Problem Set 9: Green's Theorem, Flux, and Geometric Applications

目标

掌握格林定理的环量形式与通量形式，并区分两者的适用场景。
利用格林定理计算向量场沿闭合曲线的线积分与通量。
理解格林定理的法向形式：通量等于散度在区域上的二重积分。
会用线积分 \(\oint_C x\,dy\) 或 \(\oint_C -y\,dx\) 计算平面区域面积。
能把摆线等参数曲线代入面积公式进行计算。
理解单连通区域上旋度为零与保守性的等价关系。

核心知识要点

格林定理的两种形式

环量形式 \[\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA\] 与通量形式 \[\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_R \operatorname{div}\mathbf{F}\,dA.\] 前者关联旋度，后者关联散度。

通量与散度

通量衡量向量场穿过曲线的净流量；散度 \(\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\) 描述场在一点的源强。法向形式把边界上的通量与区域内的散度联系起来。

线积分求面积

取 \(P=-y,\ Q=0\) 或 \(P=0,\ Q=x\) 代入格林定理，得到 \[\operatorname{Area}(R)=\oint_C x\,dy=\oint_C -y\,dx.\] 对参数曲线直接代入计算即可。

格林定理的优化应用

要把线积分最大化，应让积分区域落在旋度为正的点集上；最优边界位于旋度变号的曲线处。

单连通区域与保守场

在单连通区域上，\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\) 等价于保守性；非单连通区域上该条件绕闭合回路积分可能非零。

覆盖范围

格林定理（Green's theorem）
通量（flux）
格林定理的法向形式（normal form of Green's theorem）
单连通区域（simply-connected regions）
线积分（line integrals）
利用线积分求面积（area via line integrals）
摆线（cycloid）
考试 3 复习（Exam 3 review）

典型题型与解题策略

线积分转二重积分

对闭合曲线的线积分，优先考虑用格林定理转化为二重积分，计算旋度后在区域上积分，往往比直接参数化更简洁。

区分通量与环量公式

通量用法向形式 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)，环量用切向形式 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\)，两者对应的被积函数分别是散度和旋度，不可混淆。

参数化注意方向与范围

参数化曲线时确保方向为正向（逆时针），参数范围覆盖完整曲线；摆线一拱对应 \(t\in[0,2\pi]\)。

常见错误

混淆曲线的正向（逆时针）与负向，导致符号错误。

通量计算中误用环量公式，或混淆 \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\) 与 \(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\)。

参数化时遗漏 Jacobian 因子或写错参数范围。

应用格林定理前未确认场在区域内处处可微（奇点需排除）。

知识检查

问题 1：设 \(\mathbf{F}=(x^2-y^2)\hat{\mathbf{i}}+2xy\hat{\mathbf{j}}\)，\(C\) 为逆时针方向的单位圆。用格林定理计算 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 的值是多少？

问题 2：设 \(\mathbf{F}=x^2\hat{\mathbf{i}}+y^2\hat{\mathbf{j}}\)，\(C\) 为逆时针方向、半径为 2 的圆。用法向形式格林定理计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\) 的值是多少？

问题 3：利用线积分求由 \(y=x^2\) 与 \(y=x\) 所围区域的面积。若用公式 \(\operatorname{Area}=\oint_C x\,dy\)，沿正向边界积分的结果是多少？

完整题目清单

共 7 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

A 部分（10 分）：只需交划线标注的题目，其余题目供额外练习。
B 部分（16 分）：请尝试独立求解每道题的每个部分。若与他人合作，解答仍须独立完成。查阅以往学期的资料属于违规行为。请写明你咨询或合作的所有人姓名，以及你所使用的资源。

覆盖范围

格林定理（Green's theorem）
通量（flux）
格林定理的法向形式（normal form of Green's theorem）
单连通区域（simply-connected regions）
线积分（line integrals）
利用线积分求面积（area via line integrals）
摆线（cycloid）
考试 3 复习（Exam 3 review）

题目 A1 第 24 讲 —— 格林定理 格林定理（Green's theorem） · 线积分（line integrals）

站内等价练习可离线作答

本题为站内等价练习，对应教材第 14 章 15.4 节中格林定理的基本计算与应用。

设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。利用格林定理计算 \(\oint_C (y^2\,dx + x\,dy)\)，其中 C 是由 \(y = x\) 与 \(y = x^2\) 所围区域的边界。
设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。利用格林定理计算 \(\oint_C (e^x\,dx + 2y\,dy)\)，其中 C 是顶点为 \((0,0)\)、\((1,0)\)、\((0,1)\) 的三角形边界。
设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。利用格林定理计算 \(\oint_C (-y\,dx + x\,dy)\)，其中 C 是单位圆 \(x^2 + y^2 = 1\)。
设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。计算 \(\oint_C (xy\,dx + x^2\,dy)\)，其中 C 是矩形 \([0,2] \times [0,1]\) 的边界。
设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。计算 \(\oint_C ((x+y)\,dx + (x-y)\,dy)\)，其中 C 是由 \(y = x^2\) 与 \(y = x\) 所围区域的边界。
设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。计算 \(\oint_C (x^2y\,dx + xy^2\,dy)\)，其中 C 是圆 \(x^2 + y^2 = 4\)。
设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。计算 \(\oint_C (\sin y\,dx + \cos x\,dy)\)，其中 C 是单位圆 \(x^2 + y^2 = 1\)。

公式与已知条件

格林定理：\[\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA\]

解题入口

对每个闭合曲线 C，将线积分转化为区域 R 上的二重积分，计算旋度 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) 后在 R 上积分。

完成后检查

确认曲线方向为正向（逆时针）
检查偏导数计算是否正确
验证积分区域的边界与题设一致

来源说明：原 PDF 仅给出教材题号（4D/1abc, 2, 3, 4, 5），题面未包含在资料中。此处依据课程阶段（第 24 讲格林定理）与 topics 设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

题目 A2 第 25 讲 —— 通量与格林定理的法向形式 通量（flux） · 格林定理的法向形式（normal form of Green's theorem） · 线积分（line integrals）

站内等价练习可离线作答

本题为站内等价练习，对应教材中利用格林定理法向形式计算通量的基本训练。

设 \(\mathbf{F} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}\)，C 为逆时针方向的单位圆。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
设 \(\mathbf{F} = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}\)，C 为逆时针方向的单位圆。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
设 \(\mathbf{F} = x^2\mathbf{i} + y^2\mathbf{j}\)，C 为逆时针方向、半径为 2 的圆。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
设 \(\mathbf{F} = xy\mathbf{i} + \mathbf{j}\)，C 为顶点 \((0,0)\)、\((1,0)\)、\((0,1)\) 的三角形边界（逆时针）。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
设 \(\mathbf{F} = e^x\mathbf{i} + y\mathbf{j}\)，C 为矩形 \([0,1] \times [0,1]\) 的边界（逆时针）。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
设 \(\mathbf{F} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}\)，C 为逆时针方向的椭圆 \(x^2/4 + y^2 = 1\)。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
设 \(\mathbf{F} = y\mathbf{i} + x\mathbf{j}\)，C 为逆时针方向的椭圆 \(x^2/4 + y^2 = 1\)。计算通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。

公式与已知条件

通量形式（flux form）：\[\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_R \operatorname{div}\mathbf{F}\,dA\]
散度（divergence）：\(\operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)，其中 \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}\)

解题入口

对每个向量场 F，计算其散度 \(\operatorname{div}\mathbf{F}\)，再利用通量形式的格林定理将线积分转化为区域 R 上的二重积分。

完成后检查

确认曲线方向为逆时针（正向）
验证散度计算是否正确
通量结果应与直接参数化计算一致

来源说明：原 PDF 仅给出教材题号（4E/1ac, 2, 3, 4, 5; 4F/3, 4），题面未包含在资料中。此处依据课程阶段（第 25 讲通量与法向形式）与 topics 设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

题目 A3 第 26 讲 —— 单连通区域与复习 单连通区域（simply-connected regions） · 复习（review）

站内等价练习可离线作答

本题为站内等价练习，对应单连通区域概念的理解与应用复习。

给出单连通区域（simply-connected region）的定义，并举例说明一个单连通区域和一个非单连通区域。
设向量场 \(\mathbf{F} = \left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\mathbf{j}\)。说明 F 在原点以外的平面上满足 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\)，但为何在去掉原点的平面（非单连通）上不是保守场？
利用格林定理说明：在单连通区域上，若 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\)，则向量场 \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}\) 是保守场。

公式与已知条件

单连通区域：平面区域 D 内任意简单闭合曲线可在 D 内连续缩为一点
保守场与旋度：若 \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}\) 在单连通区域上成立，则 \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}\) 为保守场

解题入口

回顾单连通区域的定义，结合格林定理分析向量场在单连通与非单连通区域上的性质差异。

完成后检查

确认单连通区域定义中的关键条件（无洞）
验证所举例子是否符合定义

来源说明：原 PDF 仅标注阅读材料（Notes V5）、未给出具体习题。此处依据课程阶段（第 26 讲单连通区域）与 topics 设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

题目 A4 第 27 讲 —— 考试 3（覆盖第 18–26 讲） 考试（exam） · 复习（review）

站内等价练习可离线作答

本题为站内等价练习，对应考试 3 范围内的综合复习。

综合复习题：设 C 为逆时针方向的单位圆，\(\mathbf{F} = (x^2-y^2)\mathbf{i} + 2xy\mathbf{j}\)。分别用直接计算和格林定理求 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 与通量 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。
综合复习题：利用线积分求由 \(y = x^2\) 与 \(y = x\) 所围区域的面积。
综合复习题：设 \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}\) 在单连通区域 D 上满足 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = x+y\)。求 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) 的最大值，其中 C 为 D 内正向简单闭合曲线。

公式与已知条件

格林定理：\[\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA\]
通量形式：\[\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_R \operatorname{div}\mathbf{F}\,dA\]
面积公式：\[\operatorname{Area}(R) = \oint_C x\,dy = \oint_C -y\,dx\]

解题入口

综合运用格林定理的环量形式与通量形式，结合线积分与面积公式求解。

完成后检查

确认曲线方向与公式匹配
验证直接计算与定理计算结果一致

来源说明：原 PDF 仅标注考试 3 覆盖第 18–26 讲、未给出具体习题。此处依据考试范围与 topics 设计的站内等价综合复习练习，非 MIT 官方原题。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

题目 1 利用线积分求面积与摆线 格林定理（Green's theorem） · 线积分（line integrals） · 面积（area） · 摆线（cycloid） · 参数曲线（parametric curves）

官方题面翻译可离线作答

本题分为两部分，第一部分推导利用线积分计算面积的公式，第二部分将其应用于计算摆线一拱与 x 轴之间的面积。

a) 设 C 为正向简单闭合曲线，围成区域 R。证明：\(\operatorname{Area}(R) = \oint_C x\,dy = \oint_C -y\,dx\)。
b) 利用上述结果计算摆线 \(x = a(t - \sin t)\)，\(y = a(1 - \cos t)\) 一拱与 x 轴之间的区域面积。（提示：使用第二个线积分 \(\oint_C -y\,dx\) 计算更为简便。）

公式与已知条件

面积公式：\[\operatorname{Area}(R) = \oint_C x\,dy = \oint_C -y\,dx\]
摆线参数方程：\(x = a(t - \sin t)\)，\(y = a(1 - \cos t)\)，一拱对应 \(t \in [0, 2\pi]\)
\(dx = a(1 - \cos t)\,dt\)，\(dy = a\sin t\,dt\)

解题入口

对第 (a) 问，选择合适的 P、Q 使得 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1\)，利用格林定理即得。对第 (b) 问，将摆线参数化后代入 \(\oint_C -y\,dx\) 计算。

完成后检查

面积结果应为正值
两个线积分公式应给出相同结果

来源说明：题面由原始资料中的官方题面翻译而来。

来源：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

题目 2 利用格林定理最大化线积分 格林定理（Green's theorem） · 线积分（line integrals） · 优化（optimization） · 二重积分（double integrals）

官方题面翻译可离线作答

本题分为两部分，第一部分寻找使给定线积分取最大正值的正向简单闭合曲线，第二部分计算该最大值。

a) 对于怎样的正向简单闭合曲线 C，线积分 \(\oint_C (x^2y + y^3 - y)\,dx + (3x + 2y^2x + e^y)\,dy\) 取得最大的正数值？（使用格林定理。）
b) 求出该最大值。

公式与已知条件

线积分：\[\oint_C (x^2y + y^3 - y)\,dx + (3x + 2y^2x + e^y)\,dy\]
格林定理：\[\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA\]
旋度（被积函数）：\[\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3 + 2y^2 - (x^2 + 3y^2 - 1) = 4 - x^2 - 2y^2\]

解题入口

利用格林定理将线积分转化为区域 R 上的二重积分，分析被积函数（旋度）的符号以确定使积分最大的区域。

完成后检查

最优边界应位于旋度被积函数变号处
最大值应为旋度正值部分在相应区域上的积分

来源说明：题面由原始资料中的官方题面翻译而来。

来源：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

题目 3 向量场穿过单位圆的通量 通量（flux） · 线积分（line integrals） · 格林定理（Green's theorem） · 向量场（vector fields）

官方题面翻译可离线作答

本题分为三部分，研究向量场 \(\mathbf{F} = xy\mathbf{i} + y^2\mathbf{j}\) 穿过逆时针方向单位圆的通量。

a) 设 C 为逆时针方向的单位圆，向量场 \(\mathbf{F} = xy\mathbf{i} + y^2\mathbf{j}\)。问 C 的哪些部分对通量贡献为正？哪些部分贡献为负？
b) 通过直接计算（求线积分）求 F 穿过 C 的通量，并结合 (a) 的结果进行解释。
c) 利用格林定理求 F 穿过 C 的通量。

公式与已知条件

向量场：\(\mathbf{F} = xy\mathbf{i} + y^2\mathbf{j}\)
曲线 C：逆时针方向的单位圆，参数方程为 \(x = \cos t\)，\(y = \sin t\)，\(t \in [0, 2\pi]\)
通量定义：\(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)
通量形式格林定理：\[\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_R \operatorname{div}\mathbf{F}\,dA\]
散度：\(\operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial y} = y + 2y = 3y\)

解题入口

对通量，使用 \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds\)。直接计算时，将 C 参数化为 \((\cos t, \sin t)\) 后代入；利用格林定理时，使用法向形式转化为 \(\iint_R \operatorname{div}\mathbf{F}\,dA\)。

完成后检查

直接计算与格林定理结果应一致
正负通量部分应与 \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\) 的符号对应

来源说明：题面由原始资料中的官方题面翻译而来。

来源：study_materials/898e4125ad5b478789b2ff6c5072b543_ps9.pdf · 1

来源与改编说明

来源说明：A 部分题目（4D/1abc, 2, 3, 4, 5; 4E/1ac, 2, 3, 4, 5; 4F/3, 4）的题面位于课程教材中，未包含在 PDF 资料内。站内已依据课程阶段与 topics 设计等价练习，非 MIT 官方原题。

一手资料

study_materials/ps9.pdf — Problem Set 9 题面
study_materials/lim_itratd_intgr.pdf — 迭代积分极限笔记
官方课程主页：MIT OCW 18.02

Problem Set 9: Green's Theorem, Flux, and Geometric Applications（格林定理、通量与几何应用）

目标

核心知识要点

格林定理的两种形式

通量与散度

线积分求面积

格林定理的优化应用

单连通区域与保守场

覆盖范围

典型题型与解题策略

线积分转二重积分

区分通量与环量公式

参数化注意方向与范围

常见错误

知识检查

完整题目清单

作答说明

覆盖范围

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

来源与改编说明

一手资料