MIT 18.02 · Problem Set 2

Problem Set 2: Square Systems, Parametric Equations, and Kinematics（方阵系统、参数方程与运动学）

本习题集从方阵系统定理和平面方程出发，过渡到直线与曲线的参数方程，最后以速度、加速度、开普勒第二定律以及异面直线距离和齿轮运动等应用问题收尾。A 部分为站内等价练习，B 部分为官方题面翻译，注重方法训练与验证。

本地官方资料整理中文自包含可离线作答

目标

核心知识要点

方阵可逆的等价条件

n×n 方阵 A 可逆 ⟺ det(A) ≠ 0 ⟺ A𝐱 = 𝟎 只有零解 ⟺ 对任意 𝐛，A𝐱 = 𝐛 存在唯一解。这些等价关系是方阵系统定理的核心。

平面的点法式

平面点法式方程 a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0 中，法向量 ⟨a,b,c⟩ 与平面内任意向量垂直。已知平面上两点可求平面内向量，两向量叉积即得法向量。

参数方程的几何意义

直线参数方程 𝐫(t) = 𝐫₀ + t𝐯 中 𝐯 为方向向量；单位圆参数方程 x = cos t, y = sin t 中 t 为从正 x 轴量起的角度。切向量由对参数求导得到。

开普勒第二定律与面积微元

极坐标面积微元 dA = (1/2)r²dθ，两边除以 dt 得 dA/dt = (1/2)r²(dθ/dt)。该式为常数即开普勒第二定律，源于角动量守恒。

异面直线距离的两种求法

方法一：构造两个平行平面各含一条直线，求平面间距。方法二：设独立参数 t₁、t₂，利用连接向量与两方向向量均垂直建立方程组求最短连线。两种方法结果应一致。

覆盖范围

典型题型与解题策略

1

方阵系统的推导路径

从齐次方程组只有零解出发，利用矩阵可逆性推导非齐次方程组解的存在唯一性，注意逻辑链条的完整性。

2

异面直线距离的独立参数法

两条直线的参数应独立变化（如 t₁ 和 t₂），利用连接向量与两方向向量均垂直建立方程组，解出参数后计算距离。

3

齿轮运动的向量表示

利用无滑动条件确定两齿轮角速度的大小和方向关系，再用从齿轮中心到钉的向量表示中点位置，最后对时间求导得速度与加速度。

常见错误

异面直线距离中两条直线的参数应独立变化，不可设为同一参数，否则无法表示两直线上任意点的连线

齿轮题中两齿轮转向相反，注意角速度方向与大小关系，无滑动意味着接触点线速度相同

平面方程题注意法向量的求解，避免取错平面上两向量的叉积方向

参数方程求导时注意链式法则的正确应用，切向量是对参数求导的结果

开普勒第二定律证明中注意面积微元的极坐标形式 dA = (1/2)r²dθ

知识检查

问题 1：关于方阵系统定理，以下哪个条件能保证 n×n 方阵 A 可逆？

问题 2：平面 2x − y + z = 5 的法向量是下列哪一个？

问题 3：开普勒第二定律指出单位时间内向径扫过的面积为常数，其数学表达式为下列哪一项？

完整题目清单

共 5 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。

作答说明

  • 提交截止：2007年9月20日（周四）12:45。
  • A 部分（15分）：只需提交带下划线的题目；其余题目供额外练习。
  • B 部分（12分）：请先独立尝试解答每一题的每个部分。若与他人合作，仍须独立完成解答。严禁查阅以往学期的课程材料。
  • 请注明你咨询过的所有人、与你合作的伙伴，以及你所使用的参考资料。

覆盖范围

  • 方阵系统定理
  • 平面方程（见 Notes M.4，教材第 798–800 页）
  • 直线与曲线的参数方程（12.4，10.4）
  • 速度、加速度与开普勒第二定律（12.5，Notes K）
  • 平行平面法及垂直线段法求异面直线间的距离
  • 带弹性绳中点的齿轮参数运动
题目 A-1 第 4 讲：方阵系统定理；平面方程 Square systems theorems · Equations of planes
站内等价练习可离线作答

以下是一组站内等价练习，覆盖方阵系统定理与平面方程两个主题。

  1. （方阵系统定理）设 \(A\) 为 \(n \times n\) 方阵。证明：若齐次线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 只有零解，则对任意 \(n\) 维向量 \(\mathbf{b}\)，非齐次方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) 存在唯一解。
  2. （平面方程）求满足下列条件的平面方程：(a) 过点 \(P(2, -1, 3)\) 且法向量为 \(\mathbf{n} = \langle 1, 2, -1 \rangle\)；(b) 过三点 \(A(1, 0, 0)\)、\(B(0, 1, 0)\)、\(C(0, 0, 1)\)；(c) 与平面 \(2x - y + z = 5\) 平行且过原点。

公式与已知条件

  • \(n \times n\) 方阵 \(A\) 可逆 \(\iff \det(A) \neq 0 \iff A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 只有零解
  • 平面点法式方程：\(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)，其中 \((a, b, c)\) 为法向量
解题入口

方阵系统部分从齐次方程组只有零解出发，利用矩阵可逆性推导；平面方程部分先确定法向量，再代入点法式。

完成后检查

  • 方阵系统：验证所给条件是否足以保证 \(A\) 可逆。
  • 平面方程：将所给定点代入所得方程检验是否满足；检查法向量是否与平面内向量垂直。

站内等价练习。原资料仅给出教材题号 1H/3abc, 7; 12.4/23, 32, 50, 51; 1E/1abcde, 2, 6，未提供完整题面，故根据课程主题自拟等价练习。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/d58d48566a96c5cf4c44e447391e87d2_ps2.pdf · 1

题目 A-2 第 5 讲：直线与曲线的参数方程 Parametric equations for lines · Parametric equations for curves
站内等价练习可离线作答

以下是一组站内等价练习，覆盖直线与曲线的参数方程两个主题。

  1. （直线的参数方程）求过点 \(P(1, 2, -1)\) 且与直线 \(L: x = 2t,\; y = 1 - t,\; z = 3 + 2t\) 平行的直线参数方程。
  2. （曲线的参数方程）将曲线 \(x^2 + y^2 = 1\)（单位圆）用参数 \(t\)（表示从正 \(x\) 轴量起的角度）写成参数方程；再求该曲线上对应 \(t = \pi/4\) 的点处的切线参数方程。

公式与已知条件

  • 直线参数方程：\(\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}\)，其中 \(\mathbf{r}_0\) 为直线上一点，\(\mathbf{v}\) 为方向向量
  • 单位圆参数方程：\(x = \cos t,\; y = \sin t\)
解题入口

直线部分先取已知直线的方向向量，再代入新点；曲线部分利用三角恒等式写出参数式，再求导得切向量。

完成后检查

  • 直线：检验方向向量是否与已知直线平行，且所给点是否在所得直线上。
  • 曲线：验证参数方程是否满足原方程；检查切向量是否与半径向量垂直。

站内等价练习。原资料仅给出教材题号 1E/3abc, 4, 5; 1I/1, 3abd, 5，未提供完整题面，故根据课程主题自拟等价练习。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/d58d48566a96c5cf4c44e447391e87d2_ps2.pdf · 1

题目 A-3 第 6 讲：速度、加速度与开普勒第二定律 Velocity · Acceleration · Kepler's second law
站内等价练习可离线作答

以下是一组站内等价练习，覆盖速度、加速度与开普勒第二定律三个主题。

  1. （速度与加速度）质点的运动方程为 \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2, \sin t, e^t \rangle\)。求 \(t = 0\) 时的速度与加速度向量。
  2. （开普勒第二定律）行星绕太阳运动的轨道方程为 \(r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e \cos \theta}\)（椭圆，\(0 \le e < 1\)）。利用极坐标面积公式，证明单位时间内向径扫过的面积 \(\dfrac{dA}{dt}\) 为常数。

公式与已知条件

  • 速度 \(\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)\)，加速度 \(\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t)\)
  • 开普勒第二定律：\(\dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} r^2 \dfrac{d\theta}{dt} = \text{常数}\)
  • 极坐标面积微元：\(dA = \dfrac{1}{2} r^2 d\theta\)
解题入口

运动学部分直接对 \(\mathbf{r}(t)\) 求导；开普勒部分利用角动量守恒或极坐标面积微元推导。

完成后检查

  • 速度与加速度：代入 \(t = 0\) 后检查各分量计算是否正确。
  • 开普勒第二定律：验证 \(\dfrac{dA}{dt}\) 表达式中是否不含 \(\theta\)（即为常数）。

站内等价练习。原资料仅给出教材题号 12.5/3, 4, 33; 1J/1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10; 1K/3，未提供完整题面，故根据课程主题自拟等价练习。

主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/d58d48566a96c5cf4c44e447391e87d2_ps2.pdf · 1

题目 B-1 两条异面直线间的距离 Distance between skew lines · Parallel planes · Parametric equations · Perpendicularity
官方题面翻译可离线作答

已知四点 \(A(2, 4, 0)\)、\(B(3, 1, 1)\)、\(C(1, 1, 3)\)、\(D(0, 5, 1)\)。求直线 \((AB)\) 与 \((CD)\) 之间的距离，即两直线上最近点之间的距离。用以下两种方法求解：

  1. a) 求一对平行平面，使得第一个平面过直线 \((AB)\)，第二个平面过直线 \((CD)\)，且两平面互相平行。然后求这两平面之间的距离。
  2. b) 写出直线 \((AB)\) 与 \((CD)\) 的参数方程，并求出参数值使得连接 \((AB)\) 上一点 \(P_1\) 与 \((CD)\) 上一点 \(P_2\) 的线段同时垂直于两条直线。该线段的长度即为两直线之间的距离。
  3. 注意：由于 \(P_1\) 和 \(P_2\) 的位置可以独立选取，两条直线上的参数应允许独立变化（例如分别记为 \(t_1\) 和 \(t_2\)）。

公式与已知条件

  • 点 \(A(2, 4, 0)\)、\(B(3, 1, 1)\)、\(C(1, 1, 3)\)、\(D(0, 5, 1)\)
解题入口

方法 (a)：构造两个平行平面，各包含一条直线。方法 (b)：使用独立参数 \(t_1\)、\(t_2\)，利用与两个方向向量均垂直的条件。

完成后检查

  • 两种方法所得距离应一致。

官方题面翻译。原资料包含完整题面。

来源：study_materials/d58d48566a96c5cf4c44e447391e87d2_ps2.pdf · 1

题目 B-2 齿轮与弹性绳中点的运动 Parametric equations · Circular motion · Velocity · Acceleration
官方题面翻译可离线作答

一机械装置由两个圆形齿轮组成：一个半径为 \(2\)，中心在 \((0, -2)\)；另一个半径为 \(1\)，中心在 \((0, 1)\)。半径为 \(2\) 的齿轮以单位角速度（\(1\) 弧度/秒）顺时针旋转，半径为 \(1\) 的齿轮在接触点无滑动地逆时针旋转。两齿轮边缘各有一小钉，两钉之间由一根弹性绳连接。初始时刻，两钉均位于原点。

  1. a) 写出弹性绳中点 \(P\) 的运动参数方程。（使用向量；先将位置向量用更简单的向量表示，再用 \(t\) 表示每个向量。）
  2. b)（周二）将点 \(P\) 的速度表示为 \(t\) 的函数，并计算 \(t = 0\) 时的速度与加速度。

公式与已知条件

  • 齿轮 1：半径 \(2\)，中心 \((0, -2)\)，顺时针，\(1\) 弧度/秒
  • 齿轮 2：半径 \(1\)，中心 \((0, 1)\)，逆时针，无滑动
  • 初始钉位置：均位于原点
解题入口

用从齿轮中心到钉的向量表示中点位置；利用齿轮间无滑动的角速度关系。

完成后检查

  • 计算 \(t = 0\) 时的速度与加速度。

官方题面翻译。原资料包含完整题面。

来源：study_materials/d58d48566a96c5cf4c44e447391e87d2_ps2.pdf · 1

来源与改编说明

  • 原资料中教材与笔记（1H/3abc, 7; 12.4/23, 32, 50, 51; 1E/1abcde, 2, 6, 3abc, 4, 5; 1I/1, 3abd, 5; 12.5/3, 4, 33; 1J/1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10; 1K/3）的完整题面未提供。A 部分（A-1、A-2、A-3）已根据课程主题与阶段设计为站内等价练习；B 部分（B-1、B-2）为官方题面翻译。