本次测验检验你对 Unit IIIa 两大主题的掌握：多重积分与线积分。核心能力包括：对平面区域建立迭代积分（直角坐标、极坐标、变量替换）；计算向量场的线积分；识别保守场并用 FTC 简化；用 Green 定理把线积分与二重积分互相转换；理解单连通区域上保守场判据的适用条件。
核心思想：Auroux 在第 24 讲复习中指出，Unit IIIa 的主线是"两种积分、一座桥梁"——二重积分与线积分是两种不同的积分，Green 定理是它们之间的桥梁。看到闭路线积分 → 想到 Green 定理化为二重积分；看到形如 \(\iint_R (N_x-M_y)\,dA\) 的二重积分 → 也可反用 Green 定理。
| 主题 | 讲次 | 关键工具 |
|---|---|---|
| 二重积分（直角坐标） | Lec 16 | 迭代积分，切片定限，交换次序 |
| 极坐标积分 | Lec 17 | \(dA=r\,dr\,d\theta\)，射线法定限 |
| 面积、质量、质心、转动惯量 | Lec 17 | \(M=\iint\delta\,dA\)，\(I_0=\iint r^2\delta\,dA\) |
| 变量替换与 Jacobi | Lec 18 | \(\partial(u,v)/\partial(x,y)\)，三步法 |
| 向量场与线积分 | Lec 19 | \(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int M\,dx+N\,dy\)，参数化 |
| 梯度场与 FTC | Lec 20 | \(\int_C \nabla f\cdot d\vec{r}=f(P_1)-f(P_0)\) |
| 路径无关、保守场、curl | Lec 20–21 | \(P_y=Q_x \Leftrightarrow\) 保守场（单连通上） |
| Green 定理（切向形式） | Lec 22 | \(\oint_C M\,dx+N\,dy=\iint_R (N_x-M_y)\,dA\) |
| 通量与 Green 定理（法向形式） | Lec 23 | \(\oint_C \vec{F}\cdot\hat{n}\,ds=\iint_R \operatorname{div}\vec{F}\,dA\) |
| 单连通区域 | Lec 24 | Green 定理的适用条件，反例 \(\vec{F}=\dfrac{\langle -y,\,x\rangle}{x^2+y^2}\) 在挖去原点的平面上 |
直角坐标：画区域 → 切片定限 → 迭代积分。
极坐标：\(dA=r\,dr\,d\theta\)，用于含 \(x^2+y^2\) 或圆形区域。
变量替换三步法：(1) 算 Jacobi \(\partial(u,v)/\partial(x,y)\) 或其逆；(2) 用新变量表示被积函数；(3) 在 \(uv\) 平面上画区域定限。
应用：
\[ M = \iint_R \delta\,dA,\quad \bar x = \frac{1}{M}\iint_R x\,\delta\,dA,\quad I_0 = \iint_R (x^2+y^2)\,\delta\,dA. \]定义与计算：参数化后代入，\(\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt\)。
梯度场的 FTC：若 \(\vec{F}=\nabla f\)，则 \(\displaystyle\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = f(P_1)-f(P_0)\)，与路径无关。
保守场判定：在单连通区域上，\(\vec{F}=\langle M,N\rangle\) 保守 ⇔ \(N_x=M_y\)（即 \(\operatorname{curl}\vec{F}=0\)）。
切向形式（work form）：
\[ \oint_C M\,dx + N\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)dA. \]法向形式（flux form）：设 \(\vec{F}=P\hat{\imath}+Q\hat{\jmath}\)，则：
\[ \oint_C \vec{F}\cdot\hat{n}\,ds = \oint_C -Q\,dx + P\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA = \iint_R \operatorname{div}\vec{F}\,dA. \]面积公式（推论）：\(\displaystyle A = \oint_C x\,dy = \oint_C -y\,dx\)。Auroux 用此证明机械求积仪 (planimeter) 的原理。
注意：Green 定理要求 \(\vec{F}\) 在 \(C\) 所围区域 \(R\) 上处处可微。经典反例：\(\vec{F}=\dfrac{\langle -y,x\rangle}{x^2+y^2}\)，\(\operatorname{curl}\vec{F}=0\)（除原点外），但沿单位圆积分 = \(2\pi\)。原因是区域包含原点（奇点），不是单连通区域上的 Green 定理适用范围。
定义：平面区域 \(R\) 是单连通 (simply connected) 的，如果 \(R\) 内任何闭路的内部完全包含在 \(R\) 内。直观说：没有"洞"。
在单连通区域上，\(N_x=M_y\) ⇔ 保守场。在非单连通区域上，这个等价可能不成立（如上反例）。
代表：Practice 3A Problem 1（三角形质心）；3B Problem 1（交换次序）。
策略：画区域 → 判断竖条/横条切片 → 写内外限。Auroux 复习时提醒：不要复杂三角积分（如 \(\cos^4\theta\)）或分部积分——测验不会要求这些。
代表：Practice 3A Problem 2（单位圆盘关于 \(y\) 轴的极转动惯量）。
策略：识别圆形区域 → 极坐标代入 → \(dA=r\,dr\,d\theta\)。注意：密度 = 到 \(y\) 轴距离 = \(|x|\)，被积函数含 \(x^2=r^2\cos^2\theta\)。
代表：Practice 3A Problem 3（含参保守场 + 求势 + 用 FTC 算积分）；3B Problem 3。
策略：令 \(N_x=M_y\) 解参数 → 求 \(f\)（反导数法或简单路径法）→ 用 FTC 得线积分。
代表：Practice 3A Problem 5（\(u=x^2/y,\ v=xy\)）；3B Problem 6（\(u=2x-y,\ v=x+y-1\)）。
策略：算 Jacobi → 转换被积函数 → 在 \(uv\) 平面上画新区域（通常更简单：矩形或圆）。Auroux 提示：测验中的 Jacobi 会是常数或简单表达式。
代表：Practice 3A Problem 6（把 \(M\,dx\) 表为二重积分）；Problem 7（通量）；3B Problem 5（通量）。
策略：闭路线积分 → 考虑 Green 定理。切向形式用于 \(M\,dx+N\,dy\)；法向形式用于通量 \(\vec{F}\cdot\hat{n}\,ds\)。反用 Green 定理（二重积分 → 线积分）有时更简便。
Green 定理方向搞反：Green 定理要求逆时针 (counterclockwise) 方向。顺时针闭路积分 = 逆时针积分的相反数。通量形式中 \(\hat{n}\) 是外法向（由逆时针方向旋转 90° 顺时针得到）。
单连通条件忽略：使用 \(N_x=M_y \Rightarrow\) 保守场时，必须确认区域是单连通的。含原点的向量场 \(\dfrac{\langle -y,x\rangle}{x^2+y^2}\) 是最常见的陷阱。
极坐标忘乘 \(r\)：\(dA=r\,dr\,d\theta\)。测验中这是高频失分点。
通量与功混淆：\(\int \vec{F}\cdot\hat{T}\,ds\) 是功 (work)（切向分量）；\(\int \vec{F}\cdot\hat{n}\,ds\) 是通量 (flux)（法向分量）。两者的 Green 定理形式不同。
问题 1：Green 定理的一个推论是，闭路 \(C\) 所围区域的面积可表为线积分：
问题 2：Practice 3B Problem 3 中 \(\vec{F}=\langle 3x^2-6y^2,\ -12xy+4y\rangle\) 的旋度等于：
问题 3：用 Green 定理计算面积时，下列哪一对 \((M,N)\) 是不可行的选择？
问题 4：Auroux 在第 24 讲举的反例表明，\(N_x=M_y\) 不能保证保守性，其原因是：
共 7 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
一个密度均匀为 \(\delta = 1\) 的三角形，顶点为 \((−2, 0)\)、\((0, 1)\)、\((2, 0)\)。设 \((\bar{x}, \bar{y})\) 为其质心。
(a) 根据三角形边界确定积分限，写出 \(\bar{y}\) 的累次积分；(b) 注意区域与密度均关于 \(y\) 轴对称。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 1 题，题面完整，直接翻译。
单位圆盘 \(x^2 + y^2 \le 1\) 的密度为到 \(y\) 轴的距离。求其极转动惯量。
采用极坐标变换，注意距离表达式与对称性。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 2 题，题面完整，直接翻译。
设向量场 \(\vec{F} = (a x^2 y + y^3 + 1)\hat{\imath} + (2 x^3 + b x y^2 + 2)\hat{\jmath}\)，其中 \(a\)、\(b\) 为常数。
(a) 令 \(\partial Q/\partial x = \partial P/\partial y\) 解出 \(a\)、\(b\)；(b) 先对 \(P\) 关于 \(x\) 积分，再利用 \(f_y = Q\) 确定含 \(y\) 的部分；(c) 利用 (b) 的势函数和曲线端点。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 3 题，题面完整，直接翻译。
对于 \(\vec{F} = y x^3\hat{\imath} + y^2\hat{\jmath}\)，求 \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\)，其中 \(C\) 是曲线 \(y = x^2\) 从 \((0, 0)\) 到 \((1, 1)\) 的一段。
将曲线用参数 \(t\) 表示，代入向量场后直接计算积分。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 4 题，题面完整，直接翻译。
设 \(R\) 为第一象限中由曲线 \(y = x^2\)、\(y = x^2/5\)、\(xy = 2\) 和 \(xy = 4\) 围成的区域。
(a) 先计算 \(\partial(u,v)/\partial(x,y)\)，再取倒数绝对值；(b) 将四条边界曲线转化为 \(uv\) 区域。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 5 题，题面完整，直接翻译。
设 \(C\) 是逆时针绕区域 \(R\) 一周的简单闭曲线，\(M = M(x, y)\)。
(a) 直接应用格林定理的切向形式；(b) 令 \(-\partial M/\partial y = (x + y)^2\)，对 \(y\) 积分得到 \(M\)。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 6 题，题面完整，直接翻译。
设 \(R\) 是由 \(x\) 轴、\(x = 1\) 和 \(y = x^3\) 围成的区域。
(a) 计算散度并在 \(R\) 上积分；(b) 分别在 \(C_1\)、\(C_2\) 上直接计算通量；(c) 总通量等于三侧通量之和。
题目取自 MIT OCW 18.02 Practice Exam 3 A 第 7 题，题面完整，直接翻译。
study_materials/prac3a.pdf — Practice Exam 3A（质心、转动惯量、保守场、线积分、变量替换、Green 定理）study_materials/prac3asol.pdf — Practice Exam 3A 解答study_materials/prac3bsol.pdf — Practice Exam 3B 解答study_materials/ps9.pdf — Problem Set 9study_materials/ps10.pdf — Problem Set 10