) 与梯度同向）：方向导数最大，为 \(|\nabla w|\)。
• 当 \(\cos\theta=-1\)：最陡下降。
• 当 \(\cos\theta=0\)：\(\hat{u}\) 垂直于梯度，即沿等高线方向，方向导数为 0。
核心思想：梯度方向是函数增长最快的方向，增长率等于 \(|\nabla f|\)；梯度垂直于等值面。
问题 1：\(f(x,y,z)\) 的梯度 \(\nabla f\) 等于？
问题 2：方向导数 \(D_{\hat{u}}f\) 何时取最大值？
问题 3：梯度向量与函数等值面的关系是？
\(\nabla f = \langle f_x, f_y, f_z\rangle\)，统一表达链式法则。
\(D_{\hat{u}}f = \nabla f \cdot \hat{u} = |\nabla f|\cos\theta\)。
梯度方向给出最大增长率 \(|\nabla f|\)。
梯度垂直于等值面，用于求切平面方程。
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