Balls-and-Bins、二项分布（正面计数）、成对独立

由于球是一个接一个扔出的，因此存在顺序，我们进行的是有放回且顺序重要的抽样（而不是顺序无关的情况，后者对应于星与条（stars and bars）方法中每种配置等可能）。

(a) 注意这是一个均匀样本空间，结果代表每个球单独扔进箱子的所有可能方式。这里，\(|\Omega| = n^n\)，因为每个球有 \(n\) 个可能的箱子可以落入，而在这些可能中，有 \((n-1)^n\) 种使第一个箱子为空——此时每个球有 \(n-1\) 个可能的箱子可以落入。这给出第一个箱子为空的总体概率 \[ \left(\frac{n-1}{n}\right)^n。 \]

等价地，我们可以注意到每次投掷都与其他投掷相互独立。由于球 \(i\) 不落入第一个箱子的概率是 \(\frac{n-1}{n}\)，所有球都不落入第一个箱子的概率是 \[ \left(\frac{n-1}{n}\right)^n。 \]

(b) 与前一问类似，我们有相同的大小为 \(n^n\) 的均匀样本空间。现在，使前 \(k\) 个箱子为空的投球方式共有 \((n-k)^n\) 种——每个球有 \(n-k\) 个可能的箱子可以落入。

或者，我们同样可以利用独立性。由于球 \(i\) 不落入前 \(k\) 个箱子的概率是 \(\frac{n-k}{n}\)，所有球都不落入前 \(k\) 个箱子的概率是 \[ \left(\frac{n-k}{n}\right)^n。 \]

(c) 我们使用并界。那么 \[ P[A] = P\left[\bigcup_{i=1}^{m} A_i\right] \le \sum_{i=1}^{m} P[A_i]。 \] 由(b)我们知道前 \(k\) 个箱子为空的概率，这对任意 \(k\) 个箱子的集合都成立，所以 \[ P[A_i] = \left(\frac{n-k}{n}\right)^n。 \] 因此， \[ P[A] \le m \cdot \left(\frac{n-k}{n}\right)^n = \binom{n}{k} \left(\frac{n-k}{n}\right)^n。 \]

(d) 使用贝叶斯公式： \[ P[\text{第2个箱子为空} \mid \text{第1个箱子为空}] = \frac{P[\text{第2个箱子为空} \cap \text{第1个箱子为空}]}{P[\text{第1个箱子为空}]} = \frac{(n-2)^n / n^n}{(n-1)^n / n^n} = \left(\frac{n-2}{n-1}\right)^n。 \]

另一种解法：我们知道箱子1为空，因此每个投出的球可以落入剩下的 \(n-1\) 个箱子之一。我们希望箱子2为空的概率，这意味着每个球也不能落入箱子2，剩下 \(n-2\) 个箱子。因此对每个球，在箱子1为空的条件下箱子2为空的概率是 \(\frac{n-2}{n-1}\)。对 \(n\) 个球，这个概率是 \[ \left(\frac{n-2}{n-1}\right)^n。 \]

(e) 它们是相依的。知道后者（前两个箱子都为空）意味着前者（第一个箱子为空）以概率 1 发生。

(f) 在(c)中我们计算了已知第一个箱子为空时第二个箱子为空的概率：\(\left(\frac{n-2}{n-1}\right)^n\)。第二个箱子为空（无任何先验信息）的概率是 \(\left(\frac{n-1}{n}\right)^n\)。由于这两个概率不相等，事件是相依的。

(a) 共有 \(\binom{20}{k}\) 种方式选择 \(k\) 次为正面。选中的 \(k\) 次为正面的概率是 \(\left(\frac{2}{5}\right)^k\)，其余为反面的概率是 \(\left(\frac{3}{5}\right)^{20-k}\)。综合起来，我们有 \[ P[X = k] = \binom{20}{k} \left(\frac{2}{5}\right)^k \left(\frac{3}{5}\right)^{20-k}。 \]

(b) 由于我们有 20 次独立试验，每次试验成功的概率为 \(2/5\)，\(X \sim \text{Binomial}(20, 2/5)\)。

(c) \[ P[X \ge 1] = 1 - P[X = 0] = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{20}。 \]

(d) \[ P[12 \le X \le 14] = P[X = 12] + P[X = 13] + P[X = 14] \] \[ = \binom{20}{12}\left(\frac{2}{5}\right)^{12}\left(\frac{3}{5}\right)^{8} + \binom{20}{13}\left(\frac{2}{5}\right)^{13}\left(\frac{3}{5}\right)^{7} + \binom{20}{14}\left(\frac{2}{5}\right)^{14}\left(\frac{3}{5}\right)^{6}。 \]

(a) 由于公平骰子掷出特定点数的概率为 \(\frac{1}{6}\)，因此 \(P[A_1] = P[A_2] = \frac{1}{6}\)。

两个骰子点数之和为 7 的情况有 6 种，即 \(\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\)，因此 \(P[A_3] = \frac{1}{6}\)。

(b) 需要判断 \(P[A_1 \cap A_2]\) 是否等于 \(P[A_1]P[A_2]\)。第一个骰子为 1 且第二个骰子为 6 的结果只有一种，因此 \(P[A_1 \cap A_2] = \frac{1}{36}\)。

由于 \(P[A_1]P[A_2] = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = P[A_1 \cap A_2]\)，这两个事件独立。

(c) 需要判断 \(P[A_2 \cap A_3]\) 是否等于 \(P[A_2]P[A_3]\)。第二个骰子为 6 且两骰子之和为 7 的情况只有一种，即第一个骰子必须为 1，因此 \(P[A_2 \cap A_3] = \frac{1}{36}\)。

由于 \(P[A_2]P[A_3] = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = P[A_2 \cap A_3]\)，这两个事件独立。

(d) 要判断三个事件是否两两独立，需要确保所有事件对都独立。已验证 \(A_1\) 和 \(A_2\) 独立，\(A_2\) 和 \(A_3\) 独立，因此只需验证 \(A_1\) 和 \(A_3\) 是否独立。

\(A_1 \cap A_3\) 表示第一个骰子为 1 且两骰子之和为 7，这种情况只有一种，即第二个骰子必须为 6，因此 \(P[A_1 \cap A_3] = \frac{1}{36}\)。

由于 \(P[A_1]P[A_3] = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} = P[A_1 \cap A_3]\)，这两个事件也独立。由于所有可能的事件对都独立，\(A_1\)、\(A_2\) 和 \(A_3\) 确实是两两独立的。

(e) 相互独立要求额外的条件 \(P[A_1 \cap A_2 \cap A_3] = P[A_1]P[A_2]P[A_3]\)。

\(A_1 \cap A_2 \cap A_3\) 表示第一个骰子为 1，第二个骰子为 6，且两骰子之和为 7。这种情况只有一种，即第一个骰子为 1 且第二个骰子为 6，因此 \(P[A_1 \cap A_2 \cap A_3] = \frac{1}{36}\)。

然而，\(P[A_1]P[A_2]P[A_3] = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216} \neq \frac{1}{36} = P[A_1 \cap A_2 \cap A_3]\)，因此这三个事件不是相互独立的。