投影分量
\(\vec{A}\cdot\hat{u}=|\vec{A}|\cos\theta\)，是 \(\vec{A}\) 在单位方向 \(\hat{u}\) 上的有向投影。
MIT 18.02 · 第 2 课
点积的第三个应用——投影分量——引出面积与体积，并自然带出 2D/3D 行列式与空间叉积。
若 \(\hat{u}\) 是一个单位向量 (unit vector)（即 \(|\hat{u}|=1\)），则
\[\vec{A}\cdot\hat{u} = |\vec{A}|\cos\theta\]是向量 \(\vec{A}\) 在 \(\hat{u}\) 方向上的分量 (component)，即可正可负的投影长度。特别地，\(\vec{A}\cdot\hat{\imath}\) 就是 \(\vec{A}\) 在 \(x\) 轴上的分量 \(a_1\)。
物理实例：单摆偏离竖直方向时，摆球所受重力 \(\vec{F}\) 向下。物理上重要的是 \(\vec{F}\) 沿切向的分量（驱动摆的运动）和沿法向的分量（提供弦的张力）。
三角形面积 = \(\frac{1}{2}\times\) 底 \(\times\) 高 = \(\frac{1}{2}|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\)，所以平行四边形面积为 \(|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\)。
虽然可以用 \(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\) 结合点积算出，但公式会很丑。更好的办法是把夹角换成余角 \(\theta'=\frac{\pi}{2}-\theta\)：把 \(\vec{A}\) 逆时针旋转 \(90^\circ\) 得到 \(\vec{A}'\)，则
\[\text{面积} = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta = |\vec{A}'||\vec{B}|\cos\theta' = \vec{A}'\cdot\vec{B}.\]关键观察：若 \(\vec{A}=\langle a_1,a_2\rangle\)，则逆时针旋转 \(90^\circ\) 后
\[\vec{A}' = \langle -a_2,\,a_1\rangle.\]于是平行四边形面积为
\[\vec{A}'\cdot\vec{B} = \langle b_1,b_2\rangle\cdot\langle -a_2,a_1\rangle = a_1b_2-a_2b_1.\]定义 (2D)：设 \(\vec{A}=\langle a_1,a_2\rangle\)，\(\vec{B}=\langle b_1,b_2\rangle\)，则二阶行列式 \[\det(\vec{A},\vec{B}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2-a_2b_1.\] 几何意义：\(\det(\vec{A},\vec{B}) = \pm\)（以 \(\vec{A},\vec{B}\) 为边的平行四边形面积），符号取决于 \(\vec{B}\) 在 \(\vec{A}\) 的逆时针（正）还是顺时针（负）方向。
定义 (3D)： \[\det(\vec{A},\vec{B},\vec{C}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1\begin{vmatrix}b_2&b_3\\c_2&c_3\end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix}b_1&b_3\\c_1&c_3\end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix}b_1&b_2\\c_1&c_2\end{vmatrix}.\] 几何意义：\(\det(\vec{A},\vec{B},\vec{C}) = \pm\)（以 \(\vec{A},\vec{B},\vec{C}\) 为边的平行六面体体积）。
注意：3D 行列式的完整展开为 \(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1\)，即"主对角线方向三项减负对角线方向三项"。
叉积是仅对空间中两个向量定义的操作，结果是一个向量（与点积不同）。
定义： \[\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \hat{\imath}\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix} - \hat{\jmath}\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix} + \hat{k}\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}.\] 这里的 \(3\times3\) 行列式是符号记号，真正的公式是右边的展开式。
验证：\(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}\)，用几何描述（\(x\) 轴到 \(y\) 轴，拇指朝 \(z\)）和直接计算都得到同一结果。
核心思想：叉积把"面积"（大小）与"法向"（方向）打包成一个向量，这让我们能用一个向量同时编码平面的朝向与面积大小。
由右手定则或展开式易见 \(\vec{A}\times\vec{B} = -\vec{B}\times\vec{A}\)（叉积不交换），且 \(\vec{A}\times\vec{A}=\vec{0}\)。
以 \(\vec{B},\vec{C}\) 为底、\(\vec{A}\) 为侧棱的平行六面体，体积 = 底面积 \(\times\) 高：
\[\text{体积} = |\vec{B}\times\vec{C}|\cdot(\vec{A}\cdot\hat{n}),\]其中 \(\hat{n}=\frac{\vec{B}\times\vec{C}}{|\vec{B}\times\vec{C}|}\) 是底面单位法向量。于是
\[\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = \det(\vec{A},\vec{B},\vec{C}).\]这既可以用几何推导，也可以直接用分量验证。等式左边称为标量三重积 (scalar triple product)，右边正是 3D 行列式——行列式的绝对值就是体积。
问题 1：若 \(\hat{u}\) 是单位向量，则 \(\vec{A}\cdot\hat{u}\) 表示？
问题 2：以 \(\vec{A},\vec{B}\) 为边的三角形面积是？
问题 3：\(\hat{\jmath}\times\hat{k}\) 等于？
问题 4：以 \(\vec{A},\vec{B},\vec{C}\) 为边的平行六面体体积等于？
\(\vec{A}\cdot\hat{u}=|\vec{A}|\cos\theta\)，是 \(\vec{A}\) 在单位方向 \(\hat{u}\) 上的有向投影。
\(\det(\vec{A},\vec{B})=a_1b_2-a_2b_1=\pm\) 平行四边形面积。
\(\det(\vec{A},\vec{B},\vec{C})=\pm\) 平行六面体体积。
\(|\vec{A}\times\vec{B}|=\) 面积，方向由右手定则决定；\(\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}\)。
\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\det(\vec{A},\vec{B},\vec{C})=\pm\) 体积。
lecture_notes/week_01_summary.pdf（含本课继续内容）lecture_notes/determinants.pdf（行列式讲义）