概率不等式、复活节彩蛋、中毒 Smarties（贝叶斯）

(a) 可以先画一个文氏图 (Venn diagram)：

[见图表需求]

由图可知 \(\mathbb{P}[A] = \mathbb{P}[A \cap B] + \mathbb{P}[A \setminus B]\)，且 \(\mathbb{P}[B] = \mathbb{P}[A \cap B] + \mathbb{P}[B \setminus A]\)。

看不等式右边： \[ \mathbb{P}[A] - \mathbb{P}[B] = (\mathbb{P}[A \cap B] + \mathbb{P}[A \setminus B]) - (\mathbb{P}[A \cap B] + \mathbb{P}[B \setminus A]) = \mathbb{P}[A \setminus B] - \mathbb{P}[B \setminus A] \leq \mathbb{P}[A \setminus B] \]

(b) 由全概率公式： \[ \mathbb{P}[D] = \mathbb{P}[D \cap C] + \mathbb{P}[D \cap C^c] = \mathbb{P}[D \mid C] \cdot \mathbb{P}[C] + \mathbb{P}[D \mid C^c] \cdot \mathbb{P}[C^c] \] 由已知 \(\mathbb{P}[D \mid C] = \mathbb{P}[D \mid C^c]\)，化简得 \[ \mathbb{P}[D] = \mathbb{P}[D \mid C] \cdot (\mathbb{P}[C] + \mathbb{P}[C^c]) = \mathbb{P}[D \mid C] \cdot 1 = \mathbb{P}[D \mid C] \] 这正是独立的定义。

(c) 不能。如果两个事件互不相交，不能得出它们独立的结论。考虑掷一个公平的六面骰子。设 \(A\) 为掷出 1 的事件，\(B\) 为掷出 2 的事件。显然 \(A\) 与 \(B\) 互不相交，因为 \(\mathbb{P}[A \cap B] = 0\)。但它们不独立：\(\mathbb{P}[B \mid A] = 0\)，而 \(\mathbb{P}[B] = 1/6\)。

由于互不相交的事件满足 \(\mathbb{P}[A \cap B] = 0\)，只有当 \(\mathbb{P}[A] = 0\) 或 \(\mathbb{P}[B] = 0\) 时，互不相交的 \(A\) 与 \(B\) 才独立。

(a) \(\mathbb{P}[\text{巧克力蛋}] = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}\)。

(b) 用全概率公式长算：设 \(C_i\) 表示第 \(i\) 颗蛋是巧克力蛋的事件，\(P_i\) 表示第 \(i\) 颗蛋是塑料蛋的事件。 \[ \mathbb{P}[C_2] = \mathbb{P}[C_1 \cap C_2] + \mathbb{P}[P_1 \cap C_2] = \mathbb{P}[C_1]\mathbb{P}[C_2 \mid C_1] + \mathbb{P}[P_1]\mathbb{P}[C_2 \mid P_1] = \frac{1}{3} \cdot \frac{19}{59} + \frac{2}{3} \cdot \frac{20}{59} = \frac{1}{3} \]

简算：由对称性，这个概率与 (a) 相同，为 \(1/3\)。因为我们不知道第一次抽到的是哪种蛋，所以第二颗蛋的分布与第一颗相同。严格地，注意到 \(\mathbb{P}[C_2 \cap P_1] = \mathbb{P}[P_2 \cap C_1]\)，因此 \[ \mathbb{P}[C_2] = \mathbb{P}[C_2 \cap C_1] + \mathbb{P}[C_2 \cap P_1] = \mathbb{P}[C_2 \cap C_1] + \mathbb{P}[P_2 \cap C_1] = \mathbb{P}[C_1] \]

(c) 由对称性，由于我们不知道第 2、3、4 颗蛋的信息，有 \[ \mathbb{P}[\text{第5颗是塑料} \mid \text{第1颗是塑料}] = \mathbb{P}[\text{第2颗是塑料} \mid \text{第1颗是塑料}] = \frac{39}{59} \]

严格地，注意到 \(\mathbb{P}[C_5 \cap P_2 \mid P_1] = \mathbb{P}[P_5 \cap C_2 \mid P_1]\)，因此 \[ \mathbb{P}[P_5 \mid P_1] = \mathbb{P}[P_5 \cap C_2 \mid P_1] + \mathbb{P}[P_5 \cap P_2 \mid P_1] = \mathbb{P}[C_5 \cap P_2 \mid P_1] + \mathbb{P}[P_5 \cap P_2 \mid P_1] = \mathbb{P}[P_2 \mid P_1] \]

当然也可以用全概率公式暴力计算（如上一部分那样），但计算相当繁琐。

解答：

(a) 设 \(S\) 为糖可安全食用的事件，\(BK\) 为糖来自 Burr Kelly 工厂的事件，\(YS\) 为糖来自 Yousef See 工厂的事件，\(SF\) 为糖来自 Stan Furd 工厂的事件。

由全概率公式： \[ P[S] = P[BK] \cdot P[S \mid BK] + P[YS] \cdot P[S \mid YS] + P[SF] \cdot P[S \mid SF] \]

已知 \(P[BK] = \frac{1}{2}\)、\(P[YS] = \frac{2}{5}\)、\(P[SF] = \frac{1}{10}\)，且 \[ P[S \mid BK] = \frac{49}{50}, \quad P[S \mid YS] = \frac{19}{20}, \quad P[S \mid SF] = \frac{9}{10}. \]

代入： \[ P[S] = \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{50} + \frac{2}{5} \cdot \frac{19}{20} + \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{49}{100} + \frac{38}{100} + \frac{9}{100} = \frac{96}{100} = \frac{24}{25} = 0.96. \]

因此，随机选取一颗糖可安全食用的概率为 \(0.96\)。

(b) 设 \(P\) 为糖有毒的事件。要求 \(P[P \mid \overline{BK}]\)。由条件概率定义并在 \(\overline{BK}\) 上应用全概率公式： \[ P[P \mid \overline{BK}] = \frac{P[P \cap \overline{BK}]}{P[\overline{BK}]} = \frac{P[YS \cap P] + P[SF \cap P]}{1 - P[BK]} \] \[ = \frac{P[P \mid YS] \cdot P[YS] + P[P \mid SF] \cdot P[SF]}{1 - P[BK]} = \frac{\frac{1}{20} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ = \frac{\frac{2}{100} + \frac{1}{100}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{3}{100} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50} = 0.06. \]

因此，已知不是来自 Kelly 工厂时，该糖有毒的概率为 \(0.06\)。

(c) 由贝叶斯法则： \[ P[SF \mid P] = \frac{P[P \mid SF] \cdot P[SF]}{P[P]}. \]

由 (a) 知 \(P[P] = 1 - P[S] = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}\)。代入： \[ P[SF \mid P] = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}{\frac{1}{25}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{25}} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0.25. \]

因此，已知一颗糖有毒时，它来自 Stan Furd 工厂的概率为 \(0.25\)。