矩阵乘法四看法
列看法、行看法、外积看法和分块看法各有用途。列看法是 Strang 体系的核心，直接呼应列空间的概念。
18.06 · 第 3 课
矩阵不仅仅是方程组的紧凑记号——它们构成一个代数系统。矩阵乘法、逆矩阵和转置是这套代数的基本运算。理解它们的规则和几何含义，是掌握线性代数"语法"的关键一步。
设 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵，\(B\) 是 \(n\times p\) 矩阵，则乘积 \(C = AB\) 是 \(m\times p\) 矩阵，其中
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}. \]\(C\) 的第 \(j\) 列等于 \(A\) 乘以 \(B\) 的第 \(j\) 列：
\[ C_{:,j} = A \cdot B_{:,j}. \]这意味着 \(C\) 的每一列都是 \(A\) 的列向量的线性组合，组合系数来自 \(B\) 的对应列。
\(C\) 的第 \(i\) 行等于 \(A\) 的第 \(i\) 行乘以 \(B\)：
\[ C_{i,:} = A_{i,:} \cdot B. \]这意味着 \(C\) 的每一行都是 \(B\) 的行向量的线性组合。
把 \(A\) 按列拆分、\(B\) 按行拆分，乘积等于外积之和：
\[ AB = \sum_{k=1}^{n} A_{:,k} B_{k,:}. \]每一项 \(A_{:,k} B_{k,:}\) 是一个 \(m\times p\) 矩阵，秩为 1。这种看法在信号处理和数据分析中极为有用。
把 \(A\) 和 \(B\) 切成子矩阵块，只要块的尺寸匹配，就可以像普通矩阵一样相乘：
\[ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & \dots \\ \dots & \dots \end{bmatrix}. \]分块乘法是并行计算和理论推导的基础工具。
列看法最重要。 在 Strang 的体系中，列看法是首选：它把 \(AB\) 的每一列看作 \(A\) 的列的线性组合，直接呼应第 1 课的列视角。
矩阵代数与实数代数有很多相似之处，但也有致命差异：
警惕交换律。 从实数世界带来的直觉常常欺骗我们。\(AB = 0\) 不能推出 \(A=0\) 或 \(B=0\)；\((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) 仅在 \(AB=BA\) 时成立。矩阵代数中最常见的错误就是偷偷使用交换律。
如果存在矩阵 \(A^{-1}\) 使得
\[ A^{-1} A = I \quad\text{且}\quad A A^{-1} = I, \]则称 \(A\) 可逆 (invertible)，\(A^{-1}\) 为其逆矩阵。可逆矩阵必须是方阵，但并非所有方阵都可逆。
把 \(A\) 和单位矩阵 \(I\) 并排写出增广矩阵 \([A \mid I]\)，对 \(A\) 部分做消元，目标是把 \(A\) 化为 \(I\)。当 \(A\) 部分变成 \(I\) 时，右边的 \(I\) 就自动变成了 \(A^{-1}\)：
\[ [A \mid I] \;\xrightarrow{\text{行变换}}\; [I \mid A^{-1}]. \]例子：对 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\)，
\[ \left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac12 & -\frac52 & 1 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right]. \]于是 \(A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}\)。 验证： \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。
以下命题互相等价（对 \(n\times n\) 矩阵 \(A\)）：
任何一个条件成立，其余全部成立。任何一个条件不成立，\(A\) 就是奇异的 (singular)。
逆矩阵的几何含义。 线性变换 \(\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}\) 把空间拉伸、旋转、剪切。逆变换 \(\mathbf{x} \mapsto A^{-1}\mathbf{x}\) 把这些操作全部撤销。奇异矩阵把空间压缩到低维，信息丢失，无法撤销——就像把一张纸揉成团，无法无损展开。
问题 1： 以下哪条定律在矩阵乘法中不成立：
问题 2： 高斯-若尔当消元法求逆矩阵的目标是把增广矩阵 \([A \mid I]\) 变换为：
问题 3： 若 \(n\times n\) 矩阵 \(A\) 的行列式 \(\det(A) = 0\)，则：
问题 4： 以下哪个命题在矩阵代数中不一定成立：
列看法、行看法、外积看法和分块看法各有用途。列看法是 Strang 体系的核心，直接呼应列空间的概念。
结合律和分配律成立，但交换律一般不成立。矩阵代数中最常见的错误是偷偷使用交换律。
\(A^{-1}\) 撤销 \(A\) 的作用。高斯-若尔当法 \([A|I] \to [I|A^{-1}]\) 是求逆的标准算法。
可逆 ⇔ 满秩 ⇔ 无零主元 ⇔ 行列式非零 ⇔ 零空间只有零向量。这些等价条件从不同角度刻画同一个概念。
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