MIT 18.02 · Problem Set 4
Problem Set 4: Least Squares, Area Optimization, and Chain Rule Matrices（最小二乘拟合、面积优化与链式法则矩阵）
本习题集围绕三个应用主题展开：基于正规方程的最小二乘拟合（含线性与指数模型比较）、单位圆内接三角形的面积优化（含临界点、边界与二阶导数检验），以及直角坐标与极坐标之间偏导数变换的矩阵推导与验证。
本地官方资料整理中文自包含可离线作答
目标
- 掌握最小二乘拟合的矩阵形式（正规方程 Az = r），能将求和式改写为向量积形式
- 能够进行线性拟合与指数拟合的比较，理解对数线性化的方法
- 能够建立单位圆内接三角形的面积函数 A(θ₁,θ₂)
- 掌握区域上临界点与边界分析的方法，理解最大面积对应等边三角形
- 掌握二阶导数检验（Hessian 行列式）判定临界点性质
- 理解链式法则在坐标变换中的矩阵表示，能验证变换矩阵与其逆矩阵的关系
核心知识要点
正规方程的矩阵形式
最小二乘正规方程 Az = r 中，A 是 2×2 矩阵，元素为向量积（如 u·u′、u·x′、x·x′）；r 是 2×1 向量，分量为 u·y′ 和 x·y′。求和式被改写为向量积以便直接使用。
指数拟合的对数线性化
对 y 取 ln 后拟合直线 ln(y) = a₁x + b₁，再取指数还原为 y = e^(b₁) e^(a₁x)。这种方法将非线性拟合转化为线性拟合问题。
三角形面积的行列式表示
利用鞋带公式，单位圆内接三角形面积可写为 A = (1/2)|sin(θ₂−θ₁) + sin θ₁ − sin θ₂|。行列式公式的绝对值保证面积为正。
临界点、边界与二阶导数检验
内部令偏导为零求临界点，边界单独讨论（如 θ₁=θ₂、θ₁=0、θ₂=2π）。Hessian 行列式 D = f₁₁f₂₂ − f₁₂² 判定极值类型：D>0 且 f₁₁>0 为极小，D>0 且 f₁₁<0 为极大。
链式法则的矩阵形式
直角坐标到极坐标的偏导数变换可写为 [w_r; w_θ] = A[w_x; w_y]，其中 A 由坐标变换的偏导数构成。逆变换矩阵 B 满足 AB = I，可用三角恒等式验证。
覆盖范围
- 最小二乘与正规方程的矩阵形式
- 线性拟合与指数拟合的误差分析
- 单位圆内接三角形的面积函数建立
- 区域内部临界点的求解
- 边界分析与最值确定
- 二阶导数检验（Hessian 行列式）
- 直角坐标与极坐标的链式法则矩阵
- 变换矩阵与逆矩阵的验证
典型题型与解题策略
1
拟合问题的矩阵化
先写出目标函数的矩阵形式，再代入具体数据计算。指数拟合先取对数再拟合直线，最后比较线性与指数拟合的最差情况误差。
2
面积优化的分步讨论
先用行列式写出面积表达式，再分内部临界点与边界两部分讨论。内部令偏导为零，边界逐一检验约束条件。
3
变量替换的矩阵验证
分别对 r、θ 用链式法则，整理成矩阵后利用三角恒等式验证 AB = I。注意 cos²θ + sin²θ = 1 的化简。
常见错误
最小二乘中向量积的下标与转置方向容易写反，注意 A 和 r 的维度一致性
极角排序（逆时针）决定了区域的约束条件 0 ≤ θ₁ ≤ θ₂ ≤ 2π，忽略会导致临界点遗漏
矩阵求逆验证时三角恒等式化简不彻底可能误判为单位矩阵
指数拟合后外推时注意模型适用范围，实际数据可能偏离指数趋势
知识检查
问题 1：最小二乘拟合中，将正规方程写作矩阵形式 Az = r，其中 z = [a;b]。以下关于 A 和 r 的描述，哪一项是正确的？
问题 2：单位圆内接三角形的一个顶点在 (1,0)，另两个顶点按逆时针顺序分别由极角 θ₁ 和 θ₂ 确定。θ₁ 和 θ₂ 的取值范围是下列哪一项？
问题 3：设 w = f(x,y)，x = r cos θ，y = r sin θ。则 w_r 等于下列哪一项？
完整题目清单
共 3 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 截止时间：2007 年 10 月 4 日（周四）12:45。
- A 部分（15 分）：只需提交带下划线的问题；其余问题供额外练习。
- B 部分（25 分）：请尝试独立求解每个问题的每个部分。如与他人协作，解答仍须独立撰写。查阅以往学期的材料属于违规行为。每个问题旁标注了对应的学习日期。
- 请写明你咨询或协作的所有人员姓名，以及所使用的资源。
- MATLAB 使用说明附在本习题集末尾，仅供参考。
覆盖范围
- 最小二乘与拟最佳拟合直线（正规方程）
- 通过对数线性模型进行指数拟合
- 给定极角时三角形面积的最大化
- 临界点、边界与二阶导数检验
- 直角坐标与极坐标之间链式法则的变量替换
- 偏导数变换的矩阵形式
题目 1
最小二乘与数据分析（iPod 销量）
最小二乘 / 正规方程 · 线性与指数曲线拟合 · 误差分析（最差情况残差） · MATLAB 数据绘图
官方题面翻译可离线作答
最小二乘与数据分析。(b)–(f) 部分涉及 MATLAB 的使用。你也可以选择使用具有类似功能的其他软件，甚至计算器。在这种情况下，请说明你使用什么工具以及具体的操作步骤。你必须亲自完成实际计算，而不能依赖软件中可能内置的统计函数。
- a) 在前往终端之前，阅读 LS 笔记并完成以下任务。设行向量 \(x = [x_1\ x_2\ \dots\ x_n]\)，\(y = [y_1\ y_2\ \dots\ y_n]\)，\(u = [1\ 1\ \dots\ 1]\)（\(n\) 个 1）。设 \(y = ax + b\) 为 \(n\) 个点 \((x_i, y_i)\) 的最佳拟合直线。将 LS 笔记中的公式 (4) 转化为一个 \(2 \times 2\) 的矩阵方程 \(Az = r\)，其中 \(z = [a; b]\)。将 \(A\) 和 \(r\) 的各分量写成可直接在 MATLAB 中使用的形式。请不要使用求和号，而是用向量积表示，例如用 `x * u'` 表示 \(\sum x_i\)。在 (c) 部分你可以用 MATLAB 在具体例子上验证你的公式是否正确。
- b) 2001 年至 2005 年各年度 iPod 全球销量（单位：百万台）如下（来源：维基百科、苹果季度财报）。取 \(x\) 为年份减去 2000，因此 \(x_i\) 的取值范围是 1 到 5。查看 MATLAB 说明，将这些数据点用 * 标记绘制成散点图。（无需提交；你将在 (d) 部分重新绘制。）
- c) 使用 MATLAB，利用 (b) 中的数据和你从 (a) 得到的公式，求出拟合这些点的最佳直线 \(y = ax + b\)。计算实际数据值 \(y\) 与预测值 \(y = ax + b\) 之间的偏差。报告 \(a\)、\(b\) 以及最差情况（最大误差）。（可选：用 `polyfit(x,y,1)` 进行验证。）
- d) 新产品推出后，在初期阶段销量往往呈指数增长而非线性增长。使用 MATLAB 求出形如 \(\ln(y) = a_1 x + b_1\) 的最佳拟合。（MATLAB 中以 `log` 表示自然对数。）报告 \(a_1\)、\(b_1\)。若取指数：\(y = e^{b_1} e^{a_1 x}\)。计算 \(y\) 与预测值之间的偏差，并报告最差情况（最大误差）。
- e) 提交一份打印输出，在同一张图中显示：标注 * 的 \((x, y)\) 散点图、虚线表示的直线拟合 \((x, ax + b)\)、以及用普通连线表示的曲线 \((x, e^{b_1} e^{a_1 x})\)。
- f) 根据指数最佳拟合，2006 年售出了多少台 iPod？2015 年将售出多少台？（供对比，当时全球人口约为 66 亿。）事实上，增长已不再呈指数趋势：2006 年仅售出 4640 万台 iPod。
公式与已知条件
- 正规方程：\(Az = r\)，\(z = [a; b]\)
- 数据：年份 \(x\)：1, 2, 3, 4, 5；销量 \(y\)（百万台）：0.125, 0.470, 1.451, 8.263, 31.960
- 指数模型：\(y = e^{b_1} e^{a_1 x}\)
- 对比参考：全球人口约 66 亿
解题入口从 LS 笔记出发写出最小二乘正规方程，将求和式改写为向量积形式（如 `x*u'`、`x*x'`、`x*y'`）。对于指数拟合，先对 \(y\) 取对数再拟合直线。比较线性拟合与指数拟合的最差情况误差。
完成后检查
- 确认 \(a\)、\(b\) 与 `polyfit(x,y,1)` 的结果一致。
- 验证对于该数据，指数拟合的残差小于线性拟合。
- 对 2006/2015 年的外推结果做合理性检验，与题面给出的 2006 年实际值（4640 万台）对照。
来源说明：题面与子问题由原始习题集 Part B 翻译而来。LS 笔记公式 (4) 未在 PDF 中复现，请依据正规方程的矩阵形式自行写出。MATLAB 使用说明仅作参考。
题目 2
单位圆内接三角形——面积优化
单位圆上三角形的面积 · 区域上的临界点 · 边界分析 · 二阶导数检验
官方题面翻译可离线作答
在平面上考虑一个内接于单位圆的三角形，其中一个顶点位于 \((1, 0)\)，另外两个顶点按逆时针顺序分别由极角 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 确定。
- a) 用 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 表示该三角形的面积 \(A\)。\(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 的取值范围是什么？
- b) 求函数 \(A\) 在该区域内的临界点。
- c) 通过计算 \(A\) 在临界点处的取值以及它在定义域边界上的行为，求出 \(A\) 的最大值和最小值（需给出论证）。描述这两种情况对应的三角形形状。
- d) 使用二阶导数检验确认你在 (b) 中找到的临界点的性质。
公式与已知条件
- 三个顶点：\((1, 0)\)，\((\cos \theta_1, \sin \theta_1)\)，\((\cos \theta_2, \sin \theta_2)\)
- 面积 \(A = \frac{1}{2}|\sin(\theta_2 - \theta_1) + \sin \theta_1 - \sin \theta_2|\)（或等价形式）
- 区域：\(0 \leq \theta_1 \leq \theta_2 \leq 2\pi\)（逆时针顺序）
解题入口利用三个顶点的行列式公式（或鞋带公式）求面积。在区域内部令偏导数为零求临界点，再检查边界（\(\theta_1 = \theta_2\)、\(\theta_1 = 0\)、\(\theta_2 = 2\pi\) 等）。利用 \(A_{\theta_1\theta_1}\)、\(A_{\theta_2\theta_2}\) 及 Hessian 行列式进行二阶导数检验。
完成后检查
- 最大面积应对应等边三角形。
- 最小面积应对应退化三角形（面积为 0）。
- 二阶导数检验的结论应与边界分析一致。
来源说明：题面与子问题由原始习题集 Part B 翻译而来，题面条件完整自含。
题目 3
链式法则变量替换矩阵（直角坐标 ↔ 极坐标）
链式法则 · 变量替换 · 偏导数变换的矩阵形式 · 逆矩阵验证
官方题面翻译可离线作答
设 \(w = f(x, y)\)，现从直角坐标变换到极坐标：\(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)。
- a) 利用链式法则，推导矩阵形式的变量替换公式：\([w_r; w_\theta] = A [w_x; w_y]\)，将 \(2 \times 2\) 矩阵 \(A\) 的各分量写成 \(r\) 和 \(\theta\) 的函数。
- b) 利用公式 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)，\(\theta = \tan^{-1}(y/x)\)，类似地推导逆变换公式：\([w_x; w_y] = B [w_r; w_\theta]\)，将 \(2 \times 2\) 矩阵 \(B\) 的各分量写成 \(x\) 和 \(y\) 的函数。
- c) 通过计算乘积 \(AB\) 并替换变量，验证 \(B = A^{-1}\)。
- d) 若在极坐标点 \(r = 5\)、\(\theta = \pi/2\) 处有 \(w_r = 2\)、\(w_\theta = 10\)，求同一点处的 \(w_x\) 和 \(w_y\)。
公式与已知条件
- \(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)
- \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)，\(\theta = \tan^{-1}(y/x)\)
- 已知：在 \(r = 5\)、\(\theta = \pi/2\) 处，\(w_r = 2\)、\(w_\theta = 10\)
- 在 \(r = 5\)、\(\theta = \pi/2\) 处：\(x = 0\)，\(y = 5\)
解题入口应用多元链式法则：\(w_r = w_x \cos \theta + w_y \sin \theta\)，\(w_\theta = -w_x r \sin \theta + w_y r \cos \theta\)，从而得到矩阵 \(A\)。对于 (b)，对 \(r\) 和 \(\theta\) 分别关于 \(x\) 和 \(y\) 求偏导。对于 (c)，相乘 \(AB\) 并用三角恒等式化简。对于 (d)，将 \(r = 5\)、\(\theta = \pi/2\) 代入 \(A\) 并求解 \(w_x\)、\(w_y\)。
完成后检查
- \(AB\) 应化简为单位矩阵。
- 求得的 \(w_x\)、\(w_y\) 在该点应满足链式法则方程。
来源说明：题面与子问题由原始习题集 Part B 翻译而来，题面条件完整自含。
来源与改编说明
- A 部分教材题面未包含在来源中：2F/1ab, 2; 2G/1ab, 4; 2H/1ac, 3, 4, 6; 13.10/32; 2C/1abcd, 2, 3, 5ab; 2E/1abc, 2bc, 5, 8ab。
- 问题 1(a) 中引用的 LS 笔记公式 (4) 未在 PDF 中复现。
- MATLAB 使用说明部分仅作参考，不属于计分问题。