基 = 最小张成 = 最大无关
基是描述向量空间的坐标系，同时满足张成性与无关性。
18.06 · 第 10 课
一个向量空间的基（basis）是"最小"的张成集，也是"最大"的线性无关组。基的向量个数就是维数（dimension）——这是一个与基的选择无关的内在不变量。
向量空间 \(V\) 的一组基（basis）是一组向量 \(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_d\)，满足：
基是描述向量空间的"坐标系"。同一个向量在不同基下有不同的坐标，但向量本身不变。
最小张成 = 最大无关。基恰好是不能再删（否则张不满）也不能再加（否则相关）的向量组。这个"刚刚好"的性质保证了所有基大小相同。
\(\mathbb{R}^n\) 的标准基是 \(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\)。任何 \(n\) 个线性无关的 \(n\) 维向量都构成 \(\mathbb{R}^n\) 的一组基。
维数（dimension）\(\dim V\) 是 \(V\) 的任意一组基中向量的个数。要使这个定义有意义，必须证明：所有基的向量个数都相等。
证明思路（替换论证）。设 \(\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_d\}\) 和 \(\mathcal{C}=\{\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_e\}\) 是 \(V\) 的两组基。把 \(\mathcal{C}\) 的向量逐个插入 \(\mathcal{B}\)：因为 \(\mathcal{C}\) 张成 \(V\)，\(\mathbf{c}_1\) 可由 \(\mathcal{B}\) 线性表示；又因为 \(\mathcal{C}\) 无关，\(\mathbf{c}_1\) 的表示中至少有一个 \(\mathbf{b}_i\) 的系数非零，于是可用 \(\mathbf{c}_1\) 替换这个 \(\mathbf{b}_i\) 而仍得到一组基。重复此过程，\(\mathcal{C}\) 的 \(e\) 个向量都能插入，因此 \(e\le d\)。对称地 \(d\le e\)，故 \(d=e\)。
小心环境空间。向量 \(\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中两个线性无关的向量，它们张成一个 2 维子空间（一张平面）。子空间的维数是 2，不是 3。
对 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，设秩为 \(r\)：
秩的对称性。\(\dim C(A)=\dim C(A^T)=r\) 这件事并不显然——行秩等于列秩是线性代数最重要的结构定理之一。RREF 同时给出了行空间和列空间的基，从而证明两者维数相同。
维数恒等式是"秩-零化度定理"（rank–nullity theorem）的直接推论：
\[\dim C(A) + \dim N(A) = r + (n-r) = n,\] \[\dim C(A^T) + \dim N(A^T) = r + (m-r) = m.\]设 \(A\) 是 \(3\times 4\) 矩阵，RREF 为
\[R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\]则 \(r=2\)，\(m=3\)，\(n=4\)：
问题 1：下列哪一项是向量空间 \(V\) 的基的正确定义？
问题 2：若 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵且秩为 \(r\)，则行空间 \(C(A^T)\) 的维数是多少？
问题 3：列空间维数与零空间维数之和等于什么？
问题 4：在 \(\mathbb{R}^3\) 中，两个线性无关的向量张成的子空间维数是多少？
基是描述向量空间的坐标系，同时满足张成性与无关性。
所有基的向量个数相同，维数与基的选择无关。
\(\dim C(A)+\dim N(A)=n\)，\(\dim C(A^T)+\dim N(A^T)=m\)。
行空间与列空间维数相同，都等于秩 \(r\)——这是矩阵最对称的性质。
lecture_slides/lecture_10.pdflecture_summaries/lecture_1_10_summary.pdf