Problem Set 6: Non-Independent Variables and Partial Differential Equations

目标

理解非独立变量下偏导数的记号 (∂w/∂x)_y 的含义，明确哪些变量被保持不变
能够应用链式法则进行变量变换，理解雅可比行列式的计算
掌握隐函数求导与循环关系（如热力学中的三变量循环乘积为 −1）
能够验证给定函数是否满足波动方程、热方程或拉普拉斯方程
掌握分离变量法求解一维热方程
理解恰当微分方程的判定条件并求原函数

核心知识要点

偏导数下标的含义

(∂w/∂x)_y 表示保持 y 不变时 w 对 x 的变化率，与全导数 dw/dx 不同。当变量之间存在约束时，必须明确哪些变量被保持不变。

隐函数求导与循环关系

状态方程 f(P,V,T)=0 联系三个变量，循环关系 (∂P/∂V)_T (∂V/∂T)_P (∂T/∂P)_V = −1 恒成立。这是隐函数求导的直接推论。

链式法则与变量变换

极坐标下拉普拉斯算子 ∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² = ∂²w/∂r² + (1/r)∂w/∂r + (1/r²)∂²w/∂θ²。这是链式法则在坐标变换中的典型应用。

恰当微分方程

ω = M dx + N dy 恰当当且仅当 ∂M/∂y = ∂N/∂x。此时存在原函数 F 使得 dF = ω，可通过线积分或逐次积分求得。

分离变量法

设 u(x,t) = X(x)T(t)，将热方程 ∂u/∂t = k ∂²u/∂x² 分解为两个常微分方程：X'' + λX = 0 和 T' + λkT = 0。结合边界条件确定本征值 λ。

覆盖范围

非独立变量的偏导数记号与含义
约束条件下偏导数的计算
链式法则与变量变换
雅可比行列式的计算
热力学循环关系
全微分与恰当性判定
波动方程的验证与达朗贝尔公式
热方程的分离变量法
拉普拉斯方程与共轭调和函数
泊松方程的特解

典型题型与解题策略

识别变量依赖关系

先识别题目中哪些变量是独立的、哪些受约束，再选择求导方法。明确偏导数下标中哪些变量被保持不变。

PDE 的直接验证

对 PDE 验证题，直接计算二阶偏导数并代入方程检验。注意链式法则中的符号（如 ∂/∂t sin(x−ct) = −c cos(x−ct)）。

分离变量的标准步骤

设 u = XT，分离变量后得到两个常微分方程，结合齐次边界条件确定本征值和本征函数，再写出通解。

常见错误

混淆 (∂w/∂x)_y 与全导数 dw/dx，忽略约束导致的变量依赖

链式法则中遗漏中间变量对自变量的偏导数项

验证 PDE 时二阶偏导数计算符号错误（特别注意链式法则中的负号）

分离变量时未正确处理边界条件导致本征值错误

隐函数求导时忘记负号或分母

知识检查

问题 1：设状态方程 f(P,V,T) = 0 联系压强 P、体积 V 和温度 T，则循环关系 (∂P/∂V)_T (∂V/∂T)_P (∂T/∂P)_V 等于下列哪一项？

问题 2：设 u(x,t) = sin(x−ct) + cos(x+ct)，则 ∂²u/∂t² 等于下列哪一项？

问题 3：微分形式 ω = (2xy + y²)dx + (x² + 2xy)dy 是否恰当（精确）？

完整题目清单

共 14 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

截止时间为 2007 年 10 月 18 日（周四）下午 12:45。
A 部分（8 分）：只提交带下划线的题目；其余题目仅供额外练习。
B 部分（8 分）：请先独立尝试解答每道题的各个小题。若与他人协作，仍须独立撰写解答。严禁查阅以往学期的资料。每道题旁标注了可开始作答的日期。请列出你咨询过的所有人员姓名、协作对象以及所使用的资源。

覆盖范围

非独立变量
偏微分方程，复习
需阅读讲义：N（第 0–5 页）、P

题目 2J.1 约束下的偏导数计算 非独立变量

站内等价练习可离线作答

设变量 \(x\)、\(y\) 满足约束条件 \(xy = 1\)，且 \(w = x^2 + y^2\)。将 \(w\) 表示为 \(x\) 的单变量函数，并求 \(\frac{dw}{dx}\)。

公式与已知条件

约束条件: \(xy = 1\)
\(w = x^2 + y^2\)

解题入口

利用约束 \(xy = 1\) 将 \(y\) 写成 \(x\) 的函数，代入 \(w\) 后求导。

完成后检查

确认已将 \(w\) 完全表示为单变量 \(x\) 的函数后再求导。

原资料仅提供教材题号，本题为依据课程阶段（非独立变量）设计的站内等价练习，非 MIT 官方原题。

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题目 2J.2 链式法则求偏导数 非独立变量

站内等价练习可离线作答

设 \(z = f(x, y)\)，其中 \(x = u + v\)，\(y = u - v\)。求 \(\frac{\partial z}{\partial u}\) 与 \(\frac{\partial z}{\partial v}\)，用 \(f\) 对 \(x\)、\(y\) 的偏导数表示。

公式与已知条件

\(x = u + v\)
\(y = u - v\)
\(z = f(x, y)\)

解题入口

应用链式法则，分别对 \(u\) 和 \(v\) 求偏导。

完成后检查

检查是否遗漏了 \(x\) 或 \(y\) 对 \(u\)、\(v\) 的偏导数项。

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题目 2J.3 隐函数与偏导数 非独立变量

站内等价练习可离线作答

设方程 \(F(x, y, z) = x^2z + yz^2 - 3 = 0\) 确定 \(z\) 为 \(x\)、\(y\) 的隐函数。

a) 求 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 与 \(\frac{\partial z}{\partial y}\)。
b) 验证 \(\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)_x = -1\)。

公式与已知条件

\(F(x, y, z) = x^2z + yz^2 - 3 = 0\)

解题入口

利用隐函数求导公式或对方程两边取全微分。

完成后检查

验证三个偏导数的乘积是否确实等于 \(-1\)。

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题目 2J.4 变量变换下的偏导数 非独立变量

站内等价练习可离线作答

设 \(w = f(x, y)\)，其中 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)。

a) 求 \(\left(\frac{\partial w}{\partial r}\right)_\theta\) 与 \(\left(\frac{\partial w}{\partial\theta}\right)_r\)，用 \(f\) 对 \(x\)、\(y\) 的偏导数表示。
b) 求 \(\frac{\partial^2 w}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 w}{\partial\theta^2}\)，用 \(f\) 对 \(x\)、\(y\) 的二阶偏导数表示。

公式与已知条件

\(x = r\cos\theta\)
\(y = r\sin\theta\)
\(w = f(x, y)\)

解题入口

应用链式法则将直角坐标偏导数转换为极坐标偏导数。

完成后检查

检查极坐标下的拉普拉斯算子形式是否正确。

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题目 2J.5 雅可比行列式 非独立变量

站内等价练习可离线作答

设变换由 \(x = u^2 - v^2\)，\(y = 2uv\) 给出。

a) 计算雅可比行列式 \(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\)，并求其逆 \(\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\)。

公式与已知条件

\(x = u^2 - v^2\)
\(y = 2uv\)

解题入口

计算二阶雅可比矩阵的行列式。

完成后检查

验证两个雅可比行列式的乘积是否为 \(1\)。

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题目 2J.6 热力学记号与偏导数 非独立变量

站内等价练习可离线作答

设状态方程 \(f(P, V, T) = 0\) 联系压强 \(P\)、体积 \(V\) 和温度 \(T\)。证明 \(\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V = -1\)。

公式与已知条件

状态方程: \(f(P, V, T) = 0\)

解题入口

利用隐函数求导和循环关系。

完成后检查

验证三个偏导数乘积的符号和数值。

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题目 2J.7 全微分与恰当性 非独立变量

站内等价练习可离线作答

验证微分形式 \(\omega = (2xy + y^2)\,dx + (x^2 + 2xy)\,dy\) 是否恰当（精确），若是，求其原函数 \(F(x, y)\)。

公式与已知条件

\(\omega = (2xy + y^2)\,dx + (x^2 + 2xy)\,dy\)

解题入口

检查 \(\frac{\partial M}{\partial y}\) 是否等于 \(\frac{\partial N}{\partial x}\) 以判断恰当性。

完成后检查

验证 \(\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}\)。

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题目 2K.1 验证偏微分方程的解 偏微分方程

站内等价练习可离线作答

验证函数 \(u(x, t) = \sin(x - ct) + \cos(x + ct)\) 满足波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)。

公式与已知条件

\(u(x, t) = \sin(x - ct) + \cos(x + ct)\)
波动方程: \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)

解题入口

分别计算 \(u\) 对 \(t\) 的二阶偏导数和对 \(x\) 的二阶偏导数，比较两者。

完成后检查

确认两个二阶偏导数之间确实相差因子 \(c^2\)。

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题目 2K.2 分离变量法 偏微分方程

站内等价练习可离线作答

用分离变量法求解一维热方程 \(\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)，边界条件 \(u(0, t) = u(L, t) = 0\)，初始条件 \(u(x, 0) = 3\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)。

公式与已知条件

热方程: \(\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
边界条件: \(u(0, t) = u(L, t) = 0\)
初始条件: \(u(x, 0) = 3\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)

解题入口

设 \(u(x, t) = X(x)T(t)\)，分离变量后求解。

完成后检查

验证解满足边界条件和初始条件。

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题目 2K.3 达朗贝尔公式 偏微分方程

站内等价练习可离线作答

用达朗贝尔公式求解一维波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)，初始条件 \(u(x, 0) = \varphi(x)\)，\(\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x)\)，其中 \(\varphi(x) = e^{-x^2}\)，\(\psi(x) = 0\)。

公式与已知条件

波动方程: \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
初始位移: \(\varphi(x) = e^{-x^2}\)
初始速度: \(\psi(x) = 0\)

解题入口

直接代入达朗贝尔公式 \(u(x, t) = [\varphi(x+ct) + \varphi(x-ct)]/2 + (1/2c)\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s)\,ds\)。

完成后检查

验证解满足初始条件。

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题目 2K.4 拉普拉斯方程与共轭调和函数 偏微分方程

站内等价练习可离线作答

验证 \(u(x, y) = e^x \cos y\) 满足拉普拉斯方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)，并求其共轭调和函数 \(v(x, y)\)。

公式与已知条件

\(u(x, y) = e^x \cos y\)
拉普拉斯方程: \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)

解题入口

验证拉普拉斯方程后，利用柯西–黎曼方程求 \(v\)。

完成后检查

验证 \(u\) 和 \(v\) 满足柯西–黎曼方程。

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题目 2K.5 泊松方程 偏微分方程

站内等价练习可离线作答

求泊松方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -4\) 在区域 \(x^2 + y^2 < 1\) 内满足边界条件 \(u = 0\) 的解。

公式与已知条件

泊松方程: \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -4\)
区域: \(x^2 + y^2 < 1\)
边界条件: \(u|_{\text{边界}} = 0\)

解题入口

尝试形如 \(u = A(1 - x^2 - y^2)\) 的特解。

完成后检查

验证解满足边界条件和泊松方程。

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题目 1 非独立变量的偏导数 非独立变量 · 偏导数

官方题面翻译可离线作答

设 \(g(x, y) = c\) 为常数，且 \(w = f(x, y, z)\)。下列各式中，哪些作为导数 \(\frac{\partial w}{\partial x}\) 是有意义的？（若有意义，请用形式偏导数 \(f_x\)、\(f_y\)、\(f_z\)、\(g_x\)、\(g_y\) 表示；若没有，请解释原因。）

i) \(\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_x\)
ii) \(\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_y\)
iii) \(\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_z\)

公式与已知条件

\(g(x, y) = c\)（常数）
\(w = f(x, y, z)\)

解题入口

考虑哪些变量被保持不变，以及在约束 \(g(x,y)=c\) 下该记号是否有定义。

完成后检查

检查每个记号中被保持不变的变量是否与约束条件 \(g(x,y)=c\) 冲突。
确认所求偏导数是否可以用 \(f_x\)、\(f_y\)、\(f_z\)、\(g_x\)、\(g_y\) 表示。

题面完整，为官方原题翻译。

来源：study_materials/dc99ea7a138836d3d5891a4350c2ffa3_ps6.pdf · 1

题目 2 偏导数与全微分 偏导数 · 全微分 · 非独立变量

官方题面翻译可离线作答

a) 设 \(t = \sin(x + y)\)，\(w = x^3yt\)。求 \(\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)_x\)。
b) 考虑满足 \(x^5 + yz = 3\) 与 \(xy^2 + yz^2 + zx^2 = 7\) 的点 \((x, y, z)\) 构成的曲线。用全微分法求在点 \((x, y, z) = (1, 1, 2)\) 处的 \(\frac{dx}{dy}\)。

公式与已知条件

\(t = \sin(x + y)\)
\(w = x^3yt\)
约束 1: \(x^5 + yz = 3\)
约束 2: \(xy^2 + yz^2 + zx^2 = 7\)
给定点: \((1, 1, 2)\)

解题入口

(a) 对 \(w = x^3yt\) 在保持 \(x\) 不变的情况下对 \(t\) 求导。(b) 对两个约束取全微分，在给定点处解出 \(\frac{dx}{dy}\)。

完成后检查

验证 (a) 中 \(x\) 确实被视为常数。
验证 (b) 中给定点 \((1,1,2)\) 满足两个约束方程。
检查全微分后的代数运算符号是否正确。

题面完整，为官方原题翻译。

来源：study_materials/dc99ea7a138836d3d5891a4350c2ffa3_ps6.pdf · 1

来源与改编说明

来源说明：原资料中 A 部分教材题（2J/1, 2, 3ab, 4ab, 5a, 6, 7；2K/1, 2, 3, 4, 5）未提供完整题面，已依据课程阶段与知识点设计为站内等价练习，非 MIT 官方原题。

一手资料

study_materials/ps6.pdf — Problem Set 6 题面
study_materials/least_sq_intrpol.pdf — 最小二乘与插值笔记
官方课程主页：MIT OCW 18.02

Problem Set 6: Non-Independent Variables and Partial Differential Equations（非独立变量与偏微分方程）

目标

核心知识要点

偏导数下标的含义

隐函数求导与循环关系

链式法则与变量变换

恰当微分方程

分离变量法

覆盖范围

典型题型与解题策略

识别变量依赖关系

PDE 的直接验证

分离变量的标准步骤

常见错误

知识检查

完整题目清单

作答说明

覆盖范围

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

公式与已知条件

完成后检查

来源与改编说明

一手资料