MIT 18.01 · 第 38 课

期末总复习

期末考（12 月 21 日）覆盖整个学期：微分、应用、积分、积分技术、洛必达、广义积分、无穷级数与泰勒级数。这一课把 38 讲内容串成四大单元，给出每单元的核心公式、常见错误和代表性期末风格题目，结合 practice final 做最后冲刺。

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这一课在课程中的位置

这是整个课程的最后一堂复习课。期末考题型包括：求导与切线、隐函数微分、相关变化率、最大最小、数值积分（梯形/辛普森）、积分技术综合、球面帽体积/面积、洛必达、广义积分敛散性、级数审敛、泰勒展开与近似。本导读依据 practice final（19 题，250 分）与期末说明（endoftermf06）编写。

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单元一：微分（Lecture 1–7, 9–14）

核心公式

• 导数定义：\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
• 基本求导：\((x^n)'=nx^{n-1}\)，\((e^x)'=e^x\)，\((\ln x)'=1/x\)，三角/反三角导数
• 乘积法则：\((fg)'=f'g+fg'\)
• 商法则：\(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\)
• 链式法则：\(\displaystyle\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\,g'(x)\)
• 隐函数微分：方程两边对 x 求导，解出 dy/dx
• 线性近似：\(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\)
• 中值定理：\(\displaystyle f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\)

代表性期末题

1. 求导：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\ln\!\left(\frac{2}{x}\right) = -\frac{1}{x}\)（practice final 1a）。

2. 切线方程：曲线 \(x^2y^2+y^3=2\) 在 (1,1) 的切线（practice final 2）。先隐函数微分再代点。

3. 反三角求导：用隐函数微分推导 \(D\cos^{-1}x\)（practice final 3）。令 \(y=\cos^{-1}x\)，则 \(\cos y=x\)，两边求导：\(-\sin y\cdot y'=1\)，\(y'=-1/\sin y=-1/\sqrt{1-x^2}\)。

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单元二：微分的应用（Lecture 10–13）

核心公式

• 相关变化率：通过几何关系建立方程，再对 t 求导
• 最大值/最小值：找临界点（f'=0 或不存在），用一阶或二阶导数判别
• 牛顿法：\(\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
• 曲线绘绘：利用 f' 判增减、f'' 判凹凸，找极值与拐点

代表性期末题

1. 相关变化率：50 英尺圣诞树倒下，顶离地 30 英尺时以 2 ft/s 下落，求影长变化率（practice final 5）。

2. 最大最小：底在 x 轴上、顶角在抛物线 y=1−x² 上的最大矩形面积（practice final 6）。设矩形半宽 x，面积 A=2x(1−x²)，求导找临界点。

3. 常微分方程（几何）：曲线上每点的法线过定点 (1,0)，求曲线族（practice final 7）。法线斜率 = −1/y'，过 (1,0) 建立方程 \(y' = -(1-x)/y\)，分离变量求解，配方得圆族。

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单元三：积分与应用（Lecture 15–24）

核心公式

• 微积分基本定理：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\)，\(\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)\)
• 面积：\(\displaystyle A=\int_a^b (f-g)\,dx\) 或 \(\int_c^d (f-g)\,dy\)
• 体积（圆盘/垫圈）：\(\displaystyle V=\int \pi R^2\,dx\)
• 体积（圆柱壳）：\(\displaystyle V=2\pi\int x\cdot h\,dx\)
• 功、平均值、概率
• 数值积分：梯形法则、辛普森法则

代表性期末题

1. 旋转体体积：抛物线 y=x² 绕 y 轴，杯口半径 1，求体积（practice final 8）。壳法或圆盘法。

2. 球面帽：证明半径 r、高 h 的球冠体积 \(V=\pi rh^2 - \pi h^3/3\)，并求其表面积（practice final 用 8B 题）。代 h=0, r, 2r 验证。

3. FTC 应用：\(\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt\)，求 F'(1)、F''(1)（practice final 10a）。F'(x)=e^{−x²}，F''(x)=−2x e^{−x²}。

4. 辛普森法则：n=3 估计 ∫₀^{π/2} sin²x dx（practice final 9）。先列表再套公式。

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单元四：积分技术 + 洛必达 + 级数（Lecture 25–37）

核心公式

• 三角代换：a²−x² → x=a sin u；a²+x² → x=a tan u；x²−a² → x=a sec u
• 部分分式：长除法 → 三类积木 → 覆盖法
• 分部积分：∫u dv = uv − ∫v du（LIATE）
• 弧长：ds = √((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt
• 旋转面：绕 x 轴 2πy ds，绕 y 轴 2πx ds
• 极坐标面积：A = (1/2)∫r² dθ
• 洛必达：lim f/g = lim f'/g'（0/0 或 ∞/∞）
• p-积分/p-级数：∫₁^∞ dx/xᵖ、∑1/nᵖ 收敛 ⇔ p>1
• 比值审敛法：L=1 失效
• 五个麦克劳林级数：eˣ, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^k

代表性期末题

1. 积分技术：∫ dx/(x²+3x+2)（practice final 12a）先因式分解再部分分式；∫ x² ln x dx（12b）分部积分。

2. 三角代换：∫ dx/(x²+1)²，令 x=tan u（practice final 13），注意换限。

3. 极坐标：r=e^{θ/2π} 从 r=1 出发，OP 转一圈扫过的面积（practice final 14）。A=(1/2)∫r² dθ。

4. 洛必达：lim sin²x/(1−cos x)（x→0），lim (ln x)²/(x−1)（x→1），lim x² e⁻ˣ（x→∞）（practice final 15）。

5. 级数敛散：∑1/(4+np) 对哪些 p 收敛（practice final 17）。这是 p-级数变体。

6. 泰勒级数：f(x)=√(1+x) 的前四项麦克劳林级数，并用它算 √1.2 到四位小数（practice final 18）。

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期末公式表（会印发）

以下公式随期末考印发（与 Exam 4 公式表相同）：

• 三角恒等式：\(\sin^2x+\cos^2x=1\)，\(\sec^2x=\tan^2x+1\)，半角公式，双角公式
• 导数：\(\tan'=\sec^2\)，\(\sec'=\sec\tan\)，\((\tan^{-1})'=1/(1+x²)\)，\((\sin^{-1})'=1/\sqrt{1-x²}\)
• 积分：∫tan x dx = −ln(cos x)+c，∫sec x dx = ln|sec x+tan x|+c

不印发、必须自己背的：部分分式形状、分部积分公式、递推公式、弧长/面积公式、极坐标面积公式、五个麦克劳林级数、p-积分/p-级数结论。

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全课常见错误汇总

主题	典型错误
隐函数微分	忘乘 y'；商的分子顺序反
相关变化率	没对 t 求导；几何关系列错
壳法体积	半径写成 y（绕 y 轴时应为 x）
部分分式	假分式没长除；重因式漏项；二次项分子写成常数
三角代换	没画图回代；忘限定 u 的区间
极坐标面积	忘乘 1/2；θ 区间取错
洛必达	对非未定式使用；1^∞ 没取对数
级数	把通项→0 当充分条件；比值法 L=1 随便下结论
泰勒级数	忘记写收敛区间；逐项求导下标没调整

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期末自测

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期末冲刺要点

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参考资料

• Practice Final Exam（prfinal，19 题，本课已逐题引用）
• End of Term 说明（endoftermf06：范围、题型、公式表、复习建议）
• Exam 1–4 真题及其复习讲义（综合技术基础）
• Problem Set 1–8B（全学期配套训练）

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