基变换矩阵 \(M\) 翻译坐标
\(M\) 的列是新基在旧基下的坐标；\(\mathbf{x} = M \mathbf{x}_\mathcal{C}\) 把新坐标变为旧坐标。
18.06 · 第 30 课
同样的线性变换，选对基就能让矩阵对角化。基的选择决定了计算的难易——特征基是"最好的基"，它让幂、指数和微分方程都变得简单。
设 \(\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}\) 和 \(\mathcal{C} = \{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n\}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 的两组基。向量 \(\mathbf{x}\) 在这两组基下的坐标 \(\mathbf{x}_\mathcal{B}\) 和 \(\mathbf{x}_\mathcal{C}\) 之间有关系：
\[\mathbf{x} = M \mathbf{x}_\mathcal{C}\]其中矩阵 \(M\) 的第 \(j\) 列是 \(\mathbf{w}_j\) 在 \(\mathcal{B}\) 下的坐标。于是：
\[\mathbf{x}_\mathcal{C} = M^{-1} \mathbf{x}_\mathcal{B}\]记忆技巧：\(M\) 把新坐标翻译成旧坐标，\(M^{-1}\) 把旧坐标翻译到新坐标。\(M\) 的列是"新基向量在旧基下的坐标"。
设线性变换 \(T\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵是 \(A\)，在基 \(\mathcal{C}\) 下的矩阵是 \(B\)。则：
\[B = M^{-1} A M\]这正是第 26 课的相似关系！同一个变换在不同基下的矩阵彼此相似。矩阵 \(A\) 和 \(B\) 描述的是同一个变换，只是用了不同的坐标系。
如果 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n\)，它们构成一组基——特征基（eigenbasis）。在这组基下，变换的矩阵为对角矩阵：
\[\Lambda = M^{-1} A M, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\]其中 \(M = \begin{pmatrix} \mathbf{x}_1 & \cdots & \mathbf{x}_n \end{pmatrix}\)。这就是对角化（diagonalization）。
对角矩阵的美妙之处在于：
考虑微分方程组：
\[\frac{d\mathbf{u}}{dt} = A \mathbf{u}, \quad \mathbf{u}(0) = \mathbf{u}_0\]若 \(A = M \Lambda M^{-1}\)，令 \(\mathbf{v} = M^{-1} \mathbf{u}\)，则：
\[\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \Lambda \mathbf{v}\]这变成了 \(n\) 解耦（decoupled）的标量方程：\(dv_i/dt = \lambda_i v_i\)。解为 \(v_i(t) = e^{\lambda_i t} v_i(0)\)，再变换回去：
\[\mathbf{u}(t) = M e^{\Lambda t} M^{-1} \mathbf{u}_0 = e^{At} \mathbf{u}_0\]核心思想：对角化把耦合系统变为独立系统。每个特征值决定一个模态的指数增长/衰减/振荡——这就是为什么特征值决定系统稳定性。
问题 1：若线性变换 \(T\) 在旧基下的矩阵是 \(A\)，在新基下的矩阵是 \(B\)，基变换矩阵是 \(M\)（旧 = M·新），则正确的关系是？
问题 2：为什么特征基是"最好的基"？
问题 3：在解 \(\dot{\mathbf{u}} = A\mathbf{u}\) 时，对角化的主要作用是？
问题 4：基变换矩阵 \(M\) 的列由什么组成？
\(M\) 的列是新基在旧基下的坐标；\(\mathbf{x} = M \mathbf{x}_\mathcal{C}\) 把新坐标变为旧坐标。
同一变换在不同基下的矩阵满足 \(B = M^{-1}AM\)——这就是相似关系。
当特征向量构成基时，变换矩阵变为对角阵，幂、指数、微分方程都变得简单。
对角化的本质是把耦合系统变为独立子系统——每个特征值对应一个独立的模态。
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