知识焦点
先建立概念地图
- 泊松过程
- 指数分布
- 高斯分布
- 贝叶斯法则
- 切比雪夫不等式
- 中心极限定理
- 均匀分布
- 置信区间
CS70 · 作业 14
本题组涵盖四个主题：(1) 泊松过程与指数分布，通过鱼落在无限长路上的模型推导计数分布与首次到达距离；(2) 高斯噪声信道下的贝叶斯推断，利用密度函数在连续随机变量上条件化；(3) 切比雪夫不等式与中心极限定理的比较，对同一随机变量给出不同精度的尾概率界；(4) 均匀分布参数的估计，利用中心极限定理和切比雪夫不等式构造置信区间。
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建议顺序
先完整作答，再按需展开提示；最后才展开官方参考解答并逐步核对证明与计算。
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题面来源：homework/hw14.pdf · 1 · confidence: high
一场飓风刚刚掠过海岸，将一群鱼抛到了海滩附近的路上。这条路从你家出发，无限长。我们将路上的一个点标记为它到你家的距离（以英里为单位）。对于每个 \(n \in \mathbb{N}\)，落在路段 \([n, n+1]\) 中的鱼的数量独立地服从 \(\text{Poisson}(\lambda)\) 分布，且被抛入该路段的每条鱼在路段内均匀随机落地。请记住，你可以引用课堂或讨论课中的任何结论而无需证明。
(a) 对于某个 \(n \in \mathbb{N}\)，到达路段 \([0, n]\) 的鱼的数量的分布是什么？
(b) 设 \([a, b]\) 是 \([0,1]\) 中的一个区间。落在路段 \([a, b]\) 中的鱼的数量的分布是什么？
(c) 设 \([a, b]\) 是任意满足 \(a \geq 0\) 的区间。落在 \([a, b]\) 中的鱼的数量的分布是什么？
(d) 假设你沿着这条路散步。你走到遇到第一条鱼时所走的距离（以英里为单位）的分布是什么？
(e) 假设你在距离 \(x\) 处遇到一条鱼。你走到遇到下一条鱼时所走的距离的分布是什么？
回顾泊松分布的可加性：独立泊松随机变量之和仍为泊松分布，参数为各参数之和。对于连续区间上的计数，考虑将区间分解为整数段与剩余段，并利用二项 thinning 的思想。对于首次遇到鱼的距离，可利用「无鱼区间」的概率与指数分布的生存函数之间的联系。
(a) 从课堂中我们了解到，如果 \(X\) 和 \(Y\) 独立，且 \(X \sim \text{Poisson}(\lambda)\) 且 \(Y \sim \text{Poisson}(\mu)\)，则 \(X + Y \sim \text{Poisson}(\lambda + \mu)\)。我们知道落在路段 \([0, n]\) 中的鱼的数量等于落在每个 \([i, i+1]\)（\(i \in \{0, 1, \ldots, n-1\}\)）中的鱼的数量之和。因此，\([0, n]\) 中的鱼的数量服从 \(\text{Poisson}(n\lambda)\)。
(b) 直观地，某条特定鱼落在区间 \([a, b]\) 中的概率是 \(b - a\)，因为它的位置在 \([0,1]\) 上均匀分布。因此，分布为 \(\text{Poisson}((b-a)\lambda)\)。
更严格地，假设我们要求 \(k\) 条鱼落在区间 \([a, b]\) 中的概率。这只有在总共有某个 \(i \geq k\) 条鱼且其中恰好 \(k\) 条鱼落在子区间中时才会发生。
一般来说，在区间 \([0,1]\) 中得到 \(i\) 条鱼的概率为 \(\frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda}\)，因为这服从 \(\text{Poisson}(\lambda)\)。这些鱼中恰好 \(k\) 条落在 \([a, b]\) 中的概率是二项的，服从 \(\text{Binomial}(i, b-a)\)，因为总共有 \(i\) 条鱼，每条鱼落在区间中的概率为 \(b-a\)（因为鱼是均匀分布的）。
\(k\) 条鱼落在区间 \([a, b]\) 中的概率是所有可能的 \(i \geq k\) 上的求和：
\[P[Y=k] = \sum_{i=k}^{\infty} \frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda} \binom{i}{k} (b-a)^k (1-b+a)^{i-k}\]
\[= \frac{(b-a)^k e^{-\lambda}}{k!} \sum_{i=k}^{\infty} \frac{\lambda^i (1-b+a)^{i-k}}{(i-k)!}\]
换元并令 \(j = i - k\) 即 \(i = j + k\)，我们有
\[P[Y=k] = \frac{(b-a)^k}{k!} e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j+k} (1-b+a)^j}{j!}\]
\[= \frac{(b-a)^k \lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(\lambda(1-b+a))^j}{j!}\]
\[= \frac{(b-a)^k \lambda^k}{k!} e^{-\lambda} e^{\lambda(1-b+a)} \quad (\text{由 } e^u \text{ 的泰勒展开})\]
\[= \frac{(\lambda(b-a))^k}{k!} e^{-\lambda(b-a)}\]
这是均值为 \(\lambda(b-a)\) 的泊松分布的 PMF，即 \(\text{Poisson}(\lambda(b-a))\)。
(c) 答案仍是 \(\text{Poisson}((b-a)\lambda)\)。显然，如果 \([a, b]\) 包含在某个区间 \([n, n+1]\) 中，则这是成立的。如果不是，则令 \(i\) 为满足 \(i \geq a\) 的最小整数，\(j\) 为满足 \(j \leq b\) 的最大整数。那么分布为 \(\text{Poisson}((i-a)\lambda) + \text{Poisson}((j-i)\lambda) + \text{Poisson}((b-j)\lambda) = \text{Poisson}((b-a)\lambda)\)。
(d) 距离是 \(\text{Exp}(\lambda)\)。为了证明这一点，只需证明 CDF 与指数 CDF 匹配。设 \(X\) 为第一条鱼到房子的距离。注意 \(P[X \geq t] = P[\text{在 } [0,t] \text{ 中无鱼}]\)。由前面的部分，我们知道 \([0,t]\) 中的鱼的数量服从 \(\text{Poisson}(\lambda t)\)，其等于 0 的概率为 \(\frac{(\lambda t)^0 e^{-\lambda t}}{0!} = e^{-\lambda t}\)。 因此，我们有 \(P[X < t] = 1 - e^{-\lambda t}\)，这正是指数 CDF。
(e) 仍然是 \(\text{Exp}(\lambda)\)。使用与前一相同的逻辑，我们有 \(P[X \geq t]\) 等于没有鱼落在路段 \([x, x+t]\) 中的概率。这又等于 \(e^{-\lambda t}\)，因为该路段中的鱼的数量服从 \(\text{Poisson}(\lambda t)\)。
解答来源：solutions/homework/hw14-sol.pdf · 1-2 · confidence: high
题面来源：homework/hw14.pdf · 1-2 · confidence: high
噪声爱情（Noisy Love）。假设你在情人节向心仪对象表白了，正在等待回复。你的心仪对象试图给你发送一条二进制消息：「0」表示对方对你没有兴趣，而「1」表示对方回应了你的感情。设 \(X\) 是对方发给你的消息，你当前对 \(X\) 的最佳猜测为 \(\mathbb{P}(X = 0) = 0.7\)，\(\mathbb{P}(X = 1) = 0.3\)。不幸的是，对方通过一条噪声信道发送消息，因此你收到的不是 \(X\)，而是 \(Y = X + \varepsilon\)，其中 \(\varepsilon\) 是独立的高斯噪声（Gaussian noise），均值为 \(0\)，方差为 \(0.49\)。
(a) 首先，你采用如下规则：若观测到 \(Y > 0.5\)，则认定对方也喜欢你；若观测到 \(Y \leq 0.5\)，则认定对方对你没有兴趣。求采用该规则时你判断正确的概率？（答案请用标准高斯分布的累积分布函数 \(\Phi(z) = \mathbb{P}(N(0,1) \leq z)\) 表示，并进一步给出数值结果。）
(b) 假设你观测到 \(Y = 0.6\)。求对方喜欢你的概率是多少？ [提示：本题需要对一个概率为 \(0\) 的事件——即事件 \(\{Y = 0.6\}\)——做条件概率。思考时可改为对事件 \(\{Y \in [0.6, 0.6 + \delta]\}\) 做条件，其中 \(\delta > 0\) 充分小，使得 \(f_Y(0.6) \cdot \delta \approx \mathbb{P}(Y \in [0.6, 0.6 + \delta])\)，再应用贝叶斯法则（Bayes Rule）。]
(c) 假设你观测到 \(Y = y\)。对于哪些 \(y\) 值，对方喜欢你的可能性大于不喜欢的可能性？[提示：同前，可考虑事件 \(\{Y \in [y, y + \delta]\}\)（\(\delta > 0\) 充分小）。即何时满足 \(\mathbb{P}(X = 1 \mid Y \in [y, y + \delta]) \geq \mathbb{P}(X = 0 \mid Y \in [y, y + \delta])\)？]
(d) 你的新规则是：当且仅当根据所观测到的 \(Y\) 值，对方喜欢你的可能性大于不喜欢时，才认定对方喜欢你。求采用这一新规则时你判断正确的概率。
(a) 将「判断正确」拆分为 \(X=0\) 与 \(X=1\) 两种情形，分别利用正态分布标准化后再用 \(\Phi\) 表示。(b)(c) 对连续变量做条件概率时，用密度替代概率质量函数，贝叶斯公式仍然成立；注意先验比 \(\mathbb{P}(X=1)/\mathbb{P}(X=0)\) 与似然比的比较。
(a) 判断正确的概率为 \[ \mathbb{P}(\text{正确}) = \mathbb{P}(X = 0)\,\mathbb{P}(Y \leq 0.5 \mid X = 0) + \mathbb{P}(X = 1)\,\mathbb{P}(Y > 0.5 \mid X = 1). \] 当 \(X = 0\) 时，\(Y = \varepsilon \sim N(0, 0.49)\)；当 \(X = 1\) 时，\(Y = 1 + \varepsilon \sim N(1, 0.49)\)。于是 \[ \mathbb{P}(\text{正确}) = 0.7\,\mathbb{P}\bigl(N(0, 0.49) \leq 0.5\bigr) + 0.3\,\mathbb{P}\bigl(N(1, 0.49) > 0.5\bigr) = 0.7\,\mathbb{P}\!\left(N(0,1) \leq \frac{0.5}{0.7}\right) + 0.3\,\mathbb{P}\!\left(N(0,1) > \frac{-0.5}{0.7}\right) = 0.7\,\Phi\!\left(\frac{5}{7}\right) + 0.3\,\Phi\!\left(\frac{5}{7}\right) = \Phi\!\left(\frac{5}{7}\right) \approx 0.762. \]
(b) 对事件 \(\{Y \in [0.6, 0.6 + \delta]\}\) 应用贝叶斯法则： \[ \mathbb{P}(X = 1 \mid Y \in [0.6, 0.6 + \delta]) = \frac{\mathbb{P}(X = 1)\,f_{Y\mid 1}(0.6)}{\mathbb{P}(X = 0)\,f_{Y\mid 0}(0.6) + \mathbb{P}(X = 1)\,f_{Y\mid 1}(0.6)}, \] 其中 \(f_{Y\mid 0}\) 为 \(N(0, 0.49)\) 的密度，\(f_{Y\mid 1}\) 为 \(N(1, 0.49)\) 的密度。代入数值： \[ \mathbb{P}(X = 1 \mid Y = 0.6) = \frac{0.3 \cdot (2\pi)^{-1/2} \exp\!\bigl(-0.4^2/(2 \cdot 0.49)\bigr)}{0.7 \cdot (2\pi)^{-1/2} \exp\!\bigl(-0.6^2/(2 \cdot 0.49)\bigr) + 0.3 \cdot (2\pi)^{-1/2} \exp\!\bigl(-0.4^2/(2 \cdot 0.49)\bigr)} \approx 0.345. \] 可见，观测到 \(Y = 0.6\) 后，对方喜欢你的信念由先验的 \(0.3\) 上升至约 \(0.345\)。
(c) 要求 \[ \mathbb{P}(X = 1 \mid Y \in [y, y + \delta]) \geq \mathbb{P}(X = 0 \mid Y \in [y, y + \delta]), \] 这等价于 \[ \mathbb{P}(X = 1 \mid Y \in [y, y + \delta]) \geq \frac{1}{2}. \] 由 (b) 的方法， \[ \mathbb{P}(X = 1 \mid Y \in [y, y + \delta]) = \frac{0.3 \exp\!\bigl(-(1-y)^2/0.98\bigr)}{0.7 \exp\!\bigl(-y^2/0.98\bigr) + 0.3 \exp\!\bigl(-(1-y)^2/0.98\bigr)} = \frac{1}{1 + \frac{0.7}{0.3}\exp\!\bigl(((1-y)^2 - y^2)/0.98\bigr)}. \] 令其 \(\geq 1/2\)： \[ \frac{0.7}{0.3}\exp\!\left(\frac{(1-y)^2 - y^2}{0.98}\right) \leq 1 \;\Longrightarrow\; \exp\!\left(\frac{1 - 2y}{0.98}\right) \leq \frac{3}{7} \;\Longrightarrow\; 1 - 2y \leq 0.98 \ln\!\frac{3}{7} \;\Longrightarrow\; y \geq \frac{1}{2}\left(1 - 0.98 \ln\!\frac{3}{7}\right) \approx 0.915. \] 因此，新规则为：当且仅当观测到的消息 \(Y \geq 0.915\) 时，认定对方喜欢你。
(d) 同 (a) 的分解： \[ \mathbb{P}(\text{正确}) = 0.7\,\mathbb{P}(Y \leq 0.915 \mid X = 0) + 0.3\,\mathbb{P}(Y > 0.915 \mid X = 1) \] \[ = 0.7\,\mathbb{P}\!\left(N(0,1) \leq \frac{0.915}{0.7}\right) + 0.3\,\mathbb{P}\!\left(N(0,1) > \frac{-0.085}{0.7}\right) = 0.7\,\Phi\!\left(\frac{0.915}{0.7}\right) + 0.3\,\Phi\!\left(\frac{0.085}{0.7}\right) \approx 0.798. \] 可见该策略优于 (a) 中的规则。
解答来源：solutions/homework/hw14-sol.pdf · 3-4 · confidence: high
题面来源：homework/hw14.pdf · 1-2 · confidence: high
切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）与中心极限定理（Central Limit Theorem）。设 \(n\) 为正整数。设 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 为独立同分布（i.i.d.）随机变量，分布如下： \[ \mathbb{P}[X_i = -1] = \frac{1}{12};\quad \mathbb{P}[X_i = 1] = \frac{9}{12};\quad \mathbb{P}[X_i = 2] = \frac{2}{12}. \]
(a) 计算 \(X_1\)、\(\sum_{i=1}^n X_i\)、\(\sum_{i=1}^n (X_i - \mathbb{E}[X_i])\) 以及 \[ Z_n = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mathbb{E}[X_i])}{\sqrt{n/2}} \] 的期望与方差。
(b) 利用切比雪夫不等式，求 \(\mathbb{P}[|Z_n| \geq 2]\) 的一个上界 \(b\)。
(c) 能否用 \(b\) 来分别估计 \(\mathbb{P}[Z_n \geq 2]\) 和 \(\mathbb{P}[Z_n \leq -2]\) 的上界？
(d) 当 \(n \to \infty\) 时，\(Z_n\) 的极限分布是什么？
(e) 已知若 \(Z \sim N(0,1)\)，则 \(\mathbb{P}[|Z| \leq 2] = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0.9545\)。当 \(n \to \infty\) 时，能否给出 \(\mathbb{P}[Z_n \geq 2]\) 与 \(\mathbb{P}[Z_n \leq -2]\) 的近似值？
(a) 先算 \(\mathbb{E}[X_1]\) 与 \(\mathbb{E}[X_1^2]\)，再利用独立性求和式的期望与方差；注意 \(Z_n\) 只是和式的线性变换。(b) 切比雪夫不等式为 \(\mathbb{P}[|Z_n - \mathbb{E}[Z_n]| \geq k] \leq \operatorname{Var}(Z_n)/k^2\)。(d)(e) 中心极限定理给出标准化和的极限分布，再利用正态分布的对称性。
(a) \[ \mathbb{E}[X_1] = (-1)\cdot\frac{1}{12} + 1\cdot\frac{9}{12} + 2\cdot\frac{2}{12} = \frac{-1 + 9 + 4}{12} = 1, \] \[ \operatorname{Var}(X_1) = \frac{1}{12}\cdot(-1-1)^2 + \frac{9}{12}\cdot(1-1)^2 + \frac{2}{12}\cdot(2-1)^2 = \frac{1}{12}\cdot 2^2 + \frac{9}{12}\cdot 0^2 + \frac{2}{12}\cdot 1^2 = \frac{1}{2}. \] 由期望与方差的线性性质（\(X_1, \ldots, X_n\) 独立）， \[ \mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = n,\qquad \operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{n}{2}. \] 再由期望的线性性，\(\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n (X_i - \mathbb{E}[X_i])\right] = n - n = 0\)。减去常数不改变方差，故 \(\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \mathbb{E}[X_i])\right) = n/2\)。
利用期望与方差的缩放性质， \[ \mathbb{E}[Z_n] = \frac{0}{\sqrt{n/2}} = 0,\qquad \operatorname{Var}(Z_n) = \frac{n/2}{n/2} = 1. \]
(b) 由切比雪夫不等式， \[ \mathbb{P}[|Z_n| \geq 2] \leq \frac{\operatorname{Var}(Z_n)}{2^2} = \frac{1}{4}. \] 故上界 \(b = 1/4\)。
(c) 对两者均有上界 \(1/4\)，因为 \(\mathbb{P}[Z_n \geq 2] \leq \mathbb{P}[|Z_n| \geq 2]\) 且 \(\mathbb{P}[Z_n \leq -2] \leq \mathbb{P}[|Z_n| \geq 2]\)。
(d) 由中心极限定理，\(Z_n \to N(0,1)\)，即标准正态分布。
(e) 由于 \(Z_n \to N(0,1)\)，可近似 \(\mathbb{P}[|Z_n| \geq 2] \approx 1 - 0.9545 = 0.0455\)。由正态分布的对称性， \[ \mathbb{P}[Z_n \geq 2] = \mathbb{P}[Z_n \leq -2] \approx \frac{0.0455}{2} = 0.02275. \] 值得注意的是，中心极限定理给出的结果远小于切比雪夫不等式给出的上界。这是因为中心极限定理适用于特定类型的随机变量（即大量随机变量之和的标准化形式），而切比雪夫不等式对任意随机变量都成立，因此给出的界更弱。
解答来源：solutions/homework/hw14-sol.pdf · 5-6 · confidence: high
题面来源：homework/hw14.pdf · 2-3 · confidence: high
均匀分布估计 (Uniform Estimation)
Note 17 | Note 21
设 \(U_1, \ldots, U_n \stackrel{\text{iid}}{\sim} \text{Uniform}(-\theta, \theta)\)，其中 \(\theta \in \mathbb{R}\)，\(\theta > 0\) 且未知。我们希望从数据 \(U_1, \ldots, U_n\) 中估计 \(\theta\)。
(a) 为什么在这种情况下使用样本均值 \(\bar{U} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n U_i\) 会失败？
(b) 求 \(U_i^2\) 的概率密度函数（PDF），其中 \(i \in \{1, \ldots, n\}\)。
(c) 考虑以下方差估计量： \[V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n U_i^2.\] 证明当 \(n\) 充分大时，\(V\) 的分布近似于某个常见分布，并给出该分布的名称和参数。
(d) 利用 (c) 的结果，构造一个使用全部数据的 \(\theta^2\) 的无偏估计量。
(e) 设 \(\sigma^2 = \text{Var}[U_i^2]\)。我们希望为 \(\theta^2\) 构造一个显著性水平为 \(\delta\) 的置信区间，其中 \(0 < \delta < 1\)。
(i) 在不对 \(n\) 的大小做任何假设的情况下，利用 (d) 中的估计量构造一个显著性水平为 \(\delta\) 的 \(\theta^2\) 的置信区间。
(ii) 假设 \(n\) 很大。利用 (d) 中的估计量构造一个近似的显著性水平为 \(\delta\) 的 \(\theta^2\) 的置信区间。答案可以用 \(\Phi\) 和 \(\Phi^{-1}\)（标准正态分布的分布函数及其反函数）表示。
对于 (b)，先求 \(U_i^2\) 的分布函数（CDF），再求导得到 PDF。对于 (c)，对 \(nV = \sum_{i=1}^n U_i^2\) 应用中心极限定理（CLT），并计算 \(U_1^2\) 的期望与方差。
对于 (d)，利用 (c) 中 \(V\) 的期望来构造无偏估计。对于 (e)(i)，使用切比雪夫不等式；对于 (e)(ii)，在大样本下利用正态近似。
(a) 样本均值作为 \(\theta\) 的估计量效果不好，因为它的期望值为 0，而不是 \(\theta\)。
(b) 我们先求 \(U_i^2\) 的分布函数（CDF），再求导得到 PDF。首先注意 \(0 \leq U_i^2 \leq \theta^2\)，因此当 \(t \leq 0\) 时 \(P[U_i^2 \leq t] = 0\)，当 \(t \geq \theta^2\) 时 \(P[U_i^2 \leq t] = 1\)。当 \(0 < t < \theta^2\) 时， \[P[U_i^2 \leq t] = P[-\sqrt{t} \leq U_i \leq \sqrt{t}] = \frac{\sqrt{t}}{\theta},\] 因此 \(U_i^2\) 的 CDF 为 \[F(t) = \begin{cases} 0 & \text{if } t \leq 0, \\ \frac{\sqrt{t}}{\theta} & \text{if } 0 < t < \theta^2, \\ 1 & \text{if } t \geq \theta^2. \end{cases}\] 最后求导得到 PDF： \[f(t) = F'(t) = \begin{cases} \frac{1}{2\theta\sqrt{t}} & \text{if } 0 < t < \theta^2, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}\]
(c) 我们可以看出 \(nV = \sum_{i=1}^n U_i^2\)，因此由中心极限定理（CLT），当 \(n\) 充分大时， \[\frac{nV - nE[U_1^2]}{\sqrt{n\text{Var}(U_1^2)}} \xrightarrow{d} N(0,1).\] 因此，通过乘法和加法运算可以看出 \[V \xrightarrow{d} N\left(E[U_1^2], \frac{1}{n}\text{Var}(U_1^2)\right).\] 现在需要计算 \(U_1^2\) 的期望和方差。我们有 \[E[U_1^2] = \text{Var}(U_1) + E[U_1]^2 = \text{Var}(U_1) = \frac{\theta^2}{3},\] 且 \[\text{Var}(U_1^2) = E[U_1^4] - E[U_1^2]^2 = \int_{-\theta}^{\theta} \frac{t^4}{2\theta} dt - \frac{\theta^4}{9} = \frac{\theta^4}{5} - \frac{\theta^4}{9} = \frac{4\theta^4}{45},\] 因此 \(V \sim N\left(\frac{\theta^2}{3}, \frac{4\theta^4}{45n}\right)\)。
或者，我们可以利用前一小节推导出的 \(U_1^2\) 的分布来计算。我们有 \[E[U_1^2] = \int_0^{\theta^2} t \cdot \frac{1}{2\theta\sqrt{t}} dt = \int_0^{\theta^2} \frac{\sqrt{t}}{2\theta} dt = \frac{\theta^2}{3},\] 且 \[\text{Var}(U_1^2) = \int_0^{\theta^2} t^2 \cdot \frac{1}{2\theta\sqrt{t}} dt - \frac{\theta^4}{9} = \int_0^{\theta^2} \frac{t^{3/2}}{2\theta} dt - \frac{\theta^4}{9} = \frac{4\theta^4}{45},\] 因此同样有 \(V \sim N\left(\frac{\theta^2}{3}, \frac{4\theta^4}{45n}\right)\)。
(d) 我们可以使用 \(3V\) 作为无偏估计量，因为 \(E[3V] = \theta^2\) 且 \(\text{Var}(3V) = \frac{4\theta^4}{5n} \to 0\)（当 \(n \to \infty\) 时）。
(e)(i) 我们将使用切比雪夫不等式来约束偏离均值的概率。首先计算 \[\text{Var}(3V) = 9\text{Var}(V) = \frac{9\sigma^2}{n}.\] 进一步地， \[P[|3V - \theta^2| \geq c] \leq \frac{\text{Var}(3V)}{c^2} = \frac{9\sigma^2}{nc^2},\] 因此为了保证该概率小于 \(\delta\)，我们需要 \[\frac{9\sigma^2}{nc^2} \leq \delta \implies c \geq \frac{3\sigma}{\sqrt{\delta n}},\] 所以我们的置信区间为 \(\left[3V - \frac{3\sigma}{\sqrt{\delta n}}, 3V + \frac{3\sigma}{\sqrt{\delta n}}\right]\)。
(ii) 在 \(n\) 很大的假设下，由 CLT 可知 \(3V \sim N\left(\theta^2, \frac{9\sigma^2}{n}\right)\)，因此特别地，\(\frac{\sqrt{n}(3V - \theta^2)}{3\sigma}\) 是标准正态分布。于是 \[P[|3V - \theta^2| > c] = P\left[\frac{\sqrt{n}|3V - \theta^2|}{3\sigma} > \frac{c\sqrt{n}}{3\sigma}\right] = 1 - \Phi\left(\frac{c\sqrt{n}}{3\sigma}\right) + \Phi\left(-\frac{c\sqrt{n}}{3\sigma}\right).\] 我们可以进一步化简右边： \[P[|3V - \theta^2| > c] = 2\Phi\left(-\frac{c\sqrt{n}}{3\sigma}\right),\] 因此为了得到显著性水平 \(\delta\)，我们可以令 \[2\Phi\left(-\frac{c\sqrt{n}}{3\sigma}\right) = \delta \implies c = -3\sigma\sqrt{n}\Phi^{-1}\left(\frac{\delta}{2}\right).\] 因此，我们的置信区间为 \[\left[3V + 3\sigma\sqrt{n}\Phi^{-1}\left(\frac{\delta}{2}\right), 3V - 3\sigma\sqrt{n}\Phi^{-1}\left(\frac{\delta}{2}\right)\right].\]
解答来源：solutions/homework/hw14-sol.pdf · 6 · confidence: high
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