知识焦点
先建立概念地图
- 概率
- 容斥原理
- 条件概率
- 贝叶斯公式
- 全概率公式
- 组合计数
- 贝叶斯定理
- 辛普森悖论
CS70 · 讨论课 08a
本节讨论课涵盖概率论中的容斥原理、全概率公式、贝叶斯公式以及组合计数方法，通过扑克牌抽样和弹珠抽样问题练习概率计算。
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建议顺序
先完整作答，再按需展开提示；最后才展开官方参考解答并逐步核对证明与计算。
本地来源
题面与解答均由本地一手资料整理：discussion/dis08a.pdf、solutions/discussion/dis08a-sol.pdf
本地一手资料完整提取 · 讨论课
本节按本地一手资料完整整理，共 3 道大题。本地官方解答已完整收录并默认折叠；建议先独立完成，再逐题核对推导。
discussion/dis08a.pdf、solutions/discussion/dis08a-sol.pdf考虑一副标准的 52 张扑克牌（相关笔记：Note 13、Note 14）：
(a) 求随机抽取一张牌时，抽到 A（Ace，王牌）或红色牌的概率。
(b) 求随机抽取一张牌时，抽到 A 或黑桃（spade），但不同时满足两者的概率。
(c) 求随机抽取 5 张牌的一手牌时，抽中方片 A（ace of diamonds）的概率。
(d) 求随机抽取 5 张牌的一手牌时，恰好抽到 2 张 A 的概率。
(e) 求随机抽取 5 张牌的一手牌时，至少抽到 1 张 A 的概率。
(f) 求随机抽取 5 张牌的一手牌时，至少抽到 1 张 A 或至少抽到 1 张红心（heart）的概率。
本题涉及容斥原理与补集计数。对于"至少一个"类型的问题，考虑其补事件往往更简便。注意 52 张牌中有 4 张 A、26 张红色牌、13 张黑桃、13 张红心；其中红心 A 同时属于 A 和红心两个集合，方片 A 同时属于 A 和红色两个集合。
(a) 容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）： \[ P(\text{A 或红色}) = \frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13} \]
(b) 容斥原理，但排除交集部分（即抽到 A 或黑桃，但不同时是黑桃 A）： \[ P(\text{A 或黑桃，但不同时满足}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - 2 \cdot \frac{1}{52} = \frac{15}{52} \]
(c) 方片 A 已固定，其余 4 张牌可以是其余 51 张中的任意： \[ \frac{\binom{51}{4}}{\binom{52}{5}} \]
(d) 计算抽到 2 张 A 和 3 张非 A 的方式数： \[ \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3}}{\binom{52}{5}} \]
(e) 用补集计算，即 1 减去没有 A 的概率： \[ P(\text{至少一张 A}) = 1 - P(\text{零张 A}) = 1 - \frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \]
(f) 用补集计算，即 1 减去既没有 A 也没有红心的概率： \[ P(\text{至少一张 A 或至少一张红心}) = 1 - P(\text{零张 A 且零张红心}) = 1 - \frac{\binom{36}{5}}{\binom{52}{5}} \] 这是因为 \(52 - 13 - 3 = 36\)，其中 13 是红心的数量，3 是非红心 A 的数量。
解答来源：solutions/discussion/dis08a-sol.pdf · 1 · confidence: high
题面来源：discussion/dis08a.pdf · 1 · confidence: high
给定两个盒子：一个装有 900 颗红色弹珠和 100 颗蓝色弹珠，另一个装有 500 颗红色弹珠和 500 颗蓝色弹珠。
(a) 若随机选择一个盒子，再从中随机取一颗弹珠，求取到蓝色弹珠的概率。
(b) 若已知取到的是蓝色弹珠，求它来自盒子 1 的概率。
(c) 假设从盒子 1 中取出一颗弹珠，不看颜色就放到一边。再从盒子 1 中取另一颗弹珠。求第二颗弹珠是蓝色的概率。
(a)(b) 考虑使用全概率公式与贝叶斯公式，定义好事件（如从哪个盒子取、取到何种颜色）。(c) 考虑对第一颗弹珠的颜色进行分类讨论（全概率公式），或利用对称性论证：所有弹珠在任意位置被取到的可能性相同。
(a) 设 B 为取到蓝色弹珠的事件，R 为取到红色弹珠的事件，A₁ 为从盒子 1 取弹珠的事件，A₂ 为从盒子 2 取弹珠的事件。需求 \(P[B]\)。由全概率公式（total probability）： \[ P[B] = P[B \mid A_1]P[A_1] + P[B \mid A_2]P[A_2] = 0.5 \times 0.1 + 0.5 \times 0.5 = 0.3 \]
(b) 本小问需求 \(P[A_1 \mid B]\)。由贝叶斯公式（Bayes' rule）： \[ P[A_1 \mid B] = \frac{P[B \mid A_1]P[A_1]}{P[B \mid A_1]P[A_1] + P[B \mid A_2]P[A_2]} = \frac{0.1 \times 0.5}{0.5 \times 0.1 + 0.5 \times 0.5} = \frac{1}{6} \]
(c) 设 B₁ 为第一颗弹珠是蓝色的事件，R₁ 为第一颗弹珠是红色的事件，B₂ 为第二颗弹珠是蓝色（不看第一颗颜色）的事件。需求 \(P[B_2]\)。由全概率公式： \[ P[B_2] = P[B_2 \mid B_1]P[B_1] + P[B_2 \mid R_1]P[R_1] = \frac{99}{999} \times 0.1 + \frac{100}{999} \times 0.9 = 0.1 \]
更一般地，可以看出从盒子 1 中取出的第 \(n\) 颗弹珠是蓝色的概率为 0.1。这由对称性可知：1000 颗弹珠的所有排列具有相同的概率，因此第 \(n\) 颗弹珠是蓝色的概率与第一颗弹珠是蓝色的概率相同。
解答来源：solutions/discussion/dis08a-sol.pdf · 1-2 · confidence: high
题面来源：discussion/dis08a.pdf · 2 · confidence: high
3 对决的气象学家 (Duelling Meteorologists)
注 14 (Note 14)
Tom 是纽约的一位气象学家。在下雪的日子里，Tom 正确预报下雪的概率为 70%。在不下雪的日子里，Tom 正确预报不下雪的概率为 95%。在纽约，一年中有 10% 的日子会下雪。
(a) 如果 Tom 说将要下雪，那么实际会下雪的概率是多少？
(b) 设 A 为事件：在某一天，Tom 正确预报了天气。求 \\(P[A]\\)。
(c) Tom 的朋友 Jerry 是阿拉斯加的一位气象学家。尽管 Jerry 的整体准确率比 Tom 低，但她声称自己比 Tom 更优秀。在查看了她们的记录后，你确定 Jerry 确实比 Tom 更擅长在下雪天预报下雪以及在晴天预报晴天。请给出上述情况的一个实例。提示：与纽约相比，阿拉斯加的天气情况如何？
Tom（纽约）
降雪概率：\\(P(S) = 10\\%\\)
下雪时预报准确率：\\(P(T|S) = 70\\%\\)
不下雪时预报准确率：\\(P(T^c|S^c) = 95\\%\\)
整体准确率：\\(P(A) = \\frac{37}{40} = 92.5\\%\\)
Jerry（阿拉斯加）
降雪概率：\\(P(S) = 80\\%\\)
下雪时预报准确率：\\(P(T|S) = 80\\%\\)
不下雪时预报准确率：\\(P(T^c|S^c) = 100\\%\\)
整体准确率：\\(0.8 \\times 0.8 + 0.2 \\times 1.0 = 0.84 = 84\\%\\)
对比结论：Jerry 在每个类别上的准确率都不低于 Tom，但整体准确率（84%）低于 Tom（92.5%），此即辛普森悖论。
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(a) 考虑使用贝叶斯定理（Bayes' theorem）。你需要求的是 \\(P(\\text{下雪} \\mid \\text{预报下雪})\\)。思考 Tom 预报下雪的总概率如何由两种情况组成。
(b) Tom 正确预报有两种情形：确实下雪且预报下雪，或确实不下雪且预报不下雪。分别计算这两种情形的概率再相加。
(c) 思考阿拉斯加的降雪频率与纽约有何不同。如果阿拉斯加下雪的日子要多得多，为什么 Jerry 在每个类别上都更准确，但整体准确率却更低？这涉及到辛普森悖论（Simpson's paradox）。
(a) 设 S 为下雪的事件，T 为 Tom 预报下雪的事件。
\\[P[S|T] = \\frac{P[S \\cap T]}{P[T]} = \\frac{P[S] \\cdot P[T|S]}{P[S \\cap T] + P[S^c \\cap T]} = \\frac{\\frac{1}{10} \\times \\frac{7}{10}}{\\frac{1}{10} \\times \\frac{7}{10} + \\frac{9}{10} \\times \\frac{5}{100}} = \\frac{14}{23}\\]
(b) \\[P[A] = P[S \\cap T] + P[S^c \\cap T^c] = \\frac{1}{10} \\times \\frac{7}{10} + \\frac{9}{10} \\times \\frac{95}{100} = \\frac{37}{40}\\]
(c) 尽管 Jerry 的整体准确率较低，但如果天气不同，她仍然可能是一位更好的气象学家。
例如，假设阿拉斯加一年中有 80% 的日子下雪。
当下雪时，Jerry 正确预报下雪的概率为 80%。
当不下雪时，Jerry 正确预报不下雪的概率为 100%。
Jerry 的整体准确率为 \\(0.8 \\times 0.8 + 0.2 \\times 1.0 = 0.84 = 84\\%\\)，低于 Tom 的 \\( \\frac{37}{40} = 0.925 = 92.5\\%\\)。尽管 Jerry 在两个类别上都比 Tom 更准确，但她的整体准确率却比 Tom 低！下面的图表对这种情况进行了直观说明。直觉上，Jerry 的错误受到的惩罚比 Tom 更重，因为阿拉斯加下雪的日子更多。
欲了解更多此类现象的信息，请查阅辛普森悖论（Simpson's Paradox）！
解答来源：solutions/discussion/dis08a-sol.pdf · 2-3 · confidence: high
题面来源：discussion/dis08a.pdf · 3 · confidence: high
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