把二重积分写成 \(\iint_R f(x,y) \, dA = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx\)（或相反次序），关键是先画区域、再用不等式写出上下限。
变换 \(x=r \cos \theta,\ y=r \sin \theta\) 把被积函数与区域用 \(r,\theta\) 表示，面积元变为 \(dA=r \, dr \, d\theta\)。圆、圆环、心脏线等区域在极坐标下往往更简洁。
通过变量代换 \(u=u(x,y),\ v=v(x,y)\) 把复杂区域化为简单区域，面积元满足 \(dA = \lvert \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \rvert \, du \, dv\)。线性换元把椭圆映为单位圆。
面积、体积、质心、转动惯量、平均距离等都化为二重积分；平行轴定理把绕任意平行轴的转动惯量与质心转动惯量联系起来。
关于坐标轴对称的区域上，奇函数在该轴方向上的积分为零，可用于快速判断体积为零（如心脏线上 \(z=y\) 的体积）或简化质心计算。
画草图、标交点、写不等式，再决定用直角坐标、极坐标还是换元。涉及圆、圆弧、极坐标曲线时优先考虑极坐标。
形如 \(\frac{e^{-x}-e^{-ax}}{x}\) 的被积函数可写成 \(\int_1^a e^{-xy} \, dy\) 后化为二重积分并交换次序；椭圆区域用线性换元化为单位圆。
遇到绝对值、分段表达式或奇函数，先借助对称性化简；圆内接三角形面积问题通常把区域拆成 \(\theta_2-\theta_1 \le \pi\) 与 \(> \pi\) 两部分去掉绝对值。
极坐标面积元是 \(r \, dr \, d\theta\)，不是 \(dr \, d\theta\)。
换元时要取 \(\lvert\det J\rvert\)，忽略绝对值会导致面积或体积符号错误。
平行轴定理里的 \(\bar{x}\) 是质心横坐标，不是任一点的 \(x\)。
圆内接三角形面积期望要注意顶点顺序带来的绝对值，通常用对称性拆分区域。
累次积分换限前务必画图确认上下限。
问题 1：把二重积分 \(\iint_R (x^2+y^2) \, dA\) 写成极坐标下的累次积分，其中 \(R\) 是 \(1 \le r \le 2,\ 0 \le \theta \le \pi\) 所围区域。下列哪一项正确表达了极坐标下的被积函数（含面积元）？
问题 2：设变换为 \(u=x+2y,\ v=x-2y\)，区域 \(R\) 由 \(u=0,\ u=1,\ v=0,\ v=1\) 围成。把 \(\iint_R e^{x+2y} \, dA\) 用 \(u,v\) 表示时，雅可比因子 \(\lvert \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \rvert\) 的值是多少？
问题 3：半径为 \(a\)、密度均匀的圆盘关于其一条切线的转动惯量是多少？已知圆盘关于圆心垂直轴的转动惯量为 \(I_z=Ma^2/2\)。
共 26 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
设 \(R = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2\}\)。把二重积分 \(\iint_R x y^2 \, dA\) 分别写成两种次序的累次积分，并计算其值。
把 \(x\) 与 \(y\) 的积分依次进行即可；两种次序都应得到相同数值，用作验算。
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把下列累次积分交换积分次序（先画出积分区域，再写出新的上下限）：
先画区域，用不等式写出 \(x\)-\(y\)（或 \(r\)-\(\theta\)）的约束，再按另一方向重新定限。
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计算下列极坐标下的二重积分：
记住面积元多一个 \(r\)；(b) 的 \(r\) 积分是 \(\int_0^{\infty} r e^{-r^2} \, dr\)，用代换 \(u=r^2\)。
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求下列立体体积：
(b) 用极坐标，被积函数 \(4-r \cos \theta\)；(c) 区域是圆心在 \((0,1)\)、半径 \(1\) 的圆，高为常数，体积等于底面积乘以高。
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求下列立体体积：
(a) 注意 \(y\) 关于 \(x\) 轴对称，正负部分相消，体积为零；(b) 用面积公式或 \(\iint r \, dr \, d\theta\)；(c) 直接积 \(r^2\)。
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求由抛物线 \(y=x^2\) 与直线 \(y=x+2\) 所围成区域的面积。
先求两曲线交点，再把区域写成 \(-1 \le x \le 2,\ x^2 \le y \le x+2\)。
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计算下列极坐标下的二重积分：
(a)(d) 注意三角函数的对称区间；(c) 把 \(x+y\) 拆开分别积分。
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求下列面积或体积：
(b) 把公共部分拆成两个圆扇形分别求面积；(d) 用旋转体公式或二重积分。
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设 \(R\) 是半径为 \(a\)、密度均匀的半圆盘 \(x^2+y^2 \le a^2,\ y \ge 0\)。求：
(a) 由对称性 \(\bar{x}=0\)，只算 \(\bar{y}\)；(c) 用极坐标，\(x^2=r^2 \cos^2\theta\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3B/3ac，未提供完整题面。
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计算 \(\iint_R (x+y) \, dA\)，其中 \(R\) 是由 \(y=0,\ y=x,\ x=1\) 围成的三角形区域。
先对 \(y\) 积再对 \(x\) 积较直接。
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求立体体积：底为 \(x+y \le 1,\ x \ge 0,\ y \ge 0\) 围成的三角形，顶为平面 \(z=1-x-y\)。
体积等于 \(\iint_R (1-x-y) \, dA\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3C/2a，未提供完整题面。
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计算 \(\iint_R \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \, dA\)，其中 \(R\) 是圆环 \(1 \le r \le 2\) 在第一象限的部分。
被积函数化为 \(\sin \theta\)，面积元为 \(r \, dr \, d\theta\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3C/4，未提供完整题面。
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计算 \(\iint_R xy \, dA\)，其中 \(R\) 是圆 \(x^2+y^2 \le 1\) 在第一象限的部分。
把 \(xy\) 写成 \(r^2 \cos \theta \sin \theta\)，面积元 \(r \, dr \, d\theta\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 14.4/4，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1
求由抛物面 \(z=x^2+y^2\) 与球面 \(x^2+y^2+z^2=2\) 所围立体的体积。
先求两曲面交线定出投影区域，再用上曲面减下曲面。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 14.4/17，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1
求半径为 \(a\)、密度均匀的圆盘关于其一条切线的转动惯量。
用平行轴定理，距离 \(d=a\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 14.4/25，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1
求半径为 \(a\) 的半圆形薄板（\(x^2+y^2 \le a^2,\ y \ge 0\)）的质心坐标。
用极坐标，\(y=r \sin \theta\)，面积元 \(r \, dr \, d\theta\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 14.5/11，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1
设变换 \(T: u=x+2y,\ v=3x+4y\)。求雅可比行列式 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\)，并把 \(\iint_R (x+y) \, dA\) 用 \(u,v\) 表示，其中 \(R\) 是单位正方形 \(0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\)。
用雅可比把面积元变换：\(dA=\lvert\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\rvert \, du \, dv\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3D/1，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
把积分 \(\iint_R e^{x+2y} \, dA\) 用新变量 \(u=x+2y,\ v=x-2y\) 表示，其中 \(R\) 是由 \(x+2y=0,\ x+2y=1,\ x-2y=0,\ x-2y=1\) 围成的区域。
先解出 \(x,y\) 用 \(u,v\) 表示，再算雅可比。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3D/2，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
设变换为旋转 \(u=x \cos \alpha+y \sin \alpha,\ v=-x \sin \alpha+y \cos \alpha\)。证明 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1\)，并计算 \(\iint_R (x^2+y^2) \, dA\)，其中 \(R\) 是圆盘 \(u^2+v^2 \le a^2\)。
旋转保持长度不变，所以被积函数形式不变，区域仍是圆盘。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3D/3，未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
设 \(R\) 是由 \(y=x,\ y=2x,\ xy=1,\ xy=2\) 围成的区域。用换元 \(u=y/x,\ v=xy\)，按 \,du\,dv\, 次序计算 \(\iint_R (x^2+y^2) \, dA\)。
先解出 \(x,y\) 用 \(u,v\) 表示，再算雅可比 \(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\)。
站内等价练习：PDF 仅给出教材索引 3D/4（要求按 du dv 积分），未提供完整题面。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
计算广义积分 \(\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}-e^{-ax}}{x} \, dx\)，其中 \(a>0\)，步骤如下：
(a) 对 \(y\) 积分时把 \(x\) 看作常数；(b) 交换次序后先对 \(x\) 积分得到 \(1/y\)，再对 \(y\) 积分。
官方题面翻译：题目完整出现于 PDF Part B 第 1 题。
来源：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1
证明：半径为 \(a\) 的圆盘上各点到其圆心的平均距离为 \(2a/3\)。
用极坐标，被积函数 \(r \cdot r = r^2\)，先积 \(r\) 再积 \(\theta\)，最后除以圆盘面积。
官方题面翻译：题目完整出现于 PDF Part B 第 2 题。
来源：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1
一般地，绕轴（直线）\(L\) 的转动惯量为 \(I_L = \iint_R \operatorname{dist}(\cdot,L)^2 \delta \, dA\)。所有平行于 \(y\) 轴的直线形如 \(x=a\)。记 \(I=I_y\) 为绕 \(y\) 轴的通常转动惯量 \(I = \iint_R x^2 \delta \, dA\)。记 \(\bar{I}\) 为绕轴 \(x=\bar{x}\) 的转动惯量，其中 \((\bar{x}, \bar{y})\) 为质心。证明 \(I = \bar{I} + M \bar{x}^2\)。这就是平行轴定理。
把 \((x-\bar{x})^2\) 展开为 \(x^2-2x\bar{x}+\bar{x}^2\)，再利用质心定义消去交叉项。
官方题面翻译：题目完整出现于 PDF Part B 第 3 题。
来源：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 1-2
求单位圆内接三角形的平均面积。假设每个顶点等可能地出现在圆周上任意一点，且各顶点位置相互独立。 （参考：等边三角形面积最大，此时边长为 \(\sqrt{3}\)，面积为 \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)。最大值与平均值相比如何？） 提示：为把问题化为二重积分，把一个顶点固定在 \((1,0)\)，用另外两个顶点的极角 \(\theta_1, \theta_2\) 作为变量。积分区域是什么？
用三角恒等式化简被积函数，利用对称性把区域拆成 \(\theta_2-\theta_1 \le \pi\) 与 \(> \pi\) 两部分去掉绝对值。
官方题面翻译：题目完整出现于 PDF Part B 第 4 题。
来源：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
设 \(R\) 是由曲线 \(y=x^2,\ y=4x^2,\ x=y^2,\ x=2y^2\) 围成的平面区域。用换元 \(u=y/x^2,\ v=x/y^2\)，计算 \(\iint_R (x+y) \, dA\)。
先由 \(u,v\) 的关系式解出 \(x,y\) 用 \(u,v\) 表示，再算雅可比行列式。
站内等价练习：PDF 仅标注「Notes 3D/7」，未提供题目原文；本题为覆盖同一换元法主题的等价题，非 MIT 官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
求椭圆 \((2x+5y-3)^2+(3x-7y+8)^2<1\) 的面积。
把不等式写成 \(u^2+v^2<1\)，这是 \(uv\) 平面上的单位圆；面积 = 单位圆面积 \(\pi\) 乘以雅可比因子 \(1/29\)。
官方题面翻译：题目完整出现于 PDF Part B 第 6 题。
来源：study_materials/3f39207fe8df2ed1086b0fbfe08e632e_ps7.pdf · 2
study_materials/ps7.pdf — Problem Set 7 题面