向量与分量
\(\vec{A}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\)，加法与标量乘法按分量进行。
MIT 18.02 · 第 1 课
从有方向、有长度的对象出发，用分量语言描述向量，并通过点积在代数计算与几何直觉之间架起桥梁。
多元微积分的核心对象是向量 (vector)。一个向量 \(\vec{A}\) 既有方向 (direction)，也有长度 (length)，记作 \(|\vec{A}|\)。几何上我们把它画成一条带箭头的线段。
在空间直角坐标系中，我们用分量来描述向量。记 \(\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\) 分别是 \(x,y,z\) 方向的单位向量，则
\[\vec{A} = \langle a_1,a_2,a_3\rangle = a_1\hat{\imath}+a_2\hat{\jmath}+a_3\hat{k}.\]课堂采用的坐标系是：\(x\) 轴指向左下方，\(y\) 轴指向右方，\(z\) 轴向上。
核心思想：向量不依赖于起点。只要方向相同、长度相等，两个有向线段就代表同一个向量。这让我们可以自由地平移向量来作图。
把向量 \(\vec{A}\) 乘以一个实数 \(c\)，得到的新向量 \(c\vec{A}\) 与原向量共线，长度变为 \(|c|\) 倍。若 \(c>0\) 则同向，\(c<0\) 则反向。
课堂上我们用了一个具体的向量 \(\langle 3,2,1\rangle\) 来提问：它的长度是多少？答案是 \(\sqrt{14}\)。
一般地，把 \(\vec{A}\) 投影到 \(xy\) 平面上，得到投影向量 \(\langle a_1,a_2,0\rangle\)，其长度为 \(\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)。再由 \(\vec{A}\)、投影、\(z\) 分量构成的直角三角形，应用勾股定理得到
\[|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\]两个向量 \(\vec{A},\vec{B}\) 相加有两种等价看法：
在平行四边形中，另一条对角线（从 \(\vec{B}\) 终点到 \(\vec{A}\) 终点）恰好是 \(\vec{A}-\vec{B}\)。加法按分量逐个相加即可。课堂上举例 \(\vec{A}=3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}+\hat{k}\) 演示了分量相加。
定义 (代数)：设 \(\vec{A}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\)，\(\vec{B}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle\)，则它们的点积 (dot product) 是一个标量（不是向量）： \[\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\]
定理 (几何)：设 \(\vec{A},\vec{B}\) 的夹角为 \(\theta\)，则 \[\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta.\]
证明思路：先验证 \(\vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|^2\cos 0=|\vec{A}|^2\)，与代数定义一致。再考虑三边为 \(\vec{A},\vec{B},\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}\) 的三角形。
由余弦定理 (law of cosines)：
\[|\vec{C}|^2 = |\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2-2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta.\]另一方面，用代数定义直接计算：
\[|\vec{C}|^2 = \vec{C}\cdot\vec{C} = (\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{B}) = |\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2-2\,\vec{A}\cdot\vec{B}.\]比较两式即得定理。可见，点积的几何公式本质上就是余弦定理的向量表述。
核心思想：点积把"分量相乘再相加"与"长度乘夹角的余弦"两种完全不同的看法统一起来，使我们能在代数计算与几何直观之间自由切换。
由几何定理解出夹角：
\[\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}.\]例题：空间中三角形顶点为 \(P=(1,0,0)\)，\(Q=(0,1,0)\)，\(R=(0,0,2)\)，求在 \(P\) 处的夹角。
向量 \(\overrightarrow{PQ}=\langle -1,1,0\rangle\)，\(\overrightarrow{PR}=\langle -1,0,2\rangle\)，于是
\[\cos\theta = \frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{PR}|} = \frac{(-1)(-1)+1\cdot0+0\cdot2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}},\quad \theta\approx 71.5^\circ.\]例题：满足 \(x+2y+3z=0\) 的点集是什么？答案是过原点的一张平面。
几何地看：设 \(\vec{A}=\langle 1,2,3\rangle\)，\(P=(x,y,z)\)，则
\[\vec{A}\cdot\overrightarrow{OP} = x+2y+3z = 0 \iff |\vec{A}||\overrightarrow{OP}|\cos\theta=0 \iff \theta=\frac{\pi}{2}.\]这说明 \(\overrightarrow{OP}\perp\vec{A}\)。因此该集合是以 \(\vec{A}\) 为法向量 (normal vector)、过原点 \(O\) 的平面。
注意：点积的结果是一个标量，不是向量。初学者常把它和之后要学的叉积 (cross product) 混淆，后者才给出一个向量。
问题 1：已知 \(\vec{A}=\langle 1,0,1\rangle\)，\(\vec{B}=\langle 1,1,0\rangle\)，则 \(\cos\theta\)（\(\theta\) 为夹角）等于？
问题 2：向量 \(\vec{v}=\langle 1,2,3\rangle\) 与平面 \(x+2y+3z=5\) 的关系是？
问题 3：向量 \(\langle 1,-1,0\rangle\) 与 \(\langle 2,2,0\rangle\) 的夹角是？
问题 4：若 \(\vec{A}\cdot\vec{B}<0\)，则两向量的夹角 \(\theta\) 满足？
\(\vec{A}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\)，加法与标量乘法按分量进行。
\(|\vec{A}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)，由勾股定理推出。
\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，结果是一个标量。
\(\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\)，由余弦定理证明。
点积为零 \(\iff\) 垂直；\(ax+by+cz=0\) 是以 \(\langle a,b,c\rangle\) 为法向量的过原点平面。
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