本次测验检验你对三维空间中 向量代数 的运算能力，以及用向量语言描述 几何对象（直线、平面、轨迹）的熟练程度。核心能力包括：用点积求夹角与投影、用叉积求面积与法向量、用矩阵解线性系统、把物理运动写成向量函数并求导。
核心思想：向量既是代数对象（分量运算），也是几何对象（长度、夹角、方向）。18.02 第一单元的每一步，都是在两种视角之间切换——计算之后要问自己"这在几何上意味着什么？"
测验中凡是求出向量的地方，回头检查方向与数量级是否合理，能捡回大量分数。
以下内容均来自 Prof. Denis Auroux 第 1–7 讲（2007 年 9 月 6 日–20 日）。Auroux 在第 7 讲复习课上明确列出测验四大主题（对应 Practice 1A 题号）：
| 主题 | 对应讲次 | Practice 1A 对应 | 关键工具 |
|---|---|---|---|
| 向量与点积 | Lec 1–2 | Problem 1 | \( \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta \)，投影，正交性 |
| 行列式与叉积 | Lec 2–3 | Problem 5 | \( \det \)，\( \vec{A}\times\vec{B} \)（面积、法向量、右手定则） |
| 三元组积 | Lec 3 | — | \( \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) \) = 平行六面体有号体积 |
| 矩阵与逆矩阵 | Lec 3–4 | Problem 3 | 余子式法求逆，\( \det=0 \) 与不可逆 |
| 平面方程 | Lec 3–4 | Problem 5 | 法向量 \( \vec{N} \)，系数 = 法向量分量 |
| 参数方程 | Lec 5 | Problem 4 | 位置向量分解 \( \vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\vec{v} \) |
| 速度与加速度 | Lec 6 | Problem 2, 6 | \( \vec{v}=d\vec{r}/dt \)，\( \vec{a}=d\vec{v}/dt \)，匀速 \( \perp \) 速度 |
| 开普勒第二定律 | Lec 6 | Problem 6c | \( \vec{r}\times\vec{v}= \) 常数 → 面积速度守恒 |
对 \( \vec{A}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle \)，\( \vec{B}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle \)：
\[ \vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta. \]三件事：求夹角 \( \cos\theta=\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} \)；检测正交（点积为 0）；投影——\( \vec{A} \) 在单位向量 \( \hat{u} \) 方向的分量是 \( \vec{A}\cdot\hat{u} \)。Auroux 用单摆受力分解作为物理实例：把重力 \( \vec{F} \) 沿切向与法向分别投影。
方向按右手定则，数量等于以 \( \vec{A},\vec{B} \) 为边的平行四边形面积：
\[ \vec{A}\times\vec{B}=\det\begin{pmatrix}\hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{pmatrix},\qquad |\vec{A}\times\vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta. \]空间三角形面积 = \( \dfrac12|\vec{P_1P_2}\times\vec{P_1P_3}| \)（Practice 1A Problem 5a）。叉积反交换：\( \vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A} \)，且 \( \vec{A}\times\vec{A}=\vec{0} \)。
\( \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) = \det[\vec{A}\;\vec{B}\;\vec{C}] \) = 平行六面体的有号体积。轮换不变，交换两向量反号。
线性系统 \( A\vec{X}=\vec{B} \) 的唯一解是 \( \vec{X}=A^{-1}\vec{B} \)。求逆用余子式法：
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\,C^{\mathsf T}, \]其中 \( C \) 是余子式矩阵。\( \det A=0 \) 时矩阵不可逆，齐次系统 \( A\vec{X}=\vec{0} \) 有非零解——Practice 1A Problem 3c 提示：\( \vec{X} \) 与 \( M \) 的各行都正交，即 \( \vec{X} \) 平行于行向量的叉积。
注意：余子式带符号 \( (-1)^{i+j} \)，且必须转置再除以行列式。学生最常犯的错是忘记转置、或代数余子式符号出错。Practice 1A Problem 3a 给了 \( \det A=2 \) 和逆矩阵的一部分反推余子式，正是针对这一易错点。
过点 \( P_0 \)、法向量 \( \vec{N}=\langle a,b,c\rangle \) 的平面：
\[ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad ax+by+cz=d. \]关键事实：方程系数就是法向量的分量。求平面方程 → 先找法向量（通常用平面上两个向量的叉积）。判断直线与平面的关系：把直线参数式代入平面方程解 \( t \)。
过 \( Q_0 \)、沿方向 \( \vec{v} \) 的直线：\( \vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\vec{v} \)。Auroux 强调"把位置向量分解为起点 + 运动"的思维方式——不仅用于直线，也用于更复杂的轨迹（Practice 1B Problem 3 的瓢虫：相对运动 + 车身运动叠加）。
\( \vec{v}=d\vec{r}/dt \)，\( \vec{a}=d\vec{v}/dt \)，速率 \( |\vec{v}|=ds/dt \)。重要恒等式（Practice 1A Problem 6）：
\[ \frac{d}{dt}(\vec{r}\cdot\vec{r})=2\vec{r}\cdot\vec{v}. \]若 \( |\vec{r}| \) 为常数，则 \( \vec{r}\cdot\vec{v}=0 \)：常长位置向量与速度垂直。进一步，\( \vec{r}\cdot\vec{a}=-|\vec{v}|^2 \)。开普勒第二定律：\( \vec{L}=\vec{r}\times\vec{v} \) 守恒 → 面积速度 \( \dfrac12|\vec{r}\times\vec{v}| \) 恒定。
核心思想：用向量恒等式证明几何结论，是 18.02 的"招牌动作"。看到 \( |\vec{r}| \) 常数，立刻想到对 \( \vec{r}\cdot\vec{r} \) 求导——这条线索在历次测验反复出现。
代表：Practice 1A Problem 1, 5；1B Problem 1, 2。
策略：先把题目中的点写成位置向量，再构造差向量。夹角 → 点积；三角形面积 → \( \frac12|\)叉积\( | \)；平面 → 两差向量叉积得法向量，再代入点。算完验证数量级：单位立方体对角线是 \( \sqrt{3} \)，面对角线是 \( \sqrt{2} \)。
代表：Practice 1A Problem 3；1B Problem 4。
策略：已知 \( A^{-1} \) 时，解 \( A\vec{X}=\vec{B} \) 只需一次矩阵乘法。不可逆参数问题 → 令 \( \det=0 \) 解出参数，再用"解与各行正交"找非零解。含参数 \( t \) 的系统 → 求导得 \( d\vec{r}/dt \)（1B 4d）。
代表：Practice 1A Problem 2, 4, 6；1B Problem 3。
策略："分解位置向量"是万能钥匙——梯子中点 = 两端点平均（1A 4）；瓢虫轨迹 = 车身位移 + 相对半圆运动（1B 3）。求速度直接对分量求导；求极值时对速度平方求导更方便（1B 3b 的提示）。
代表：Practice 1A Problem 6；1B Problem 5。
策略：用乘积法则 \( \frac{d}{dt}(\vec{A}\cdot\vec{B})=\vec{A}'\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{B}' \)，以及 \( \frac{d}{dt}(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{A}'\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{B}' \)。先写出向量条件（如 \( \vec{N}\cdot\vec{r}=d \) 表平面），再对 \( t \) 求导。
叉积方向反了：右手定则中，四指从第一向量 \( \vec{A} \) 弯向第二向量 \( \vec{B} \)，拇指才是 \( \vec{A}\times\vec{B} \)。交换顺序结果反号。求法向量时方向不影响平面方程，但涉及有号体积或力矩时方向就是全部。
余子式忘记转置：\( A^{-1}=\frac{1}{\det A}C^{\mathsf T} \)。余子式矩阵 \( C \) 和伴随矩阵（转置后）是两回事。直接写 \( C/\det A \) 会得到错误结果。
把 \( d|\vec{r}|/dt \) 和 \( |d\vec{r}/dt| \) 混淆：前者是径向距离变化率，后者是速率。Auroux 在第 6 讲专门指出 \( \bigl|\frac{d\vec{r}}{dt}\bigr|\neq\frac{d|\vec{r}|}{dt} \)。匀速圆周运动中 \( d|\vec{r}|/dt=0 \) 但速率非零。
直线与平面关系判断：把直线的参数式代入平面方程，得到关于 \( t \) 的一次方程。有唯一解 → 相交于一点；恒成立 → 直线在平面内；矛盾 → 平行不相交。不要只看点——要把三个坐标都代入验证。
问题 1：若质点的位置向量 \( \vec{r}(t) \) 满足 \( |\vec{r}(t)|=R \) 为常数，则必有：
问题 2：\( \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=0 \) 是下列哪个命题的充要条件？
问题 3：直线 \( \vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\vec{v} \) 平行于平面 \( ax+by+cz=d \)，则：
问题 4：Auroux 在课上用矩阵 \( M=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&2&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix} \) 演示。\( \det M \) 等于：
共 11 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
一个单位立方体位于第一卦限，其中一个顶点在原点 \( O \)。立方体与坐标轴对齐：从原点 \( O = (0,0,0) \) 延伸到对角顶点 \( Q = (1,1,1) \)；\( x = 1 \) 的面的中心点为 \( R = (1, 1/2, 1/2) \)。
先计算两向量的点积，再分别求模长，代入夹角余弦公式。
官方题面翻译；依据题意修正了 \( \vec{OR} \) 的坐标与 \( |\vec{OR}| \) 的检查值，使其与 "\( x=1 \) 的面的中心为 \( R=(1,1/2,1/2) \)" 一致。
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点 \( P \) 的运动由位置矢量 \( \vec{R}(t) = 3\cos t\,\hat{i} + 3\sin t\,\hat{j} + t\,\hat{k} \) 给出。计算点 \( P \) 的速度矢量与速率。
对位置矢量的各分量分别求导得到速度矢量，再求其模长得到速率。
官方题面翻译，题面条件完整。
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设 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)，已知 \(\det(A) = 2\)，且 \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 & -3/2 \\ -1/2 & -1 & 5/2 \\ 1 & a & b \end{pmatrix} \)（第三行的后两个元素未知）。
利用 \( A\,A^{-1} = I \) 建立方程求 \( a, b \)；方程组 \( A\,X = B \) 的解为 \( X = A^{-1}B \)。对 (c)，令 \(\det(M) = 0\) 求 \( c \)。
官方题面翻译；已将 \( A^{-1} \) 的前两行修正为与 \( A \) 一致的真实逆矩阵取值，第三行的 \( a, b \) 为待求未知量。
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长度为 \( L \) 的梯子顶端靠在竖直墙上，底端被拉离墙面。设梯子与水平地面的夹角为 \( \theta \)，以 \( \theta \) 为参数，求梯子中点 \( P \) 的参数方程。
分别用 \( \theta \) 表示顶端和底端的坐标，再取平均值得到中点坐标。
官方题面翻译，题面条件完整。
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已知三点 \( P_0(2,1,0) \), \( P_1(1,0,1) \), \( P_2(2,-1,1) \)。
用两边的叉积求面积和平面法向量；将直线方程代入平面方程求交点。
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设 \( \vec{R}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} + z(t)\,\hat{k} \) 为一条路径的位置矢量。
对 \( \vec{R}\cdot\vec{R} \) 用乘积求导法则；对常数式 \( \vec{R}\cdot\vec{R} = const \) 求导可得垂直关系。
官方题面翻译，题面条件完整。
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设 \( P, Q, R \) 分别为 \( x \) 轴上坐标为 1、\( y \) 轴上坐标为 2、\( z \) 轴上坐标为 3 的点。
先由两点坐标差写出向量，再用点积公式求夹角余弦。
官方题面翻译，题面条件完整。
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设 \( P = (1,1,1) \), \( Q = (0,3,1) \), \( R = (0,1,4) \)。
用两边叉积求面积和法向量；验证直线方向向量与法向量是否正交以判断平行。
官方题面翻译，题面条件完整。
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甲虫在一辆 Volkswagen Bug（大众甲壳虫）车身上爬行。初始时刻，车身表面在 \( xy \) 平面上由单位半圆 \( x^2 + y^2 = 1,\; y \ge 0 \) 表示，路面为 \( x \) 轴。\( t = 0 \) 时，甲虫从车头 \( (1,0) \) 出发，相对于车身以单位速率沿逆时针方向爬行；同时，车以速率 \( 10 \) 沿 \( x \) 轴正方向向右行驶。\( t = 0 \) 时车尾位于 \( (-1,0) \)。
将甲虫运动分解为车身平动与相对转动的叠加；对位置求导得速率。
官方题面翻译；原题中的示意图依据题意用文字重述（单位半圆、车头、车尾、运动方向）。
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设 \( M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)，且 \( M^{-1} = \frac{1}{12}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ a & 7 & -8 \\ b & -5 & 4 \end{pmatrix} \)。
利用 \( M\,M^{-1} = I \) 求 \( a, b \)；利用逆矩阵求解线性方程组；对解逐分量求导。
官方题面翻译；逆矩阵中的 \( a, b \) 为待求未知量。
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a) (5 分) 设 \( P(t) \) 是位置矢量为 \( \vec{r}(t) \) 的一点。用涉及 \( \vec{r} \) 和平面法矢量的矢量等式，表达「\( P(t) \) 位于平面 \( 4x - 3y - 2z = 6 \) 上」这一性质。
利用法矢量与平面上矢量的点积为常数；对常数求导即得正交关系。
官方题面翻译，题面条件完整。
来源：study_materials/164e610e5f4ccff6756b41e79e89300a_prac1b.pdf · 1
study_materials/prac1a.pdf — Practice Exam 1A（含向量夹角、矩阵逆、梯子中点、空间三角形、运动学）study_materials/prac1asol.pdf — Practice Exam 1A 解答study_materials/prac1b.pdf — Practice Exam 1B（含三角形面积、瓢虫轨迹、含参线性系统、平面法向量）study_materials/prac1bsol.pdf — Practice Exam 1B 解答study_materials/determinants.pdf — 行列式笔记study_materials/matrices_algebra.pdf — 矩阵代数笔记study_materials/kepler_secnd_law.pdf — 开普勒第二定律笔记