CLASS 07 · 2026-02-25 · 抽象

抽象函数与表示不变量

本讲深入 ADT 的内部，学习两个核心概念：抽象函数（AF）把表示值映射到抽象值，表示不变量（RI）规定哪些表示值是合法的。它们是理解「不可变类型如何工作」的数学基础。

不变量

不变量（Invariant）：在程序所有可能的运行时状态下都为真的性质。

不变量是 ADT 的「自我承诺」——无论使用者如何调用操作，ADT 始终维持这些性质。例如，一个表示日期的 ADT 应保证月份始终在 1 到 12 之间。

不可变性

不可变性是 6.102 中最重要的不变量之一。要保证不可变性，需要：

• 字段声明为 private readonly。
• 防御性复制：在构造函数和观察者中，对可变输入/输出进行复制，防止外部通过别名修改内部状态。

class ImmutablePerson {
  private readonly name: string;
  private readonly readonlyHobbies: ReadonlyArray<string>;

  constructor(name: string, hobbies: string[]) {
    this.name = name;
    // 防御性复制：保存一份不可变的快照
    this.readonlyHobbies = [...hobbies];
  }

  getHobbies(): ReadonlyArray<string> {
    return this.readonlyHobbies; // 返回只读视图，外部无法修改
  }
}

表示不变量与抽象函数

ADT 内部存在两个世界：

• 表示空间 \(R\)：内部实际的存储结构（私有字段）。
• 抽象空间 \(A\)：使用者看到的抽象值。

抽象函数（Abstraction Function）\(\text{AF}: R \to A\) 把每个表示值映射到它代表的抽象值。

表示不变量（Rep Invariant）\(\text{RI}: R \to \text{boolean}\) 判断一个表示值是否合法（well-formed）。

只有满足 RI 的表示值才是有效的，AF 只在这些有效值上有定义。

// 用一对数表示有理数
class Rational {
  private readonly numer: number; // 分子
  private readonly denom: number; // 分母

  // RI: denom > 0 且 gcd(|numer|, denom) == 1（已约分）
  // AF: AF(numer, denom) = numer / denom

  constructor(numer: number, denom: number) {
    if (denom === 0) throw new Error("denominator cannot be zero");
    const g = gcd(Math.abs(numer), denom);
    this.numer = numer / g;
    this.denom = denom / g;
  }
}

检查表示不变量

实现一个 checkRep() 方法，用断言检查 RI 是否成立。在每个操作（构造者、生产者、修改者）的末尾调用它，可以在开发阶段及早发现不变量被破坏的情况。

private checkRep(): void {
  assert(this.denom > 0);
  assert(gcd(Math.abs(this.numer), this.denom) === 1);
}

良性副作用

实现可以在内部修改表示值，只要修改后它仍然映射到同一个抽象值。这种修改称为良性副作用（benevolent side-effect）。例如，缓存一个计算结果不会改变抽象值，只是提升性能。

文档化 AF、RI 与表示泄露的安全性

ADT 的实现者应写下：

• 抽象函数的具体定义。
• 表示不变量的具体条件。
• 表示泄露的安全性论证：说明为什么外部代码无法通过别名破坏不变量。

ADT 不变量替代前置条件

设计良好的 ADT 会自行封装和强制不变量，而不是把检查推给调用者。例如，Rational 的构造函数自动约分并检查分母非零，调用者无需自己保证这些条件。

如何建立不变量

1. 在初始状态（构造函数）中使不变量为真。
2. 确保所有改变状态的操作（生产者、修改者）都保持不变量为真。

对于不可变类型，只需检查第 1 步——因为对象一旦创建就不会改变。