直角坐标体积元 \(dV=dx\,dy\,dz\)；柱坐标 \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)；球坐标 \(dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\)。柱坐标适合圆柱形或旋转体区域，球坐标适合球形或锥形区域。
平面通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\) 用法向形式格林定理转化为 \(\iint_R \operatorname{div}\mathbf{F}\,dA\)。散度为零的场在无奇点区域内通量为零。
当向量场的奇点位于积分区域内时，不能直接应用格林定理，需围绕奇点作小回路隔离，再取极限。\(\mathbf{F}=(x\hat{\mathbf{i}}+y\hat{\mathbf{j}})/r^2\) 绕原点的通量为 \(2\pi\)。
均匀球体对球外质点的引力可积分求得；区域上函数的平均值等于函数在该区域上的积分除以区域体积。
\(\rho=\text{const}\) 是球面，\(\varphi=\text{const}\) 是锥面，\(\rho=2a\cos\varphi\) 是球心在 \(z\) 轴上的球面。描述球坐标不等式时要明确 \(\rho,\varphi,\theta\) 的范围。
先画区域的草图，圆柱形用柱坐标、球形用球坐标、矩形盒用直角坐标。把区域投影到坐标平面上确定积分限。
对含 \(1/r\) 型奇点的向量场，先确认奇点是否在区域内。若在，围绕奇点作小圆隔离，分别计算小圆上与剩余区域的贡献。
球对称或轴对称区域上，\(\theta\) 积分常直接得 \(2\pi\)；奇函数在对称区域上积分为零，可快速判断某些分量为零。
柱坐标体积元漏掉因子 \(r\)，或球坐标体积元漏掉 \(\rho^2\sin\varphi\)。
判断通量时忽略奇点位置，错误地直接应用格林定理。
积分限的上下界写反或未正确投影到坐标平面。
混淆平均值的公式，忘记除以区域体积。
球坐标积分限时 \(\varphi\) 的范围写错（如球心不在原点的球面）。
问题 1：把半径为 \(a\) 的球体上的三重积分 \(\iiint_E (x^2+y^2+z^2)\,dV\) 写成球坐标下的累次积分。下列哪一项正确表达了球坐标下的被积函数（含体积元）？
问题 2：设 \(\mathbf{F}=\frac{x}{r^2}\hat{\mathbf{i}}+\frac{y}{r^2}\hat{\mathbf{j}}\)，其中 \(r^2=x^2+y^2\)。\(C\) 是圆心在 \((1,0)\)、半径为 \(a\neq 1\) 的圆。当 \(a>1\) 时，\(\mathbf{F}\) 沿外向穿过 \(C\) 的通量是多少？
问题 3：设 \(E\) 是由平面 \(x=0,\ y=0,\ z=0\) 与 \(x+y+z=1\) 所围成的四面体。把 \(\iiint_E f(x,y,z)\,dV\) 按积分次序 \(dz\,dy\,dx\) 写出累次积分时，\(z\) 的积分限是什么？
共 7 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
考试 3 涵盖第 18–26 讲的内容。本次不布置作业题。
复习第 18–26 讲内容，准备考试 3。
本题为考试通知，题面完整翻译自原资料。
来源：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
计算或建立下列三重积分： (a) \( \iiint_E xyz \, dV \)，其中 \( E = [0,1] \times [0,2] \times [0,3] \)。 (b) 将 \( \iiint_E (x^2 + y^2) \, dV \) 表示为直角坐标下的累次积分，其中 \( E \) 为由平面 \( z = 0 \)、\( z = 3 \) 与圆柱面 \( x^2 + y^2 = 1 \) 所围成的区域。 (c) 将 (b) 中的积分用柱坐标表示，并计算其值。 (d) 用柱坐标建立 \( \iiint_E z \, dV \)，其中 \( E \) 为由抛物面 \( z = x^2 + y^2 \) 与平面 \( z = 4 \) 所围成的区域，并计算其值。
先根据积分区域的形状选择合适的坐标系，画出区域的投影草图以确定积分限。
原资料仅列出教材题号（12.8/5, 23; 14.6/41; 14.7/9, 19; 5A/1, 2abcd–7），未包含具体题面。站内依据课程主题与教学进度设计了等价练习。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
完成下列关于球坐标与引力的问题： (a) 将球坐标 \( (\rho, \varphi, \theta) = (2, \pi/3, \pi/4) \) 转换为直角坐标。 (b) 用球坐标建立半径为 \( a \) 的球体的三重积分 \( \iiint_E (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \)，并计算其值。 (c) 用球坐标建立两球面 \( \rho = a \) 与 \( \rho = 2a \) 之间球壳区域的三重积分 \( \iiint_E z \, dV \) 并计算。 (d) 一个半径为 \( a \)、密度为常量 \( \delta \) 的均匀实心球体，对其表面南极点处单位质点产生引力。将南极点置于坐标原点，球心在 \( z \) 轴正方向上。用球坐标建立引力在 \( z \) 方向分量的积分（设引力常数为 \( G \)），并计算其值。
球坐标问题中，先根据对称性确定 θ 的积分范围，再根据几何边界确定 ρ 与 φ 的积分限。
原资料仅列出教材题号（12.8/9, 11, 15, 27, 55; 5B/1abc, 2, 3, 4abc; 5C/2, 3, 4），未包含具体题面。站内依据课程主题与教学进度设计了等价练习。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
求向量场 \( \mathbf{F} = \frac{x}{r^2} \mathbf{i} + \frac{y}{r^2} \mathbf{j} \)（其中 \( r^2 = x^2 + y^2 \)）沿外向通过圆心为 \( (1,0) \)、半径为 \( a \neq 1 \) 的圆 \( C \) 的通量。分别讨论 \( a > 1 \) 与 \( a < 1 \) 两种情形，并用作图辅助说明你的结论。 几何说明：圆 \( C \) 的圆心在 \( (1,0) \)，半径为 \( a \)。向量场 \( \mathbf{F} \) 的原点 \( (0,0) \) 是一个奇点。当 \( a < 1 \) 时，原点在圆外，圆不包含奇点；当 \( a > 1 \) 时，原点在圆内，圆包含奇点。
先判断原点（F 的奇点）是否在圆内。若原点在圆外，可直接用法向形式格林定理；若原点在圆内，考虑围绕原点作一小圆隔离奇点。
题面完整翻译自原资料。图中信息已用坐标与文字描述替代。
来源：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
考虑由平面 \( x = 0 \)、\( y = 0 \)、\( z = 0 \) 与平面 \( x + y + z = 1 \) 所围成的四面体区域 \( E \)。 (a) 将 \( \iiint_E f(x,y,z) \, dV \) 按积分次序 \( dx\,dy\,dz \) 表示为累次积分，并写出积分限。 (b) 取 \( f(x,y,z) = x \)，按积分次序 \( dx\,dy\,dz \) 计算该三重积分的值。 (c) 将同一积分按积分次序 \( dz\,dy\,dx \) 表示为累次积分，并验证结果与 (b) 一致。
先画出四面体区域及其在坐标平面上的投影，再按指定积分次序确定各变量的积分限。
原资料仅引用教材习题 14.6/39，未包含具体题面。站内依据三重积分与积分次序的主题设计了等价练习。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
设有一个半径为 \( a \) 的实心球体 \( E \)，将球面上一点置于坐标原点，并作为球体的南极点（即球心位于 \( z \) 轴正方向上，距原点距离为 \( a \)）。对球内任意一点 \( (x,y,z) \)，其到原点（南极点）的距离为 \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)。 (a) 在柱坐标下建立球内任意一点到南极点的平均距离的积分表达式。 (b) 在球坐标下建立同一平均距离的积分表达式。 (c) 分别计算 (a) 与 (b) 中的积分，验证两者结果一致。
先写出球内任意一点到原点的距离表达式，再分别在柱坐标和球坐标下表示球体区域并建立积分。
题面完整翻译自原资料。
来源：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
完成下列球坐标问题： (a) 将直角坐标 \( (x,y,z) = (1, 1, \sqrt{2}) \) 转换为球坐标 \( (\rho, \varphi, \theta) \)。 (b) 描述球坐标不等式 \( \rho \le 2\cos\varphi \) 所表示的曲面与区域。 (c) 用球坐标建立由锥面 \( \varphi = \pi/6 \) 与球面 \( \rho = 2 \) 所围成区域的三重积分 \( \iiint_E z \, dV \)，并计算其值。
先根据几何边界确定 ρ、φ、θ 的积分限，注意锥面给出 φ 的上界。
原资料仅引用 Notes 5C/5，未包含具体题面。站内依据球坐标主题设计了等价练习。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/e9ae066be1eb0fd66a8f5a7631741f76_ps10.pdf · 1
study_materials/ps10.pdf — Problem Set 10 题面study_materials/prac3a.pdf — Practice Exam 3A（含保守场、线积分、变量替换）study_materials/prac3bsol.pdf — Practice Exam 3B 解答