本次测验检验你对 Unit IIIb 三大主题及其联系的掌握：三重积分的计算（柱面、球面坐标）；曲面积分与通量的建立；散度定理与Stokes 定理的应用；空间线积分与梯度场；以及何时使用哪个定理的判断能力。
核心思想：Auroux 在第 32 讲复习中总结：18.02 第三单元有三种积分（三重积分、曲面积分、线积分）和三座桥梁把它们联系起来：
看到闭路积分 → Stokes；看到闭曲面通量 → 散度定理；看到梯度场 → FTC。
| 主题 | 讲次 | 关键工具 |
|---|---|---|
| 三重积分（柱面坐标） | Lec 25 | \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)，投影法 |
| 三重积分（球面坐标） | Lec 26 | \(dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\) |
| 引力应用 | Lec 26, 28 | Newton 定理，球对称引力 |
| 曲面积分与通量 | Lec 27 | \(\iint_S \vec{F}\cdot\hat{n}\,dS\)，\(\vec{dS}=\hat{n}\,dS\) 的公式 |
| 散度定理 | Lec 27, 29 | \(\iint_S \vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_D \nabla\cdot\vec{F}\,dV\) |
| 散度与物理意义 | Lec 29 | \(\nabla\cdot\vec{F}=P_x+Q_y+R_z\)，源密度 |
| 空间线积分 | Lec 30 | \(\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz\) |
| 空间梯度场与势函数 | Lec 30 | \(P_y=Q_x,\ P_z=R_x,\ Q_z=R_y\) ⇔ 梯度场 |
| 三维旋度 | Lec 29–30 | \(\nabla\times\vec{F}=\langle R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y\rangle\) |
| Stokes 定理 | Lec 31 | \(\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS\) |
| 单连通区域 | Lec 32 | Stokes 定理的适用条件 |
| 三大定理统一 | Lec 32 | Green、Stokes、散度定理的联系 |
柱面坐标：\(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)，适用于绕 \(z\) 轴对称的区域。
球面坐标：\(dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\)，适用于球形/锥形区域。
建立步骤：画区域 → 找投影 → 定上下曲面 → 选合适坐标系 → 写累次积分。
通量 \(\displaystyle\iint_S \vec{F}\cdot\hat{n}\,dS\)。关键公式（Auroux 在第 27 讲列出）：
注意：对曲面 \(z=f(x,y)\)，\(\hat{n}\,dS=\langle -f_x,-f_y,1\rangle\,dx\,dy\) 不是把 \(\hat{n}\) 和 \(dS\) 分开——\(\hat{n}\) 不是 \(\langle -f_x,-f_y,1\rangle\)（未归一化），\(dS\) 也不是 \(dx\,dy\)。只有乘积 \(\hat{n}\,dS\) 整体等于这个表达式。
适用于闭曲面 \(S\) 围成的区域 \(D\)。物理意义：流出闭曲面的净通量 = 内部总源强。
适用于闭路 \(C\) 所张的任意曲面 \(S\)（只要定向相容）。Auroux 强调：可以选最方便的曲面——例如圆周 \(C\) 可张成平面圆盘、半球面、锥面，选最简单的。
定向规则：沿 \(C\) 正方向行走，曲面在左手边 → \(\hat{n}\) 朝上（右手法则）。
三个定理都是"边界上的积分 = 内部微分的积分"这一原理的特例：
| 定理 | 边界积分 | 内部积分 | 维度 |
|---|---|---|---|
| FTC for line integrals | \(\displaystyle\int_C \nabla f\cdot d\vec{r}\) | \(f(P_1)-f(P_0)\) | 1D ↔ 0D |
| Stokes | \(\displaystyle\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\) | \(\displaystyle\iint_S (\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS\) | 1D ↔ 2D |
| 散度定理 | \(\displaystyle\iint_S \vec{F}\cdot\hat{n}\,dS\) | \(\displaystyle\iiint_D \nabla\cdot\vec{F}\,dV\) | 2D ↔ 3D |
Green 定理是 Stokes 定理的特例（当 \(S\) 在 \(xy\) 平面时，\(\nabla\times\vec{F}\cdot\hat{k}=N_x-M_y\)）。
空间区域是单连通的，如果其内任何闭路都能张成完全在区域内的曲面。
定理：在单连通区域上，\(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\) ⇔ \(\vec{F}\) 是梯度场（保守场）。
反例：去掉 \(z\) 轴的区域不是单连通的——绕 \(z\) 轴的闭路无法在区域内张成曲面。
代表：Practice 4B 中柱面/球面区域题；两曲面之间的体积。
策略：画区域 → 判断对称性 → 选柱面或球面坐标 → 定限。柱面用于绕 \(z\) 轴旋转体；球面用于球/锥形。
代表：Practice 4B 中球面/柱面/平面通量题；曲面 \(z=f(x,y)\) 的通量。
策略：识别曲面类型 → 用对应的 \(\hat{n}\,dS\) 公式 → 投影到坐标平面 → 化为二重积分。
代表：Practice 4B 中闭曲面通量题；复杂曲面用定理简化。
策略：闭曲面通量 → 考虑散度定理 → 算 \(\nabla\cdot\vec{F}\) → 三重积分。当散度简单（常数、零）时特别有效。
代表：Practice 4B 中闭路线积分题；用 Stokes 简化。
策略：闭路线积分 → 考虑 Stokes → 选简单曲面（平面圆盘优先）→ 算 \(\nabla\times\vec{F}\) → 曲面积分。
代表：Practice 4B 中空间保守场判定；求势函数。
策略：验证三个偏导等式 → 反导数法求 \(f\) → 用 FTC 算线积分。
散度定理用于非闭曲面：散度定理只对闭曲面成立。若曲面不封闭，需补面后应用定理，再减去补面的通量。
Stokes 定理定向不匹配：曲线 \(C\) 的方向与曲面 \(S\) 的定向必须相容（右手法则）。方向反了差一个负号。
球面坐标 \(\varphi\) 范围错误：\(\varphi\in[0,\pi]\)。半球是 \([0,\pi/2]\)，不是 \([0,\pi]\)。
混淆三大定理的适用情形：闭路积分 → Stokes（或 Green）；闭曲面通量 → 散度定理；梯度场 → FTC。不要张冠李戴。
问题 1：Stokes 定理的正确表述是：
问题 2：\(\vec{F}=\langle x,y,z\rangle\) 沿半径 \(a\) 的球面（外法向）的通量等于：
问题 3：用 Stokes 定理计算闭路积分时，下列说法正确的是：
问题 4：下列哪一项不是联系不同类型积分的定理？
共 11 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
本题考查保守向量场的判定与势函数的求法。
(a) 先对 \(\partial f/\partial x\) 关于 \(x\) 积分，引入待定函数 \(g(y,z)\)，再逐次利用其余偏导数确定 \(g\)。(b) 计算旋度的三个分量并验证是否均为 0。
依据本地资料重建（原始 (a) 部分缺失，此处为 (b)(c) 部分）
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本题涉及球面上的曲面积分、柱面上的通量以及散度定理的应用。
(a) 用球坐标参数化，以 \((0,0,6)\) 为原点。(b) 计算 \(\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\) 在柱面上是否为 0。(c) 直接积分 \(\operatorname{div}\mathbf{F}\) 乘以体积。
依据本地资料重建（原始图形缺失，被积函数依据解法推断）
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本题考查曲线参数化、线积分计算以及斯托克斯定理的应用。
(a) 将 \(z=1\) 代入球面方程得 \(x^2+y^2=1\)，用三角函数参数化。(b) 代入参数方程直接积分。(c) 计算旋度，选取以 \(C\) 为边界的平面区域，计算曲面积分。
依据本地资料重建（原始 (b) 部分内容 OCR 损坏，向量场依据解法推断）
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已知向量场 \(\mathbf{F}\) 的散度 \(\operatorname{div}\mathbf{F} = 0\)。利用散度定理求 \(\mathbf{F}\) 通过单位球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) 的向外通量。
直接应用散度定理，由于 \(\operatorname{div}\mathbf{F}=0\)，三重积分为 0。
依据本地资料重建
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本题考查曲面在球坐标下的描述以及体积积分的设置。
(a)(b) 将 \(z = \rho\cos\phi\) 和 \(x^2+y^2+z^2 = \rho^2\) 代入原方程。(c) 确定 \(\rho\) 的积分限为 0 到 \(\cos^{1/3}\phi\)，\(\phi\) 从 0 到 \(\pi/2\)。
依据本地资料重建
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计算向量场 \(\mathbf{F} = \langle y,\,x,\,z\rangle\) 沿上方向通过曲面 \(S\) 的通量，其中 \(S\) 是 \(z = xy\) 在单位圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 1\) 上方的部分。
计算 \(\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \langle y,x,z\rangle\cdot\langle -y,-x,1\rangle\,dx\,dy = (-y^2-x^2+z)\,dx\,dy\)，代入 \(z=xy\)，在单位圆盘上积分。建议使用极坐标。
依据本地资料重建（解法答案数值存在 OCR 误差，以题面条件为准）
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计算三重积分 \(\iiint_E (x^2 + y^2)\,dV\)，其中 \(E\) 是第一卦限内由圆柱面 \(x^2 + y^2 = 1\) 和平面 \(z = 0\)、\(z = 1\) 所围的区域。
将 \(x^2+y^2\) 替换为 \(r^2\)，\(dV = r\,dz\,dr\,d\theta\)，被积函数变为 \(r^3\)。逐次积分。
依据本地资料重建
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设置并计算由球面 \(\rho = 2a\cos\phi\) 和平面 \(z = a\)（即 \(\rho = a\sec\phi\)）所围区域的三重积分（球坐标）。
\(\rho\) 从 \(a\sec\phi\) 到 \(2a\cos\phi\)，\(\phi\) 从 0 到 \(\pi/4\)，\(\theta\) 从 0 到 \(2\pi\)。先对 \(\rho\) 积分。
依据本地资料重建
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设向量场 \(\mathbf{F} = \langle 2xy + z^3,\,x^2 + 2yz,\,y^2 + 3xz^2 - 1\rangle\)。
(a) 验证 \(\partial M/\partial y = \partial N/\partial x\)、\(\partial M/\partial z = \partial P/\partial x\)、\(\partial N/\partial z = \partial P/\partial y\)。(b) 对 \(F_1\) 关于 \(x\) 积分，逐次确定待定函数。
依据本地资料重建
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设 \(S\) 是抛物面 \(z = 1 - x^2 - y^2\)（\(z \geq 0\)，上方向法向），\(T\) 是 \(xy\) 平面上的单位圆盘（下方向法向）。设 \(\mathbf{F} = \langle x,\,y,\,2(1-z)\rangle\)。
(a) 计算 \(\mathbf{F}\cdot\langle 2x,2y,1\rangle\)（因为 \(f_x=-2x\), \(f_y=-2y\)），在单位圆盘上积分，用极坐标。(b) 计算 \(\mathbf{F}\) 在 \(T\) 上的通量（\(\hat{\mathbf{n}} = -\hat{\mathbf{k}}\)），利用 \(\iint_{S+T} = 0\) 得 \(\iint_S = -\iint_T\)。
依据本地资料重建
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设向量场 \(\mathbf{F} = \langle -2xz,\,0,\,y^2\rangle\)。
(a) 直接计算各分量。(b) 计算 \((\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\) 在球面上是否恒为 0。(c) 由 (b) 及斯托克斯定理直接得出。
依据本地资料重建
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study_materials/e87e4407d0378284e94eefb09e3e3a90_prac4asol.pdf — Practice Exam 4A 解答study_materials/8e7af9861fedf8b81de3d8999514787d_prac4bsol.pdf — Practice Exam 4B 解答study_materials/759e65e66759922ddcb596c3c9e392e1_gravitnl_attracn.pdf — 引力笔记study_materials/3886d5c4b263106792cdd6dd613d517e_part_diff_eqn.pdf — 偏微分方程/扩散方程笔记