真值表、命题练习、逆/否/逆否命题与量词等价

解答：

(a) 不等价。

(b) 等价。

(c) 等价。

解答：

(a) \((\exists x \in \mathbb{R})(x \notin \mathbb{Q})\)，或等价地写作 \((\exists x \in \mathbb{R})\neg(x \in \mathbb{Q})\)。该命题为真，可以取 \(\pi\) 作为例子来证明。

(b) \((\forall x \in \mathbb{Z})(((x \in \mathbb{N}) \lor (x < 0)) \land \neg((x \in \mathbb{N}) \land (x < 0)))\)。该命题为真，因为我们定义自然数为所有非负的整数。

(c) \((\forall x \in \mathbb{N})((6 \mid x) \Rightarrow ((2 \mid x) \lor (3 \mid x)))\)。该命题为真，因为任何能被 6 整除的数都可以写成 \(6k = (2 \cdot 3)k = 2(3k)\) 的形式，这意味着它一定能被 2 整除。

(d) 所有整数都是有理数。该命题为真，因为任何整数 \(n\) 都可以写成 \(\frac{n}{1}\) 的形式。

(e) 任何能被 2 或 3 整除的整数也能被 6 整除。该命题为假——2 就是最简单的反例。注意，尽管其逆命题（即第 (c) 问）为真，但该命题本身是假的。

(f) 如果一个自然数大于 7，那么它可以写成另外两个自然数之和。该命题显然为真，因为我们可以取 \(a = x\)，\(b = 0\)。

（附注：这是对非常弱的「哥德巴赫猜想」（Goldbach Conjecture）的致敬，参见 https://xkcd.com/1310/ 。）

解答：

记号 \(a \mid b\)（「a divides b」）表示 \(b\) 能被 \(a\) 整除。

(a) \((\forall x \in \mathbb{N})(4 \mid x \Rightarrow 2 \mid x)\)。该命题为真。我们知道，如果 \(x\) 能被 4 整除，那么可以把 \(x\) 写成 \(4k\) 的形式，其中 \(k\) 为某个整数。而 \(4k = (2 \cdot 2)k = 2(2k)\)，其中 \(2k\) 也是整数。因此，\(x\) 一定能被 2 整除，因为它可以写成 2 与一个整数的乘积。

(b) 逆命题（inverse）为：如果一个自然数不能被 4 整除，那么它也不能被 2 整除，即 \((\forall x \in \mathbb{N})(4 \nmid x \Rightarrow 2 \nmid x)\)。该命题为假，因为 2 不能被 4 整除，但能被 2 整除。

(c) 逆命题（converse）为：任何能被 2 整除的自然数也能被 4 整除，即 \((\forall x \in \mathbb{N})(2 \mid x \Rightarrow 4 \mid x)\)。同样，该命题为假，因为 2 能被 2 整除但不能被 4 整除。

(d) 逆否命题（contrapositive）为：任何不能被 2 整除的自然数也不能被 4 整除，即 \((\forall x \in \mathbb{N})(2 \nmid x \Rightarrow 4 \nmid x)\)。最简单的证明方法是利用第 (a) 问，通过换质换位（contraposition）来证明；由于这是 (a) 的逆否命题，而我们已证明 (a) 为真，因此该命题也必为真。

为了用直接证明来说明该命题为真，首先注意到，说 \(x\) 不能被 2 整除，等价于说 \(\frac{x}{2}\) 不是整数。而用一个非整数除以一个整数，得到的仍是非整数——因此 \(\frac{x/2}{2} = \frac{x}{4}\) 也必然不是整数。而这恰好等价于说 \(x\) 不能被 4 整除。

注意，逆命题（inverse）与逆命题（converse）之间总是互为逆否命题，因此它们总是逻辑等价的。

解答：

(a) 正确。

假设左边为真。那么对于任意 \(x\)，\(P(x) \land Q(x)\) 为真。这意味着 \(\forall x\, P(x)\) 和 \(\forall x\, Q(x)\) 都为真。因此右边为真。反之，假设右边为真。由于对任意 \(x\) 都有 \(P(x)\) 成立，且对任意 \(y\) 都有 \(Q(y)\) 成立，那么对于任意 \(x\)，\(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 都必须为真。因此左边为真。

(b) 不正确。

注意，存在许多可能的反例——这里仅给出一个。假设论域（即 \(x\) 可以取的值）为 \(\{1, 2\}\)，且 \(P\) 和 \(Q\) 是定义在该论域上的真值函数。如果我们令 \(P(1)\) 为真、\(Q(1)\) 为假、\(P(2)\) 为假、\(Q(2)\) 为真，则左边为真，但右边为假。因此，我们可以找到一个论域以及真值函数 \(P\) 和 \(Q\)，使得这两个表达式取不同的值，从而它们必然是不同的。

(c) 正确。

假设左边为真，那么存在某个 \(x\)，使得 \(P(x)\) 或 \(Q(x)\) 之一为真。因此 \(\exists x\, P(x)\) 或 \(\exists x\, Q(x)\) 为真，即右边为真。为了证明另一个方向，假设左边为假。那么不存在使得 \(P(x) \lor Q(x)\) 为真的 \(x\)，这意味着不存在使得 \(P(x)\) 或 \(Q(x)\) 为真的 \(x\)。因此右边为假。

(d) 不正确。

注意，存在许多可能的反例——这里仅给出一个。假设论域为自然数 \(\mathbb{N}\)，且 \(P\) 和 \(Q\) 是定义在该论域上的真值函数。如果我们令 \(P(1)\) 为真且对所有其他 \(x\) 有 \(P(x)\) 为假，以及 \(Q(2)\) 为真且对所有其他 \(x\) 有 \(Q(x)\) 为假，则右边为真。然而，不存在某个 \(x\) 使得 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 同时为真，因此左边为假。因此，我们可以找到一个论域以及真值函数 \(P\) 和 \(Q\)，使得这两个表达式取不同的值，从而它们必然是不同的。