Exam 2: Partial Derivatives

目标

本次测验检验第二单元的核心能力：从偏导数到梯度的完整图像、约束优化（Lagrange 乘子）、非独立变量的偏导数，以及用微分语言统一处理链式法则。Auroux 在第 15 讲复习中给出测验范围清单（least squares 不在考纲内）。

核心思想：第二单元的主线是"变化率"：偏导数 → 梯度 → 方向导数 → 链式法则。Lagrange 乘子处理的是"有约束的变化率"，非独立变量处理的是"变量不自由时的变化率"。看到题目先问：谁是自变量？谁在变？谁被固定？——答对这两个问题，成功一半。

覆盖范围

Auroux 在第 15 讲（2007-10-12）明确列出测验主题：

主题	讲次	Practice 2A/2B 对应	关键工具
偏导数、梯度、切平面	Lec 8, 9, 12	2A P1, P3；2B P1	\( \nabla f \)，\( D_{\hat{u}}f=\nabla f\cdot\hat{u} \)，切平面 \( \nabla F\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0 \)
极值与二阶检验	Lec 9, 10	2A P4；2B P3	临界点 \( f_x=f_y=0 \)，\( D=AC-B^2 \)
闭区域边界检查	Lec 10	2A P4d；2B P3b	内部临界点 vs 边界 vs 无穷远
微分与链式法则	Lec 11	2A P6；2B P4	\( df=f_x dx+\cdots \)，树状展开，不能"约分"
Lagrange 乘子	Lec 13	2A P4, P5；2B P5	\( \nabla f=\lambda\nabla g \)，几何相切解释
非独立变量	Lec 14	2A P7；2B P6	\( (\partial z/\partial x)_y=-g_x/g_z \)，记号消歧
偏微分方程 (PDE)	Lec 15	—	热方程 \( \partial f/\partial t=k\nabla^2 f \)（概念了解）

注意：Auroux 明确说最小二乘 (least squares) 不在这次测验范围内。复习时不要在 least squares 上花过多时间。

核心知识要点

第二单元知识地图

Lec 8

偏导数 \( f_x, f_y \)

↓

变化率

Lec 9

切平面 + 极值

↓

几何近似

Lec 10

二阶检验 \( D \)

↓

分类临界点

Lec 11

微分 + 链式法则

↓

复合函数

Lec 12

梯度 + 方向导数

↓

最速变化

Lec 13–14

Lagrange + 非独立变量

↓

约束问题

1. 梯度与方向导数（必考）

\( \nabla f=\langle f_x,f_y,f_z\rangle \)。方向导数 \( D_{\hat{u}}f=\nabla f\cdot\hat{u}=|\nabla f|\cos\theta \)。最速上升 = \( \nabla f \) 方向；最速下降 = \( -\nabla f \) 方向；沿等值线方向导数为零。

Practice 2B 还考过在等高线图上标注某段等值线满足 \( \partial f/\partial y>0 \)——要能从图的几何读取偏导数符号。

2. 极值与边界检查（必考）

三步：(1) 解 \( f_x=f_y=0 \) 找内部临界点；(2) 用 \( D=AC-B^2 \) 分类；(3) 检查边界和无穷远。Practice 2A Problem 4 的盒子体积题是经典：内部临界点给出局部极大，但要论证它是全局最大，必须说明边界 \( x=0 \) 或 \( y=0 \) 上 \( f=0 \)，且无穷远处 \( f\to-\infty \)。

3. Lagrange 乘子（必考）

\( \nabla f=\lambda\nabla g \) 加上约束 \( g=c \)。常用技巧：分量相除消 \( \lambda \)。Practice 2A Problem 5 的体积题：\( yz=2\lambda x,\;xz=2\lambda y,\;xy=\lambda \) 相除得 \( x^2=y^2 \)。

4. 链式法则与微分

画依赖树，沿所有路径展开。Practice 2A Problem 6：\( w=f(u,v),\;u=xy,\;v=x/y \) → \( \partial w/\partial x=y\,f_u+\frac1y f_v \)。

5. 非独立变量

取全微分，固定指定变量，消去不需要的微分。Practice 2A Problem 7：\( x^2y+xz^2=5 \)，固定 \( y \) 对 \( z \) 求导，用链式法则得 \( (\partial w/\partial z)_y=-6x^3yz/(2xy+z^2) \)，在 \( (1,1,2) \) 处值为 \( -2 \)。

6. 偏微分方程（概念）

Auroux 以热方程 \( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}=k\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\Bigr) \) 说明 PDE 的重要性。测验可能只要求辨认或解释，不要求求解。

典型题型与解题策略

梯度 + 方向导数 + 切平面

代表：2A P1, P3；2B P1。

策略：梯度 → 点积得方向导数；曲面 \( F=c \) 的法向量 = \( \nabla F \)。方向向量必须单位化。

约束优化（Lagrange 或代入）

代表：2A P4, P5；2B P5。

策略：代入法先尝试（简单约束）；复杂约束用 Lagrange。解出候选点后判类型、检查边界。

链式法则 + 非独立变量

代表：2A P6, P7；2B P4, P6。

策略：链式法则画树；非独立变量取全微分。绝不分式约分偏导数符号。

极值综合题

代表：2B P3（找临界点、分类、第一象限最大值）。

策略：先无条件找临界点，再用二阶检验，最后检查边界。

常见错误

方向导数未单位化：\( D_{\hat{u}}f=\nabla f\cdot\hat{u} \) 要求 \( |\hat{u}|=1 \)。题目给普通向量时先除模长。

Lagrange 漏约束方程：只列 \( \nabla f=\lambda\nabla g \) 三个方程解不出四个未知数，必须加上 \( g=c \)。

链式法则"约分"：\( \partial f/\partial u\neq\partial f/\partial x \)。偏导数符号是整体记号，不能消去。

极值题忘记检查边界：闭区域上的绝对极值，边界可能是答案所在。Auroux 反复强调这一点。

非独立变量记号不写固定变量：\( (\partial z/\partial x)_y \) 的下标不能省，否则含义不明。

知识检查

问题 1：Practice 2A Problem 4c 中，临界点 \( (1/2,1/2) \) 处 \( f_{xx}=-3/2,\;f_{yy}=-3/2,\;f_{xy}=-1/2 \)，则该点是：

问题 2：Practice 2A Problem 5 中，体积 \( V=xyz \) 在 \( x^2+y^2+z=1 \) 下的最大值点是：

问题 3：Practice 2A Problem 7 中，\( x^2y+xz^2=5,\;w=x^3y \)，则 \( (\partial w/\partial z)_y \) 在 \( (1,1,2) \) 处的值为：

问题 4：下列哪个主题被 Auroux 明确排除在 Exam 2 之外？

完整题目清单

共 13 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

练习考试 2 A：第 1–7 题，分值已标注。
练习考试 2 B：第 1–6 题，分值已标注。
写出完整解答过程；答案在合理情况下应化简。

覆盖范围

梯度与方向导数
切平面
临界点与优化
拉格朗日乘数法
链式法则
隐函数求导

题目 2A-1 梯度与线性近似 梯度 · 线性近似

官方题面翻译可离线作答

设 \(f(x,y) = xy - x^4\)。

a) 求 \(f\) 在点 \(P(1,1)\) 处的梯度。
b) 给出一个近似公式，说明在点 \((x,y) = (1,1)\) 处，小的改变量 \(\Delta x\) 与 \(\Delta y\) 如何引起 \(w = f(x,y)\) 的微小改变量 \(\Delta w\)。

公式与已知条件

\(\nabla f = \langle y - 4x^3, x \rangle\)
\(\Delta w \approx \nabla f \cdot \langle \Delta x, \Delta y \rangle\)

解题入口

计算偏导数，利用 \(\Delta w \approx f_x \Delta x + f_y \Delta y\)。

完成后检查

核对梯度分量与近似公式。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2A-2 根据地形图求方向导数 方向导数 · 偏导数 · 等高线图

依据本地资料重建可离线作答

设高度函数 \(h(x,y)\)（单位：英尺）在正方形区域 \(0 \le x \le 1000,\ 0 \le y \le 1000\) 上给出。等高线为水平曲线 \(h = \text{常数}\)，相邻等高线高度差为 100 英尺。已知等高线 \(h = 1900\) 经过点 \((200, 500)\)，\(h = 2000\) 经过点 \((500, 500)\)，\(h = 2100\) 经过点 \((800, 500)\)；在直线 \(x = 500\) 上，\(h(500,200) = 1900\)，\(h(500,500) = 2000\)，\(h(500,800) = 2100\)。点 \(P\) 位于 \((500, 500)\)。

a) 估计在点 \(P\) 处，沿单位向量 \(\hat{u}\) 的方向导数 \(dh/ds_{\hat{u}}\) 的值（精确到 0.1），其中 \(\hat{u}\) 为 \(\hat{i} + \hat{j}\) 方向的单位向量。
b) 在区域中标出一点 \(Q\)，使得 \(h = 2200\)，\(\partial h/\partial x = 0\) 且 \(\partial h/\partial y < 0\)。估计该点处 \(\partial h/\partial y\) 的值（精确到 0.1）。

公式与已知条件

相邻等高线高度差：100 英尺
在 \(P(500,500)\) 附近：沿 \(+x\) 方向，水平距离 300 英尺对应高度升高 100 英尺
在 \(P(500,500)\) 附近：沿 \(+y\) 方向，水平距离 300 英尺对应高度升高 100 英尺
\(\hat{u} = \langle 1/\sqrt{2},\ 1/\sqrt{2} \rangle\)

解题入口

测量相邻等高线之间的水平距离，用高度差除以水平距离估计偏导数。

完成后检查

核对由图上测量得到的估计值。

原题所附地形图未完整再现；已依据本地解答与上下文重建自包含的等高线数据与点坐标，题目条件完整，可独立完成。

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题目 2A-3 曲面的切平面 切平面 · 梯度

官方题面翻译可离线作答

求曲面 \(x^3y + z^2 = 3\) 在点 \((-1, 1, 2)\) 处的切平面方程。

求切平面方程。

公式与已知条件

曲面方程：\(x^3y + z^2 = 3\)
该曲面可写作 \(f(x,y,z) = x^3y + z^2\) 的等值面 \(f = 3\)
\(\nabla f = \langle 3x^2y,\ x^3,\ 2z \rangle\)

解题入口

以梯度作为法向量，利用点法式写出切平面。

完成后检查

核对法向量分量与平面方程。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2A-4 抛物面约束下的长方体体积 优化 · 临界点 · 二阶导数检验

官方题面翻译可离线作答

在第一卦限（\(x \ge 0,\ y \ge 0,\ z \ge 0\)）中放置一个长方体，其一个顶点位于原点，三个相邻面位于坐标平面上。对角顶点 \(P(x,y,z)\) 被约束在抛物面 \(x^2 + y^2 + z = 1\) 上。

a) 证明该问题可归结为求 \(f(x,y) = xy - x^3y - xy^3\) 的最大值，并写出 \(f\) 的临界点所满足的方程。
b) 求 \(f\) 在第一象限（\(x > 0,\ y > 0\)）内的一个临界点。
c) 利用二阶导数检验法判断该临界点的类型。
d) 求 \(f\) 在第一象限上的最大值（需给出论证）。

公式与已知条件

长方体体积 \(V = xyz\)
约束条件：\(x^2 + y^2 + z = 1\)
代入后：\(V = xy(1 - x^2 - y^2) = xy - x^3y - xy^3\)

解题入口

将约束代入体积公式，再对二元函数使用临界点与二阶导数检验。

完成后检查

核对临界点坐标与二阶导数判别式。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2A-5 用拉格朗日乘数法求长方体体积 拉格朗日乘数法

官方题面翻译可离线作答

在第 4 题中，也可以不消去 \(z\)，而是用拉格朗日乘数法在同样的约束 \(x^2 + y^2 + z = 1\) 下最大化体积 \(V = xyz\)。

a) 写出该问题的拉格朗日乘数方程。
b) 在 \(x > 0,\ y > 0\) 的条件下求解方程组。

公式与已知条件

目标函数：\(f(x,y,z) = xyz\)
约束条件：\(g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z = 1\)
拉格朗日条件：\(\nabla f = \lambda \nabla g\)

解题入口

列出 \(\nabla f = \lambda \nabla g\) 与约束方程，联立求解。

完成后检查

核对解是否满足约束条件。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2A-6 偏导数的链式法则 链式法则

官方题面翻译可离线作答

设 \(w = f(u,v)\)，其中 \(u = xy\)，\(v = x/y\)。利用链式法则，将 \(\partial w/\partial x\) 与 \(\partial w/\partial y\) 用 \(x,\ y,\ f_u,\ f_v\) 表示。

表示 \(\partial w/\partial x\) 与 \(\partial w/\partial y\)。

公式与已知条件

\(u = xy,\ v = x/y\)
\(\partial u/\partial x = y,\ \partial u/\partial y = x\)
\(\partial v/\partial x = 1/y,\ \partial v/\partial y = -x/y^2\)

解题入口

应用多元链式法则，分别对中间变量求偏导再相加。

完成后检查

核对各中间变量的偏导数。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2A-7 链式法则与隐函数求导 链式法则 · 隐函数求导

官方题面翻译可离线作答

设 \(x^2y + xz^2 = 5\)，且 \(w = x^3y\)。将 \(\partial w/\partial z|_y\) 表示为 \(x, y, z\) 的函数，并在 \((x,y,z) = (1,1,2)\) 处求其数值。

表示 \(\partial w/\partial z|_y\)，并在 \((1,1,2)\) 处求值。

公式与已知条件

约束方程：\(x^2y + xz^2 = 5\)
\(w = x^3y\)
在 \(y\) 固定时，对约束方程两边关于 \(z\) 求导

解题入口

先用隐函数求导求 \(\partial x/\partial z|_y\)，再代入链式法则。

完成后检查

核对隐函数求导时代入 \(y\) 固定的条件。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2B-1 梯度、切平面、线性近似与方向导数 梯度 · 切平面 · 线性近似 · 方向导数

官方题面翻译可离线作答

设 \(f(x,y) = x^2y^2 - x\)。

a) (5) 求 \(\nabla f\) 在点 \((2,1)\) 处的值。
b) (5) 写出 \(f\) 的图像在点 \((2,1,2)\) 处的切平面方程。
c) (5) 利用线性近似求 \(f(1.9,\ 1.1)\) 的近似值。
d) (5) 求 \(f\) 在点 \((2,1)\) 处沿 \(-\hat{i} + \hat{j}\) 方向的方向导数。

公式与已知条件

\(\nabla f = \langle 2xy^2 - 1,\ 2x^2y \rangle\)
切平面：\(z - z_0 = f_x(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0)\)

解题入口

分别计算偏导数，再代入各部分所需公式。

完成后检查

核对梯度、切平面、近似值与方向导数。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2B-2 在等高线图上标记曲线段 等高线图 · 偏导数

依据本地资料重建可离线作答

设函数 \(f(x,y)\) 在区域 \(0 \le x \le 10,\ 0 \le y \le 10\) 上给出。已知其等高线图中等高线 \(f = 2000\) 是一条闭合曲线，经过点 \((2,5)\)、\((5,8)\)、\((8,5)\)、\((5,2)\)。在弧段从 \((2,5)\) 经 \((5,8)\) 到 \((8,5)\) 上，\(f = 2000\) 外侧相邻等高线为 \(f = 2100\)，内侧为 \(f = 1900\)，且沿 \(+y\) 方向函数值递增；在弧段从 \((8,5)\) 经 \((5,2)\) 到 \((2,5)\) 上，沿 \(+y\) 方向函数值递减。

在 \(f = 2000\) 的等高线上，标记出满足 \(\partial f/\partial y \ge 0\) 的部分。

公式与已知条件

等高线 \(f = 2000\) 经过 \((2,5), (5,8), (8,5), (5,2)\)
在 \((2,5)\to(5,8)\to(8,5)\) 弧段：沿 \(+y\) 方向函数递增
在 \((8,5)\to(5,2)\to(2,5)\) 弧段：沿 \(+y\) 方向函数递减

解题入口

判断函数在 \(+y\) 方向上的增减性，以确定 \(\partial f/\partial y\) 的符号。

完成后检查

核对所标记的弧段与函数沿 \(+y\) 方向的变化一致。

原题所附等高线图未完整再现；已依据本地解答与上下文重建自包含的等高线点坐标与方向信息，题目条件完整，可独立完成。

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题目 2B-3 临界点与第一象限上的最大值 临界点 · 优化 · 二阶导数检验

官方题面翻译可离线作答

a) (10) 求函数 \(w = -3x^2 - 4xy - y^2 - 12y + 16x\) 的临界点，并判断每个临界点的类型。

b) (10) 在第一象限 \(x \ge 0,\ y \ge 0\) 上求使 \(w\) 取得最大值的点，并给出论证。

公式与已知条件

\(w_x = -6x - 4y + 16\)
\(w_y = -4x - 2y - 12\)
二阶偏导数：\(w_{xx} = -6,\ w_{yy} = -2,\ w_{xy} = -4\)

解题入口

令梯度为零求临界点，用二阶导数检验判断类型；再检查边界。

完成后检查

核对临界点类型与边界上的最大值。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2B-4 变量变换下的链式法则 链式法则 · 齐次函数

官方题面翻译可离线作答

设 \(u = y/x\)，\(v = x^2 + y^2\)，\(w = w(u,v)\)。

a) (10) 将偏导数 \(w_x\) 与 \(w_y\) 用 \(w_u,\ w_v\) 及 \(x, y\) 表示。
b) (7) 将 \(xw_x + yw_y\) 用 \(w_u,\ w_v\) 表示，并将系数写成 \(u, v\) 的函数。
c) (3) 当 \(w = v^5\) 时，求 \(xw_x + yw_y\) 的值。

公式与已知条件

\(u = y/x,\ v = x^2 + y^2\)
\(\partial u/\partial x = -y/x^2,\ \partial u/\partial y = 1/x\)
\(\partial v/\partial x = 2x,\ \partial v/\partial y = 2y\)

解题入口

应用链式法则，再化简 \(xw_x + yw_y\)。

完成后检查

核对各偏导数表达式。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2B-5 拉格朗日乘数法与切平面 拉格朗日乘数法 · 切平面

官方题面翻译可离线作答

a) (10) 对于曲面 \(x^4 + y^4 + z^4 + xy + yz + zx = 6\)，写出求使 \(x\) 取得最大值的点所需的拉格朗日乘数方程。（不必求解。）

b) (5) 已知 \(x\) 在点 \((x_0, y_0, z_0)\) 处取得最大值，求该曲面在该点处的切平面方程。

公式与已知条件

目标函数：\(f(x,y,z) = x\)
约束条件：\(g(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 + xy + yz + zx = 6\)
\(\nabla f = \lambda \nabla g\)

解题入口

列出拉格朗日方程；切平面以梯度为法向量。

完成后检查

核对切平面方程的形式。

题面完整，已翻译为中文。

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题目 2B-6 全微分与隐函数求导 全微分 · 隐函数求导

官方题面翻译可离线作答

设 \(x^2 + y^3 - z^4 = 1\) 且 \(z^3 + zx + xy = 3\)。

a) (8) 对上述两个方程分别取全微分。
b) (7) 这两个曲面在 (a) 中的交线构成一条曲线，在该曲线上 \(y\) 是 \(x\) 的函数。求在点 \((x,y,z) = (1,1,1)\) 处的 \(dy/dx\)。

公式与已知条件

方程 1：\(x^2 + y^3 - z^4 = 1\)
方程 2：\(z^3 + zx + xy = 3\)
点 \((1,1,1)\) 满足两个方程

解题入口

对两式取全微分，联立消去 \(dz\) 后求 \(dy/dx\)。

完成后检查

核对全微分系数与所求导数值。

题面完整，已翻译为中文。

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来源与改编说明

2A-2：原题所附地形图未完整再现；已依据本地资料重建自包含的等高线数据与点坐标。
2B-2：原题所附等高线图未完整再现；已依据本地资料重建自包含的等高线点坐标与方向信息。

一手资料

study_materials/prac2a.pdf — Practice Exam 2A（含梯度、地形图、切平面、盒子体积、Lagrange、链式法则、非独立变量）
study_materials/prac2asol.pdf — Practice Exam 2A 解答
study_materials/prac2b.pdf — Practice Exam 2B（含梯度、等高线、临界点、链式法则、Lagrange、交线求导）
study_materials/prac2bsol.pdf — Practice Exam 2B 解答
study_materials/non_ind_variable.pdf — 非独立变量笔记
study_materials/part_diff_eqn.pdf — 偏微分方程笔记
官方课程主页：MIT OCW 18.02

Exam 2: Partial Derivatives (偏导数测验)

目标

覆盖范围

核心知识要点

第二单元知识地图

1. 梯度与方向导数（必考）

2. 极值与边界检查（必考）

3. Lagrange 乘子（必考）

4. 链式法则与微分

5. 非独立变量

6. 偏微分方程（概念）

典型题型与解题策略

梯度 + 方向导数 + 切平面

约束优化（Lagrange 或代入）

链式法则 + 非独立变量

极值综合题

常见错误

知识检查

完整题目清单

作答说明

覆盖范围

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

来源与改编说明

一手资料