知识焦点
先建立概念地图
- expectation
- variance
- joint distribution
- 期望
- 方差
- 指示变量
- 联合分布
- 边缘分布
CS70 · 讨论课 11a
CS 2023 习题课 11A，包含期望、方差与联合分布的练习。
知识焦点
建议顺序
先完整作答，再按需展开提示；最后才展开官方参考解答并逐步核对证明与计算。
本地来源
题面与解答均由本地一手资料整理：discussion/dis11a.pdf、solutions/discussion/dis11a-sol.pdf
本地一手资料完整提取 · 讨论课
本节按本地一手资料完整整理，共 4 道大题。本地官方解答已完整收录并默认折叠；建议先独立完成，再逐题核对推导。
discussion/dis11a.pdf、solutions/discussion/dis11a-sol.pdf某天，你来到一个会付钱请你玩的街机厅。
(a) 第一局开始时，Chandler 先给你 20 美元。随后他反复抛一枚正面概率为 \(p\) 的硬币，第一次出现正面时停止；每抛一次再给你 1 美元。求你的期望总收入。
(b) 第二局中，Karl 掷一枚公平六面骰。若点数为 \(x\)，他给你 \(2^x\) 美元。求期望收入。
(c) 最后一局中，你的朋友连续抛一枚公平硬币 10,000 次。Jimmy 先给你 1,000 美元，再按每次正面 5 美元付费。令 \(X\) 表示正面次数，用 \(X\) 写出总收入随机变量 \(Y\)。
(d) 求 \(\mathbb{E}[Y]\) 和 \(\Pr(Y=26{,}000)\)。
(a) 总抛掷次数服从参数为 \(p\) 的几何分布。(b) 对骰子六种等可能结果直接应用 LOTUS。(c)(d) 先写出 \(Y\) 关于 \(X\) 的线性关系，再使用期望的线性性。
(a) 令 \(X\) 为首次出现正面所需的抛掷次数，则 \(X\sim\operatorname{Geom}(p)\)，所以
\[ \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[20+X]=20+\frac1p. \]
(b) 由 LOTUS，
\[ \mathbb{E}[2^X]=\sum_{i=1}^{6}2^i\Pr(X=i) =\frac16\sum_{i=1}^{6}2^i=21. \]
(c) 每个正面增加 5 美元，因此 \(Y=1000+5X\)。
(d) 因为 \(X\sim\operatorname{Bin}(10{,}000,1/2)\)，
\[ \mathbb{E}[Y]=1000+5\mathbb{E}[X]=1000+5\cdot5000=26{,}000. \]
而 \(Y=26{,}000\) 当且仅当 \(X=5000\)，故
\[ \Pr(Y=26{,}000)=\binom{10{,}000}{5000}2^{-10{,}000}. \]
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(a) 令 \(X\) 表示掷一枚公平六面骰所得的点数，求 \(\operatorname{Var}(X)\)。
(b) 令 \(Z\) 表示独立掷这枚骰子 \(n\) 次所得点数的平均值，求 \(\operatorname{Var}(Z)\)。
(a) 使用 \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2\)。(b) 将平均值写成独立随机变量之和，并使用方差的缩放律与可加性。
(a) 先计算
\[ \mathbb{E}[X]=\frac16(1+2+3+4+5+6)=\frac72, \qquad \mathbb{E}[X^2]=\frac16(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)=\frac{91}{6}. \]
所以
\[ \operatorname{Var}(X)=\frac{91}{6}-\left(\frac72\right)^2=\frac{35}{12}. \]
(b) 令 \(X_i\) 为第 \(i\) 次掷骰的点数，则 \(Z=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\)。各次掷骰相互独立，因此
\[ \operatorname{Var}(Z) =\frac1{n^2}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i) =\frac1{n^2}\cdot n\cdot\frac{35}{12} =\frac{35}{12n}. \]
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从一副标准的 52 张牌中发给你 5 张牌。设 \(X\) 为你手牌中不同点数（rank）的个数。例如，手牌 \((A, A, A, 2, 3)\) 有 3 个不同的点数。
(a) 计算 \(\mathbb{E}[X]\)。（提示：考虑指示变量 \(X_i\)，表示点数 \(i\) 是否出现在你的手中。）涉及内容：Note 15。
(b) 计算 \(\operatorname{Var}(X)\)。涉及内容：Note 16。
对 (a)：为全部 13 个点数分别设立指示变量，利用期望的线性性将 \(\mathbb{E}[X]\) 写成 13 个指示变量期望之和；每个指示变量取 1 的概率可用其补事件——即该点数的 4 张牌一张都没被发到——来计算。
对 (b)：由于指示变量之间并不独立，不能直接对它们求和的方差做线性拆分。考虑使用 \(\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2\)，并将 \(\mathbb{E}[X^2]\) 展开为 \(\sum_i \mathbb{E}[X_i^2] + \sum_{i \neq j} \mathbb{E}[X_i X_j]\)，其中交叉项 \(\mathbb{E}[X_i X_j]\) 等于"点数 \(i\) 与点数 \(j\) 同时出现"的概率。
(a) 设 \(X_i\) 为第 \(i\) 个点数出现在你手中的指示变量。则 \(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{13}\)。（这里令 13 对应 K，12 对应 Q，11 对应 J。）由期望的线性性，
\[ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{13} \mathbb{E}[X_i]. \]
我们可以用补事件来计算 \(\mathbb{P}[X_i = 1]\)：\(\mathbb{P}[X_i = 1] = 1 - \mathbb{P}[X_i = 0]\)，即 1 减去该点数一张都没出现的概率。这等于
\[ 1 - \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}. \]
因此
\[ \mathbb{E}[X] = 13\,\mathbb{P}[X_1 = 1] = 13\left(1 - \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}\right). \]
(b) 由于指示变量之间并不独立，我们需要使用公式 \(\mathbb{E}[X^2] = \sum_{i=j} \mathbb{E}[X_i^2] + \sum_{i \neq j} \mathbb{E}[X_i X_j]\) 来计算方差。
首先，
\[ \sum_{i=j} \mathbb{E}[X_i^2] = \sum_{i=j} \mathbb{E}[X_i] = 13\left(1 - \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}\right). \]
接下来处理 \(\sum_{i \neq j} \mathbb{E}[X_i X_j]\)。注意 \(\mathbb{E}[X_i X_j] = \mathbb{P}[X_i X_j = 1]\)，因为 \(X_i X_j\) 只能取 0 或 1。为了计算 \(\mathbb{P}[X_i X_j = 1]\)，我们使用容斥：
\[ \mathbb{P}[X_i X_j = 1] = 1 - \mathbb{P}[X_i = 0] - \mathbb{P}[X_j = 0] + \mathbb{P}[X_i = 0, X_j = 0]. \]
因此
\[ \sum_{i \neq j} \mathbb{E}[X_i X_j] = 13 \cdot 12\,\mathbb{P}[X_i X_j = 1] = 156\left(1 - 2\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} + \frac{\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}\right). \]
综合起来，
\[ \operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 \]
\[ = 13\left(1 - \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}\right) + 156\left(1 - 2\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} + \frac{\binom{44}{5}}{\binom{52}{5}}\right) - \left(13\left(1 - \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}}\right)\right)^2. \]
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约翰逊夫妇决定继续生育，直到他们生下第一个女孩，或者直到他们有三个孩子为止。假设每个孩子是男孩或女孩的可能性相等，且与其他孩子的性别相互独立，没有多胞胎。设 \(G\) 为约翰逊夫妇拥有的女孩数量。设 \(C\) 为他们拥有的孩子总数。
(a) 确定样本空间 \(\Omega\)，以及每个样本点的概率。
(b) 计算 \(G\) 和 \(C\) 的联合分布。填写下表。
| \(C = 1\) | \(C = 2\) | \(C = 3\) | |
|---|---|---|---|
| \(G = 0\) | |||
| \(G = 1\) |
(c) 利用联合分布计算 \(G\) 和 \(C\) 的边缘分布，并确认这些值与你的预期一致。填写下表。
\(\mathbb{P}[G = 0]\) = ____
\(\mathbb{P}[G = 1]\) = ____
\(\mathbb{P}[C = 1]\) = ____\(\quad\)\(\mathbb{P}[C = 2]\) = ____\(\quad\)\(\mathbb{P}[C = 3]\) = ____
(d) \(G\) 和 \(C\) 是否独立？
(e) 约翰逊夫妇预期会有多少个女孩？预期会有多少个孩子？
就 (a)，列举所有在"首次出现女孩"或"已有三个孩子"时即停止的生育序列；每个孩子的性别独立且等可能，长度为 \(k\) 的特定序列概率为 \((1/2)^k\)。就 (b)–(c)，将每个样本点按 \((G, C)\) 的取值对应到联合分布表的相应格子中，再按行、按列分别求和即得边缘分布。
就 (d)，检验是否存在某个格子使得联合概率等于对应边缘概率的乘积；找到一个反例即可说明不独立。就 (e)，直接利用边缘分布的定义 \(\mathbb{E}[G] = \sum_g g \cdot \mathbb{P}[G=g]\) 和 \(\mathbb{E}[C] = \sum_c c \cdot \mathbb{P}[C=c]\) 计算。
(a) 样本空间是约翰逊夫妇所有可能的生育序列组成的集合：\(\Omega = \{g, bg, bbg, bbb\}\)。各样本点的概率为：
\[ \mathbb{P}[g] = \frac{1}{2} \] \[ \mathbb{P}[bg] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] \[ \mathbb{P}[bbg] = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] \[ \mathbb{P}[bbb] = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
(b) 联合分布表：
| \(C = 1\) | \(C = 2\) | \(C = 3\) | |
|---|---|---|---|
| \(G = 0\) | \(0\) | \(0\) | \(\mathbb{P}[bbb] = 1/8\) |
| \(G = 1\) | \(\mathbb{P}[g] = 1/2\) | \(\mathbb{P}[bg] = 1/4\) | \(\mathbb{P}[bbg] = 1/8\) |
(c) \(G\) 的边缘分布：
\[ \mathbb{P}[G = 0] = 0 + 0 + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \] \[ \mathbb{P}[G = 1] = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]
\(C\) 的边缘分布：
\[ \mathbb{P}[C = 1] = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \mathbb{P}[C = 2] = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \] \[ \mathbb{P}[C = 3] = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \]
(d) 不独立。如果两个随机变量独立，则对所有 \(x, y\) 都有 \(\mathbb{P}[X = x, Y = y] = \mathbb{P}[X = x]\mathbb{P}[Y = y]\)。考虑联合分布表中的 \(\mathbb{P}[G = 0, C = 3] = 1/8\)，它不等于 \(\mathbb{P}[G = 0]\mathbb{P}[C = 3] = (1/8) \cdot (1/4) = 1/32\)，因此这两个随机变量不独立。
(e) 直接利用边缘分布的定义计算：
\[ \mathbb{E}[G] = 0 \cdot \mathbb{P}[G = 0] + 1 \cdot \mathbb{P}[G = 1] = 1 \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{8} \] \[ \mathbb{E}[C] = 1 \cdot \mathbb{P}[C = 1] + 2 \cdot \mathbb{P}[C = 2] + 3 \cdot \mathbb{P}[C = 3] = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \]
解答来源：solutions/discussion/dis11a-sol.pdf · 3-4 · confidence: high
题面来源：discussion/dis11a.pdf · 3 · confidence: high
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