求导
定义、法则、反函数、隐函数——计算基本功。
MIT 18.01 · Final Exam
课程终考，闭卷，覆盖全部 38 讲（Lecture 1–38）。19 道题、250 分、3 小时。从导数定义到泰勒级数，本导读使用 practice final 与复习材料，按六大板块梳理考点，不发布完整评分试卷。
Practice Final（19 题、250 分）的题型分布反映终考结构：
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x^2}\)（商法则）、\(\displaystyle\frac{d}{du}(3\sin^2 u+2)\)、\(\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}e^{kx}\) 在 \(x=0\) 取值（=\(k^n\)）。
曲线 \(x^2y^2+y^3=2\) 在 \((1,1)\) 的切线：隐式微分 \(2xy^2+2x^2yy'+3y^2y'=0\)，代入得 \(y'=-2/5\)，切线 \(y=-\frac25x+\frac75\)。
\(f(x)=\begin{cases}x^2+x+a,&x\le 0\\ bx+2,&x>0\end{cases}\)：连续要求 \(a=2\)；可导要求左导数 \(1\) 等于右导数 \(b\)，故 \(b=1\)。
50 英尺树顶以 2 ft/s 下落，顶高 30 ft 时影子伸长速率？设树与地面夹角 \(\theta\)，顶高 \(h=50\sin\theta\)，影长 \(x=50\cos\theta\)。由 \(dh/dt=-2\)、\(h=30\) 得 \(\sin\theta=3/5\)，再用 \(\frac{dx}{dt}=-50\sin\theta\frac{d\theta}{dt}\) 与 \(\frac{dh}{dt}=50\cos\theta\frac{d\theta}{dt}\) 联立。
「底在 \(x\) 轴、顶角在 \(y=1-x^2\) 上的最大矩形」：设顶角 \((x,1-x^2)\)，面积 \(A=2x(1-x^2)\)，求导得 \(x=1/\sqrt{3}\)，最大面积 \(=4/(3\sqrt{3})\)。
曲线上任一点法线过 \((1,0)\)：法线斜率 \(-1/y'\)，过 \((x,y)\) 与 \((1,0)\) 的斜率 \(=y/(x-1)\)，所以：
\[-\frac1{y'}=\frac{y}{x-1}\quad\Longrightarrow\quad yy'=-(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y\,dy=-(x-1)\,dx\]积分得 \(\frac12y^2=-\frac12(x-1)^2+C\)，即 \((x-1)^2+y^2=R^2\)——圆心在 \((1,0)\) 的圆族。
酒杯由 \(y=x^2\) 绕 \(y\) 轴旋转，口半径 1。体积（圆盘法）：
\[V=\int_0^1\pi(\sqrt{y})^2\,dy=\pi\int_0^1 y\,dy=\frac\pi2\]用 \(n=3\) 估算 \(\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx\)。先列表 \(x=0,\pi/6,\pi/3,\pi/2\) 对应的 \(y=\sin^2 x\)，再代入梯形公式。
\(F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt\)：\(F'(x)=e^{-x^2}\)，\(F''(x)=-2xe^{-x^2}\)，所以 \(F'(1)=e^{-1}\)、\(F''(1)=-2/e\)。
第 (b) 题：\(\int_1^2 e^{-u^2/4}\,du\) 用 \(t=u/2\) 换元，转化为 \(2\int_{1/2}^1 e^{-t^2}\,dt=2(F(1)-F(1/2))\)。
主缆形状 \(y=x^2/10\)（km），两塔相距 2 km。缆长：
\[s=\int_{-1}^1\sqrt{1+(x/5)^2}\,dx\]竖缆平均长度 = \(\frac12\int_{-1}^1(y_{\text{road}}-y_{\text{cable}})\,dx\)，其中路面高度取缆中点高度。
\(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+3x+2}=\int\frac{dx}{(x+1)(x+2)}=\int\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+2}\right)dx=\ln\left|\frac{x+1}{x+2}\right|+C\)。
\(\displaystyle\int x^2\ln x\,dx\)：分部积分，\(u=\ln x\)，\(dv=x^2\,dx\)。
\(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{(x^2+1)^2}\)：令 \(x=\tan u\)，\(dx=\sec^2 u\,du\)，积分限 \(0\to 0\)、\(1\to\pi/4\)。被积函数 \(=\frac{\sec^2 u}{\sec^4 u}=\cos^2 u\)，积分得 \(\frac{\pi}{8}+\frac14\)。
曲线 \(r=e^{\theta/2\pi}\)，\(\theta\) 从 0 到 \(2\pi\) 一圈。扫过面积：
\[A=\frac12\int_0^{2\pi}e^{\theta/\pi}\,d\theta=\frac{\pi}{2}(e^2-1)\]\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}\)：用 \(1-\cos x\sim x^2/2\)、\(\sin x\sim x\)，极限 \(=2\)。或用洛必达两次。
\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\)：这是 \(f(x)=\ln x\) 在 \(x=1\) 的导数，即 1。
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2 e^{-x}=0\)（指数衰减快于幂增长）。
\(\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^{3/2}}=\lim_{N\to\infty}\left[-\frac2{\sqrt x}\right]_1^N=2\)。
\(\displaystyle\sum\frac1{n^p+4}\)：与 p-级数比较，\(p>1\) 收敛、\(p\le 1\) 发散。
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}\) 在 \(x=0\) 的泰勒展开：
\[f(0)=1,\ f'(0)=\frac12,\ f''(0)=-\frac14,\ f'''(0)=\frac38,\dots\] \[\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots\]取 \(x=0.2\)，用四阶多项式估算 \(\sqrt{1.2}\) 到四位小数。
从几何级数 \(\frac1{1+u^2}=1-u^2+u^4-u^6+\cdots\)（\(|u|<1\)）逐项积分：
\[\tan^{-1}x=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\quad(|x|\le 1)\]问题 1：曲线 \(x^2y^2+y^3=2\) 在 \((1,1)\) 的切线斜率是？
问题 2：曲线上任一点法线过定点 \((1,0)\)，则曲线是？
问题 3：\(\sqrt{1+x}\) 在 \(x=0\) 的泰勒展开前三项是？
问题 4：\(\tan^{-1}x\) 的泰勒级数是？
定义、法则、反函数、隐函数——计算基本功。
切线、相关变化率、极值、MVT 不等式。
FTC、换元、部分分式、分部积分、三角换元。
面积、体积、功、平均值、概率。
收敛测试、泰勒展开、几何级数应用。
微分方程、极坐标、洛必达——跨板块融合。
共 19 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
（15 分）计算下列各题：
(a) 可应用商法则或乘积法则。(c) 先计算 \(e^{kx}\) 的前几阶导数以观察规律，再代入 \(x = 0\)。
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（10 分）求曲线 \(x^2y^2 + y^3 = 2\) 在图上的点 \((1, 1)\) 处的切线方程（答案写成 \(y = mx + b\) 的形式）。
将等式两边对 \(x\) 求导，把 \(y\) 视为 \(x\) 的函数。解出 \(y'\)，再代入 \((1, 1)\) 求得斜率。
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（10 分）利用隐函数求导，借助 \(D\cos x\) 的已知公式推导 \(D\cos^{-1}x\) 的公式（设 \(y = \cos^{-1}x\)）。
从 \(\cos y = x\) 出发，两边对 \(x\) 隐式求导得 \(-\sin y \cdot y' = 1\)，解出 \(y'\)，再利用恒等式将 \(\sin y\) 用 \(x\) 表示。
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（10 分）设 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + x + a, & x \le 0 \\ bx + 2, & x > 0 \end{cases}\)，其中 \(a\)、\(b\) 为常数。求使得 \(f(x)\) 可微的所有 \(a\)、\(b\) 值。
首先保证在 \(x = 0\) 处连续（左极限 = 右极限 = \(f(0)\)），再保证在 \(x = 0\) 处左导数等于右导数。
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（15 分）满月在正上方的夜晚，一棵 50 英尺高的户外圣诞树正在倒下。当其顶端离地 30 英尺时，顶端以 2 英尺/秒的速度下落。此时，月光投射的树影延伸的速率是多少？
将倒下的树建模为与地面构成的直角三角形。利用相似三角形建立树的水平位移与影长之间的关系，再对时间求导。
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（15 分）求底边在 \(x\) 轴上、顶角在抛物线 \(y = 1 - x^2\) 上的最大矩形的面积。
设矩形半宽为 \(x\)，高为 \((1 - x^2)\)。面积 \(A(x) = 2x(1 - x^2)\)。在区间 \([0, 1]\) 上求导找临界点。
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（15 分）曲线 \(y = y(x)\) 具有如下性质：图上每一点 \((x, y)\) 处的法线都经过定点 \((1, 0)\)（法线垂直于切线）。
(a) 法线经过 \((x, y)\) 和 \((1, 0)\)，故其斜率为 \(\frac{y}{x-1}\)，等于 \(-\frac{1}{y'}\)。(b) 分离为 \(y\, dy = (1-x)\, dx\) 后积分。(c) 配方以识别曲线。
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（15 分）酒杯杯身由抛物线 \(y = x^2\) 绕 \(y\) 轴旋转而成，其上沿为半径 1 的圆。问该酒杯能盛多少酒？
使用圆盘法对 \(y\) 积分：由 \(x^2 = y\) 得 \(V = \pi \int_0^1 y\, dy\)。
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（10 分）使用 \(n = 3\) 个区间的梯形法则估计 \(\int_0^{\pi/2} \sin^2 x\, dx\)。请系统作答，先列出函数值表。
计算 \(\Delta x = \frac{\pi}{6}\)。求 \(\sin^2 x\) 在 \(x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\) 处的值。应用梯形公式：\(\frac{\Delta x}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)]\)。
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（15 分）设 \(F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\, dt\)。
(a) 由 FTC 得 \(F'(x) = e^{-x^2}\)，再求 \(F''(x) = -2x e^{-x^2}\)，代入 \(x = 1\)。(b) 令 \(u = 2t\) 进行换元，将积分与 \(F\) 建立联系。
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（15 分）悬索桥两座塔之间的主缆形状为抛物线 \(y = \frac{1}{10}x^2\)（单位：千米）。两塔相距 2 千米，主缆到水平桥面的垂直吊索间距相等且密集。
(a) 计算 \(y' = \frac{x}{5}\)，列出弧长积分。(b) 垂直吊索的平均高度即 \(y = \frac{x^2}{10}\) 在 \([-1, 1]\) 上的平均值，需将单位从千米换算为米。
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（20 分）计算
(a) 对分母因式分解后拆分为部分分式 \(\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}\)，再积分。(b) 取 \(u = \ln x\)，\(dv = x^2\, dx\)，使用分部积分。
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（10 分）通过代换 \(x = \tan u\) 计算 \(\int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}\)，注意更新积分限。
令 \(x = \tan u\)，被积函数变为 \(\frac{\sec^2 u}{\sec^4 u} = \cos^2 u\)。利用半角公式积分 \(\cos^2 u\)。
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（15 分）从 \(r = 1\) 处出发，点 \(P\) 沿极坐标曲线 \(r = e^{\theta/2\pi}\) 逆时针运动，使得线段 \(OP\) 完成一整圈旋转（\(O\) 为原点）。画出曲线草图，并求 \(OP\) 旋转一周所扫过的总面积。
一整圈意味着 \(\theta\) 增加 \(2\pi\)。由 \(r = 1\) 在 \(\theta = 0\) 处知旋转从 \(\theta = 0\) 到 \(\theta = 2\pi\)。使用极坐标面积公式 \(A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} e^{\theta/\pi}\, d\theta\)。
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（15 分）计算下列极限（需写出过程）：
(a) 利用 \(1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)\) 或两次应用洛必达法则。(b) 应用洛必达法则。(c) 改写为 \(\frac{x^2}{e^x}\) 后两次应用洛必达法则。
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（10 分）计算 \(\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^{3/2}}\)。
改写为 \(\lim_{b\to \infty} \int_1^b x^{-3/2}\, dx\)。利用幂函数积分公式：\(\int x^{-3/2}\, dx = -2x^{-1/2}\)。
题面完整来源于官方练习试卷，已翻译为中文。积分上限为无穷大。
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（10 分）\(p\) 取何值时，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 + n^p}\) 收敛？请说明理由。
当 \(n\) 充分大时，\(4 + n^p \sim n^p\)。利用比较判别法与 \(p\) 级数 \(\sum \frac{1}{n^p}\) 的敛散性：\(p\) 级数在 \(p > 1\) 时收敛。
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（15 分）
(a) 计算 \(\sqrt{1+x}\) 在 \(x = 0\) 处的各阶导数得到系数，或利用二项式级数 \((1+x)^{1/2}\)。(b) 将 \(x = 0.2\) 代入级数。
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（10 分）利用逐项微分或积分相应的几何级数，求 \(\tan^{-1}x\) 在 \(x = 0\) 处的泰勒级数，写出足够多项以显现规律。
从几何级数 \(\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots\) 出发逐项积分，利用 \(\tan^{-1}(0) = 0\) 确定积分常数。
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