梯度 ∇f 指向函数增长最快的方向，其模 |∇f| 为方向导数的最大值。梯度与等高线垂直，沿梯度方向函数值变化最剧烈。
方向导数 df/dŝ = ∇f · û = |∇f| cos φ，其中 φ 为 ∇f 与 û 的夹角。cos φ = 1 时取最大值 |∇f|，cos φ = −1 时取最小值 −|∇f|，cos φ = 0 时方向导数为零。
曲面 z = f(x,y) 在点 (x₀,y₀,z₀) 处的切平面方程为 z − z₀ = f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀)，梯度分量即为法向量的 x、y 分量。
最快下降方向为 −∇f 方向（梯度的反方向）。线性近似利用切平面 L(x,y,z) 逼近函数值，可用于估计函数值变化时自变量的变化。
在约束 g = c 下求 f 的极值，需解方程组 ∇f = λ∇g 且 g = c。最小化距离平方比最小化距离更简便，因为距离平方避免了根号。
先完成 A 部分基础练习，巩固梯度与方向导数的计算，为 B 部分综合题打下基础。
对于 B 部分，先明确问题目标（求方向、求极值、求近似），再选择合适方法。方向导数极值用梯度模，约束极值用拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数题注意判断是求距离还是距离平方，后者通常更易求解（避免根号），因为极值点位置相同。
方向导数的最值问题中，注意 û 必须是单位向量，否则需要先单位化
求最快下降方向时，方向是 −∇f 而非 ∇f
使用线性近似时，注意展开点与目标点的关系，近似仅在靠近展开点时有效
拉格朗日乘数法中，不要遗漏约束条件 g = c
解方程组时注意检验所有可能的解，包括退化情况（如 λ 取不同值对应不同点）
问题 1：设 f(x,y) 可微，则方向导数 df/dŝ 的最大值等于下列哪一项？
问题 2：函数 f(x,y,z) 在点 P 处的最快下降方向是下列哪一项？
问题 3：拉格朗日乘数法中，求函数 f 在约束 g = c 下的极值，需要解的方程组是下列哪一项？
共 11 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
【站内等价练习】设 \(f(x, y) = 3x^2y - y^3\)。
先计算偏导数得到 \(\nabla f\)，再代入点坐标。
原题仅提供教材题号（2D.1），无完整题面。已根据对应章节主题设计站内等价练习，非 MIT 原题。
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【站内等价练习】设 \(f(x, y) = e^x \sin y\)。
方向导数的最大值等于梯度的模 \(|\nabla f|\)。
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【站内等价练习】设 \(f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3\)。
切平面方程利用 \(\nabla f\) 作为法向量。
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【站内等价练习】求曲面 \(z = x^2 - y^2\) 在点 \((2, 1, 3)\) 处的切平面方程。
将曲面写成 \(F(x,y,z) = x^2 - y^2 - z = 0\) 的形式，用 \(\nabla F\) 求法向量。
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【站内等价练习】设 \(f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)\)。
方向导数为零意味着 \(\hat{u}\) 与 \(\nabla f\) 垂直。
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【站内等价练习】设 \(f(x, y, z) = xyz\)。
先单位化方向向量，再计算 \(\nabla f \cdot \hat{u}\)。
原题仅提供教材题号（2E.7），无完整题面。已根据对应章节主题设计站内等价练习，非 MIT 原题。
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【站内等价练习】用拉格朗日乘数法求函数 \(f(x, y) = xy\) 在约束条件 \(x + y = 10\) 下的最大值。
构造拉格朗日函数 \(L = xy - \lambda(x + y - 10)\)。
原题仅提供教材题号（2I.1），无完整题面。已根据对应章节主题设计站内等价练习，非 MIT 原题。
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【站内等价练习】用拉格朗日乘数法求函数 \(f(x, y) = x^2 + y^2\) 在约束条件 \(x^2 + xy + y^2 = 3\) 下的最大值和最小值。
构造拉格朗日函数，利用对称性简化方程组。
原题仅提供教材题号（2I.3），无完整题面。已根据对应章节主题设计站内等价练习，非 MIT 原题。
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考虑函数 \(f(x, y) = x^3 - xy^2 - 4x^2 + 3x + x^2y\)。
方向导数 \(\frac{df}{d\hat{s}} = \nabla f \cdot \hat{u}\)。分析 \(\hat{u}\) 与 \(\nabla f\) 的夹角如何影响点积的取值。
题面来自 Problem Set 5 官方 PDF，已翻译为中文。原题 d 部分引用外部小程序，已改写为不依赖外部工具的表述。
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考虑函数 \(g(x, y, z) = x^2 + yz\)。
最快下降方向为 \(-\nabla g\) 方向。线性近似利用切平面 \(L(x,y,z)\) 逼近函数值。
题面来自 Problem Set 5 官方 PDF，已翻译为中文。
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现在我们寻求 Problem 2(b) 的精确解。
最小化 \(D = (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-1)^2\)，约束为 \(x^2 + yz = 2\)，引入乘数 \(\lambda\) 建立方程组。
题面来自 Problem Set 5 官方 PDF，已翻译为中文。
来源：study_materials/b4036a083eda01968709dc22325f76d4_ps5.pdf · 2
study_materials/ps5.pdf — Problem Set 5 题面