MIT 18.02 · Problem Set 1
Problem Set 1: Vectors & Dot Product (向量与点积)
从立方体中的正四面体到三角形的垂心，用点积的代数定义与几何意义搭建向量直觉。
发布：2007-09-06
截止：2007-09-13
难度：入门
学习导读
这份作业是进入 18.02 的第一道门槛。它的核心任务是让你从「向量是有方向的箭头」这个直觉，过渡到「用分量做代数运算，再用几何定理读出方向关系」的双重语言。点积 (dot product) 是这把钥匙：代数上它只是分量乘积之和，几何上它却编码了长度、夹角与正交性。
目标：熟练运用 \(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) 与 \(\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\)，完成长度、夹角、投影、正交判定等基本计算，并在几何情境（四面体、三角形垂心、面积向量）中灵活切换代数与几何两种视角。
与课程的关系
- Lecture 1 (2007-09-06) — 向量与点积：向量、分量、长度、点积的代数与几何定义、余弦定理推导。
- Recitation — 向量加法、标量乘法：首尾相接与平行四边形法则、分量运算。
作业 Part A 大致按讲座进度分段（12.1 → 12.2 → 12.3 → Notes D, M），Part B 则综合运用这些工具处理更几何化的问题。
知识要点回顾
向量基本运算
向量 \(\vec{A}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle\) 的长度 (length) 由勾股定理给出：
\[|\vec{A}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\]
标量乘法 \(c\vec{A}\) 按分量逐个伸缩；向量加法 \(\vec{A}+\vec{B}\) 按分量逐个相加，几何上对应首尾相接或平行四边形法则。
点积的两种定义
代数定义：\(\vec{A}\cdot\vec{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)。
几何定义：\(\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\)，其中 \(\theta\) 为两向量夹角。
二者等价，由余弦定理证明。这个等价是整个作业的核心：代数用来算，几何用来想。
从点积读出几何信息
- 夹角：\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\)。若点积为正则锐角，负则钝角。
- 正交 (orthogonal)：\(\vec{A}\cdot\vec{B}=0\) ⇔ 两向量垂直（或其中一个是零向量）。
- 投影 (projection)：\(\vec{A}\) 在 \(\vec{B}\) 方向上的标量分量为 \(\displaystyle \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|}\)，向量分量为 \(\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{B}}\vec{A}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|^2}\,\vec{B}\)。
核心思想：只要问题涉及「是否垂直」「夹角多大」「沿某方向走多远」，就应当条件反射地想到点积。它是把几何问题翻译成代数计算的通用接口。
题目概览与解题策略
Problem 1：立方体中的正四面体 (Thursday, 5 pts)
单位立方体顶点 \((\pm1,\pm1,\pm1)\) 中，从 \((1,1,1)\) 出发选取四个两两不相邻的顶点，就得到一个内接正四面体 (regular tetrahedron)。关键观察：所选顶点之间恰好相差两个坐标符号。
- (a) 验证边长：对任意两顶点 \(\vec{p},\vec{q}\)，计算 \(|\vec{p}-\vec{q}|\) 并确认为常数。
- (b) 键角 (bond angle)：中心 \((0,0,0)\) 到两个顶点的向量用点积求夹角，\(\cos\theta = -1/3\)，约为 \(109.5^\circ\)。
- (c) 相邻边 vs. 对边：相邻边共用一个顶点，对边则不共用；用点积分别计算，再用对称性解释。
- (d) 面的面积：可用叉积 \(|\vec{B}\times\vec{C}|/2\)（周五学过），也可用底乘高除以二。
Problem 2：三角形的垂心 (Thursday, 3 pts)
设 \(P_1,P_2,P_3\) 为三角形顶点，\(P\) 为平面上任一点，\(\vec{v}_i=\overrightarrow{P_iP}\)。点 \(P\) 在从 \(P_1\) 出发的高线上 ⇔ \(\vec{v}_1\) 与对边向量 \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 垂直。
- (a) 用点积写出「\(P\) 在从 \(P_1\) 出发的高线上」的代数条件：\(\vec{v}_1\cdot\overrightarrow{P_2P_3}=0\)。
- (b) 设 \(P\) 是两条高线的交点，证明三个点积 \(\vec{v}_1\cdot\vec{v}_2=\vec{v}_1\cdot\vec{v}_3=\vec{v}_2\cdot\vec{v}_3\)。
- (c) 再由 (b) 的等式推出 \(P\) 也在第三条高线上 ⇒ 三高共点，即垂心 (orthocenter)。
注意：题目中的「高线」是整条过顶点且垂直于对边的直线，不只是垂线段。因此条件应是 \(\vec{v}_1\cdot(\overrightarrow{P_2P_3})=0\)，而不是 \(P\) 落在对边线段上。
Problem 3：四面体面积向量之和为零 (Friday, 3 pts)
设四面体一个顶点出发的三条棱向量为 \(\vec{A},\vec{B},\vec{C}\)。每个面的外法向面积向量等于相邻两面叉积的一半。
核心思想：不必引入坐标系。设从公共顶点出发的三条棱为 \(\vec{A},\vec{B},\vec{C}\)，则四个面的有向面积向量分别是 \(\frac12\vec{A}\times\vec{B}\)、\(\frac12\vec{B}\times\vec{C}\)、\(\frac12\vec{C}\times\vec{A}\)，以及对面的 \(\frac12(\vec{A}-\vec{B})\times(\vec{C}-\vec{B})\)（注意方向朝外）。四项相加后因叉积反对称性 \(\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}\) 而消为零。
Problem 4：正交矩阵 (Tuesday, 9 pts)
满足 \(AA^T=I\) 的方阵叫正交矩阵 (orthogonal matrix)，它保持向量长度与夹角。二阶情形只有两类：旋转 (rotation) 与反射 (reflection)。
- (a) 计算 \(A_\theta\hat{\imath},A_\theta\hat{\jmath}\) 并画图。
- (b) 用和角公式验证 \(A_{\theta_1}A_{\theta_2}=A_{\theta_1+\theta_2}\) —— 旋转的复合仍是旋转。
- (c) 验证 \(A_\theta^{-1}=A_\theta^T=A_{-\theta}\)，说明逆时针旋转 \(\theta\) 的逆是顺时针旋转 \(\theta\)。
- (d) 列出所有第一列为 \((-1/\sqrt2,\ast)^T\) 的正交矩阵：四个符号组合。
- (e) 把每个矩阵作用于字母 F，观察 \(\det A=+1\) 时为旋转（F 只是转），\(\det A=-1\) 时为反射（F 镜像翻转）。
注意：正交矩阵的行列式只能是 \(\pm1\)。\(\det=+1\) 对应旋转，\(\det=-1\) 对应反射。很多同学会忘记反射那一半。
Problem 5：矩阵与营养计算 (Tuesday, 7 pts)
矩阵 \(M\) (4×3) 把糕点数量向量映射为配料向量；矩阵 \(N\) (3×4) 把配料向量映射为营养素向量。
- (a) \(MX\) 的各个分量是面粉、糖、鸡蛋、黄油的克数。
- (b) 总营养值为 \(N(MX)=(NM)X\)，即 \(3\times3\) 矩阵乘以糕点向量。
- (c) 由 \(Y=(NM)X\) 得 \(X=(NM)^{-1}Y\)，用计算器求逆矩阵。
- (d) 代入每日推荐量，得到的解会出现负值 —— 说明仅靠这三种糕点无法同时满足三种营养目标。
核心思想：矩阵乘法对应线性映射的复合。这里 \(M\) 把「糕点」变「配料」，\(N\) 把「配料」变「营养」，乘积 \(NM\) 一步完成两个过程。
常见错误
- 点积 vs. 叉积混淆：点积给出标量，叉积给出向量。判断垂直用点积为零，求法向量用叉积。
- 方向向量未归一化就做投影：标量投影公式是 \(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|}\)，若忘记除以 \(|\vec{B}|\) 会得到错误结果。
- 四面体顶点选错：正四面体的四个顶点在立方体中应是两两之间相差两个坐标符号的顶点，而不是任意四个。
- 正交矩阵只写旋转：行列式为 \(-1\) 的反射也是正交矩阵，常被遗漏。
- 矩阵乘法的顺序：\(NM\) 与 \(MN\) 一般不同，因为 \(N\) 是 \(3\times4\)、\(M\) 是 \(4\times3\)，只有 \(NM\)（\(3\times3\)）才有意义。
知识检查
问题 1：若 \(\vec{A}\cdot\vec{B}=0\) 且两向量均非零，则两向量？
问题 2：\(\vec{A}=\langle 1,2,3\rangle\)，\(\vec{B}=\langle 2,1,1\rangle\)，则 \(\vec{A}\) 在 \(\vec{B}\) 方向上的标量投影是？
问题 3：向量 \(\vec{A}=\langle 1,1,1\rangle\) 与 \(\vec{B}=\langle 2,-1,0\rangle\) 的夹角是？
问题 4：设 \(A_\theta\) 为旋转矩阵，则 \(|A_\theta\hat{\imath}|\) 等于？
本作业要点
点积双视角
代数定义用来计算，几何定义用来读出夹角与正交性。
投影与分量
沿任意方向的分量 \(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|}\) 是把向量分解的基本工具。
面积向量
四面体各面的外法向面积向量之和为零，是 Stokes 定理的离散雏形。
正交矩阵
长度与夹角的保持者：\(\det=+1\) 为旋转，\(\det=-1\) 为反射。
矩阵复合
\(NM\) 把「糕点 → 配料 → 营养」两步并为一步。
一手资料
study_materials/ps1.pdf — Problem Set 1 官方题目book/12.1.pdf — 向量与向量代数book/12.2.pdf — 点积lecture_notes/week_01_summary.pdf — Lecture 1 讲义- 官方课程主页：MIT OCW 18.02
完整题目清单
共 9 道（组）中文题目。每题均包含完成作答所需的条件与子问；官方原文缺失时，会明确提供依据本地资料重建的题面或站内等价练习。全部作答条件均已在本页给出。
作答说明
- 截止时间：2007 年 9 月 13 日（周四）下午 12:45。
- A 部分（15 分）：只需交加下划线的题目；其余题目仅供额外练习。
- 记号说明：12.1/17 表示教材第 12.1 节第 17 题；1A/1 表示补充笔记第 1A 页第 1 题。
- B 部分（27 分）：请独立尝试每道题的每个小题。若与他人合作，解答仍须独立书写。严禁查阅以往学期的资料。
- 请写明你咨询或合作的所有人姓名，以及你所使用的资源；若没有，请写 "none" 或 "no consultation"。
- 鼓励合作，但须遵守：(a) 在寻求帮助前先独立尝试每道题的每个小题；(b) 用各自的语言独立书写每道题的解答；(c) 注明合作者与资料来源，否则可能面临抄袭指控；(d) 不得查阅以往学期的资料。
覆盖范围
- 向量：加法、标量乘法（12.1）
- 点积（12.2）
- 行列式、叉积（补充笔记 D、12.3）
- 矩阵与逆矩阵（补充笔记 M.1、M.2）
- 正四面体几何与键角
- 三角形的垂线与垂心
- 四面体各面的面积向量之和为零
- 正交矩阵、旋转与反射
- 线性变换在糕点营养建模中的应用
题目 A-Recitation
习题课：向量入门
Vectors: addition, scalar multiplication
站内等价练习可离线作答
本题为站内等价练习，题面完整自包含。请完成下列向量加法与标量乘法基础运算练习：
1. 已知向量 \(\mathbf{a} = \langle 2, -1, 3\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle -1, 4, 2\rangle\)，求 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)、\(3\mathbf{a}\) 与 \(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\)。
2. 已知向量 \(\mathbf{u} = \langle 5, -2, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 3, 0, -4\rangle\)，求 \(2\mathbf{u} + \mathbf{v}\)、\(-3\mathbf{u}\) 与 \(\mathbf{u} - \mathbf{v}\)。
3. 设 \(\mathbf{p} = \langle 1, 2, -3\rangle\)，\(\mathbf{q} = \langle -2, 1, 4\rangle\)，求 \(\mathbf{p} + 2\mathbf{q}\)、\(4\mathbf{p}\) 与 \(2\mathbf{p} - 3\mathbf{q}\)。
4. 设 \(\mathbf{r} = \langle -3, 2, 5\rangle\)，\(\mathbf{s} = \langle 4, -1, -2\rangle\)，求 \(\mathbf{r} + \mathbf{s}\)、\(-2\mathbf{r}\) 与 \(3\mathbf{r} - \mathbf{s}\)。
5. 已知 \(\mathbf{m} = \langle 2, -3, 1\rangle\)，\(\mathbf{n} = \langle -1, 5, -2\rangle\)，求 \(\mathbf{m} + \mathbf{n}\)、\(5\mathbf{m}\) 与 \(\mathbf{m} - 4\mathbf{n}\)。
6. 设 \(\mathbf{c} = \langle 4, 0, -3\rangle\)，\(\mathbf{d} = \langle -2, 5, 1\rangle\)，求 \(\mathbf{c} + \mathbf{d}\)、\(-3\mathbf{c}\) 与 \(2\mathbf{c} - \mathbf{d}\)。
7. 设 \(\mathbf{e} = \langle -1, 3, -2\rangle\)，\(\mathbf{f} = \langle 2, -4, 5\rangle\)，求 \(\mathbf{e} + \mathbf{f}\)、\(4\mathbf{e}\) 与 \(3\mathbf{e} - 2\mathbf{f}\)。
- 1. 已知向量 \(\mathbf{a} = \langle 2, -1, 3\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle -1, 4, 2\rangle\)，求 \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)、\(3\mathbf{a}\)、\(\mathbf{a} - 2\mathbf{b}\)。
- 2. 已知向量 \(\mathbf{u} = \langle 5, -2, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 3, 0, -4\rangle\)，求 \(2\mathbf{u} + \mathbf{v}\)、\(-3\mathbf{u}\)、\(\mathbf{u} - \mathbf{v}\)。
- 3. 设 \(\mathbf{p} = \langle 1, 2, -3\rangle\)，\(\mathbf{q} = \langle -2, 1, 4\rangle\)，求 \(\mathbf{p} + 2\mathbf{q}\)、\(4\mathbf{p}\)、\(2\mathbf{p} - 3\mathbf{q}\)。
- 4. 设 \(\mathbf{r} = \langle -3, 2, 5\rangle\)，\(\mathbf{s} = \langle 4, -1, -2\rangle\)，求 \(\mathbf{r} + \mathbf{s}\)、\(-2\mathbf{r}\)、\(3\mathbf{r} - \mathbf{s}\)。
- 5. 已知 \(\mathbf{m} = \langle 2, -3, 1\rangle\)，\(\mathbf{n} = \langle -1, 5, -2\rangle\)，求 \(\mathbf{m} + \mathbf{n}\)、\(5\mathbf{m}\)、\(\mathbf{m} - 4\mathbf{n}\)。
- 6. 设 \(\mathbf{c} = \langle 4, 0, -3\rangle\)，\(\mathbf{d} = \langle -2, 5, 1\rangle\)，求 \(\mathbf{c} + \mathbf{d}\)、\(-3\mathbf{c}\)、\(2\mathbf{c} - \mathbf{d}\)。
- 7. 设 \(\mathbf{e} = \langle -1, 3, -2\rangle\)，\(\mathbf{f} = \langle 2, -4, 5\rangle\)，求 \(\mathbf{e} + \mathbf{f}\)、\(4\mathbf{e}\)、\(3\mathbf{e} - 2\mathbf{f}\)。
公式与已知条件
- 向量加法定义：对应分量相加
- 标量乘法：各分量同乘该标量
解题入口只需交加下划线的题目；其余题目仅供额外练习。逐分量进行加法或标量乘法即可。
完成后检查
- 检查每个结果向量是否保持三维分量形式
- 验证标量乘法是否作用于每个分量
来源说明：原资料仅给出教材题号（12.1/17, 23, 45; 1A/1, 5, 6, 7, 8, 9, 11），未提供完整题面。本题根据向量加法与标量乘法这一课程阶段设计的自包含站内练习，非官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 1
题目 A-1
第 1 讲：点积
Dot product
站内等价练习可离线作答
本题为站内等价练习，题面完整自包含。请完成下列点积基础运算练习：
1. 已知 \(\mathbf{a} = \langle 1, 2, 2\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 3, 0, 4\rangle\)，求 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)、\(|\mathbf{a}|\)、\(|\mathbf{b}|\) 与两向量夹角的余弦值。
2. 已知 \(\mathbf{u} = \langle 2, -1, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 1, 3, -1\rangle\)，求 \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\) 并判断 \(\mathbf{u}\) 与 \(\mathbf{v}\) 是否垂直。
3. 设 \(\mathbf{p} = \langle 1, 1, 1\rangle\)，\(\mathbf{q} = \langle 1, -1, 0\rangle\)，求 \(\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}\)、夹角余弦，并判断是否垂直。
4. 设 \(\mathbf{r} = \langle 2, 0, -1\rangle\)，\(\mathbf{s} = \langle 1, 1, 2\rangle\)，求 \(\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}\) 与两向量夹角。
5. 求与向量 \(\mathbf{w} = \langle 3, 4\rangle\) 同方向、长度为 1 的单位向量。
6. 设 \(\mathbf{a} = \langle 1, 2, 2\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 2, -1, 2\rangle\)，求 \(\mathbf{b}\) 在 \(\mathbf{a}\) 方向上的投影向量。
7. 已知 \(\mathbf{u} = \langle 1, 0, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)，求夹角余弦，并求一个长度为 6、方向与 \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) 相同的向量。
- 1. 已知 \(\mathbf{a} = \langle 1, 2, 2\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 3, 0, 4\rangle\)，求 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)、\(|\mathbf{a}|\)、\(|\mathbf{b}|\) 与夹角余弦。
- 2. 已知 \(\mathbf{u} = \langle 2, -1, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 1, 3, -1\rangle\)，求点积并判断是否垂直。
- 3. 设 \(\mathbf{p} = \langle 1, 1, 1\rangle\)，\(\mathbf{q} = \langle 1, -1, 0\rangle\)，求点积、夹角余弦并判断是否垂直。
- 4. 设 \(\mathbf{r} = \langle 2, 0, -1\rangle\)，\(\mathbf{s} = \langle 1, 1, 2\rangle\)，求点积与夹角。
- 5. 求与 \(\mathbf{w} = \langle 3, 4\rangle\) 同向的单位向量。
- 6. 设 \(\mathbf{a} = \langle 1, 2, 2\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 2, -1, 2\rangle\)，求 \(\mathbf{b}\) 在 \(\mathbf{a}\) 上的投影向量。
- 7. 已知 \(\mathbf{u} = \langle 1, 0, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)，求夹角余弦，并求长度为 6、方向与 \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) 相同的向量。
公式与已知条件
- 点积公式：\(\langle a_1,a_2,a_3\rangle\cdot\langle b_1,b_2,b_3\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
- 夹角余弦：\(\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\)
- 投影公式：\(\operatorname{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2}\,\mathbf{a}\)
解题入口只需交加下划线的题目；其余题目仅供额外练习。先计算点积，再求模长与夹角。
完成后检查
- 两向量垂直当且仅当点积为零
- 单位向量长度应为 1；投影结果应与原向量方向一致
来源说明：原资料仅给出教材题号（1B/1, 2, 5ab, 11, 12, 13, 14），未提供完整题面。本题根据点积这一课程阶段设计的自包含站内练习，非官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 1
题目 A-2
第 2 讲：行列式、叉积
Determinants · Cross product
站内等价练习可离线作答
本题为站内等价练习，题面完整自包含。请完成下列行列式与叉积基础运算练习：
1. 计算行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}\) 与 \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}\)。
2. 已知 \(\mathbf{a} = \langle 1, 0, -1\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 2, 1, 3\rangle\)，求 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) 与 \(\mathbf{b}\times\mathbf{a}\)。
3. 设 \(\mathbf{u} = \langle 1, 1, 0\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)，求 \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) 并验证其同时垂直于 \(\mathbf{u}\) 与 \(\mathbf{v}\)。
4. 求以 \(\mathbf{p} = \langle 1,2,2\rangle\)、\(\mathbf{q} = \langle 3,0,4\rangle\) 为邻边的平行四边形面积。
5. 计算 \(\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}\)。
6. 设 \(\mathbf{a} = \langle 2, -1, 1\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 1, 3, -1\rangle\)，\(\mathbf{c} = \langle 0, 1, 2\rangle\)，求 \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\)（即标量三重积）。
7. 已知 \(\mathbf{u} = \langle 1, 0, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)，\(\mathbf{w} = \langle 1, 1, 0\rangle\)，求以它们为邻边的平行六面体体积。
- 1. 计算行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}\) 与 \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}\)。
- 2. 已知 \(\mathbf{a} = \langle 1, 0, -1\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 2, 1, 3\rangle\)，求 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) 与 \(\mathbf{b}\times\mathbf{a}\)。
- 3. 设 \(\mathbf{u} = \langle 1, 1, 0\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)，求 \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) 并验证其同时垂直于 \(\mathbf{u}\) 与 \(\mathbf{v}\)。
- 4. 求以 \(\mathbf{p} = \langle 1,2,2\rangle\)、\(\mathbf{q} = \langle 3,0,4\rangle\) 为邻边的平行四边形面积。
- 5. 计算 \(\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}\)。
- 6. 设 \(\mathbf{a} = \langle 2, -1, 1\rangle\)，\(\mathbf{b} = \langle 1, 3, -1\rangle\)，\(\mathbf{c} = \langle 0, 1, 2\rangle\)，求标量三重积。
- 7. 已知 \(\mathbf{u} = \langle 1, 0, 1\rangle\)，\(\mathbf{v} = \langle 0, 1, 1\rangle\)，\(\mathbf{w} = \langle 1, 1, 0\rangle\)，求平行六面体体积。
公式与已知条件
- 二阶行列式：\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
- 三阶行列式可沿第一行展开
- 叉积 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) 同时垂直于 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\)，方向由右手定则确定
- 平行四边形面积 = \(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|\)
- 标量三重积 \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\) = 平行六面体体积（取绝对值）
解题入口只需交加下划线的题目；其余题目仅供额外练习。行列式按行展开，叉积用分量公式计算。
完成后检查
- 叉积结果应与原向量分别做点积验证其为零（垂直）
- \(\mathbf{b}\times\mathbf{a} = -\,(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\)（反交换律）
来源说明：原资料仅给出教材题号（1C/1, 2, 3, 5a, 6, 7; 1D/1, 2, 3, 4, 5, 7），未提供完整题面。本题根据行列式与叉积这一课程阶段设计的自包含站内练习，非官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 1
题目 A-3
第 3 讲：矩阵与逆矩阵
Matrices · Inverse matrices
站内等价练习可离线作答
本题为站内等价练习，题面完整自包含。请完成下列矩阵乘法与逆矩阵基础运算练习：
1. 已知 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)，求 \(AB\) 与 \(BA\)。
2. 已知 \(C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)，\(D = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\)，求 \(CD\)。
3. 求 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)。
4. 求 \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵 \(B^{-1}\)。
5. 解矩阵方程 \(AX = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}\)，其中 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)。
6. 已知 \(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)，验证 \(M M^{-1} = I\)。
7. 设 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，求 \(P^{-1}\)。
- 1. 已知 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)，求 \(AB\) 与 \(BA\)。
- 2. 已知 \(C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)，\(D = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\)，求 \(CD\)。
- 3. 求 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
- 4. 求 \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
- 5. 解矩阵方程 \(AX = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}\)。
- 6. 已知 \(M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)，验证 \(M M^{-1} = I\)。
- 7. 设 \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，求 \(P^{-1}\)。
公式与已知条件
- 矩阵乘法的定义（行乘列法则）
- 二阶矩阵求逆公式：\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
- 三阶矩阵可通过行初等变换或伴随矩阵法求逆
解题入口只需交加下划线的题目；其余题目仅供额外练习。矩阵乘法按行乘列法则计算；逆矩阵用公式法或行变换。
完成后检查
- 验证 \(AA^{-1} = I\) 且 \(A^{-1}A = I\)
- 矩阵乘法一般不满足交换律，注意 \(AB\) 与 \(BA\) 可能不同
来源说明：原资料仅给出教材题号（1F/5ab, 8a, 9; 1G/3, 4, 5），未提供完整题面。本题根据矩阵与逆矩阵这一课程阶段设计的自包含站内练习，非官方原题。
主题依据（本站题面非官方原题）：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 1
题目 B-1
由正方体顶点构成的正四面体
Regular tetrahedron · Bond angle · Dot product angles · Area of a face
官方题面翻译可离线作答
一个以 \((0,0,0)\) 为中心、边长为 2 的正方体的八个顶点为 \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\)。
- a) 从 \((1,1,1)\) 出发，找出正方体的四个顶点，使它们构成一个正四面体。通过求出一条边的长度，并说明为何所有边长度相同，来验证你的答案。
- b) 甲烷分子的氢原子位于正四面体的各顶点，碳原子位于中心。求其"键角"，即从碳原子指向两个氢原子的向量之间的夹角（可使用计算器，结果取近似值）。
- c) 用点积求该正四面体中相邻两边（有公共顶点）之间的夹角，以及相对两边之间的夹角。利用对称性解释你的结论。
- d)（周五）求该正四面体一个面的面积。
公式与已知条件
- 正方体顶点：\((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\)，边长为 2
- 点积与夹角的关系：\(\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\)
- 三角形面积可用叉积的模计算
完成后检查
- 验证各边长度相等，以确认其为正四面体。
- 用计算器对键角取近似值。
来源说明：题面来自原资料，已翻译为中文。
来源：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 2
题目 B-2
垂线与垂心
Altitudes · Orthocenter · Dot product perpendicularity
官方题面翻译可离线作答
平面上有一三角形，顶点为 \(P_1, P_2, P_3\)。
- a) 设 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) 分别为从点 \(P_1, P_2, P_3\) 指向任意一点 \(P\) 的平面向量。用点积与这三个向量，表示点 \(P\) 位于三角形 \(P_1P_2P_3\) 从顶点 \(P_1\) 作出的高上的条件。（这里的高指通过顶点且垂直于对边的整条直线，而不仅仅是顶点到底边上的线段。）
- b) 设点 \(P\) 为从 \(P_1\) 和 \(P_2\) 作出的高的交点。证明 \(\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_3\)。
- c) 在 (b) 的条件下，证明 \(P\) 也在从 \(P_3\) 作出的高上。（因此三条高交于一点，该点称为垂心。）
公式与已知条件
- 两向量垂直当且仅当其点积为零
- 高是从顶点向对边所在直线所作垂线，方向与对边垂直
来源说明：题面来自原资料，已翻译为中文。
来源：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 2
题目 B-3
四面体的面积向量之和为零
Area vectors · Cross product · Vector sum
官方题面翻译可离线作答
在一般四面体的四个面上分别向外作法向量，每个向量方向朝外，长度等于该面的面积。求证：这四个向量的和为 \(\mathbf{0}\)。
- 提示：设 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\) 为从某一固定顶点出发的三条棱所对应的向量。将这四个面向量分别用 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\) 表示，并证明它们的和为零向量；不要引入坐标系。
公式与已知条件
- 三角形面积向量可表示为相邻边向量叉积的一半，方向由右手定则确定向外
- 叉积的分配律：\(\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \mathbf{u}\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\mathbf{w}\)
解题入口用边向量 \(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\) 的叉积表示每个面向外的面积向量。
来源说明：题面来自原资料，已翻译为中文。
来源：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 2
题目 B-4
正交矩阵
Orthogonal matrices · Rotations · Reflections · Determinant
官方题面翻译可离线作答
满足 \(AA^T = I\)（其中 \(I\) 为单位矩阵）的矩阵 \(A\) 称为正交矩阵。等价地也可定义为 \(A^T A = I\)，因为方阵的左逆与右逆相等（参见 1G-9b）。等式 \(AA^T = I\) 表示 \(A\) 的行向量互相垂直且长度为 1，而 \(A^T A = I\) 表示 \(A\) 的列向量互相垂直且长度为 1。正交矩阵的几何意义是：用正交矩阵乘一个向量，会保持向量的长度以及向量间夹角的绝对值不变，即 \(|A\mathbf{v}| = |\mathbf{v}|\)，\(|\angle(A\mathbf{v}, A\mathbf{w})| = |\angle(\mathbf{v}, \mathbf{w})|\)。正交矩阵分为两类：旋转与反射。
- a) 在二维空间中，旋转由矩阵 \(A_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\) 给出。求 \(\mathbf{u} = A_\theta\,\hat{\mathbf{i}}\) 与 \(\mathbf{v} = A_\theta\,\hat{\mathbf{j}}\)，并在坐标系中画出 \(\theta = \pi/4\) 时 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) 的图形（\(\hat{\mathbf{i}} = \langle 1,0\rangle\)，\(\hat{\mathbf{j}} = \langle 0,1\rangle\)）。
- b) 利用正弦和余弦的加法公式，推导 \(A_{\theta_1} A_{\theta_2} = A_{\theta_1+\theta_2}\)。用文字说明这个矩阵等式关于旋转的几何意义。
- c) 计算 \(A_\theta^{-1}\)，并用它验证 \(A_\theta A_\theta^T = I\)（即旋转是正交矩阵）。同时验证 \(A_\theta^{-1} = A_{-\theta}\)，并给出该性质成立的几何理由。
- d) 求所有满足 \(a_{11} = -1/\sqrt{2}\) 的正交 \(2\times 2\) 矩阵，共四个。提示：尝试不同的符号组合（参见 1F-9 与 1F-10）。
- e) 在你 (d) 中列出的每个矩阵旁边，描述该矩阵对平面中字母 \(F\) 的作用效果。解释矩阵行列式的符号与变换后字母 \(F\) 外形之间的关系。
公式与已知条件
- 旋转矩阵：\(A_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\)
- 保长保角性：\(|A\mathbf{v}| = |\mathbf{v}|\)，\(|\angle(A\mathbf{v}, A\mathbf{w})| = |\angle(\mathbf{v}, \mathbf{w})|\)
- 两角和的正弦、余弦加法公式
- 正交矩阵满足 \(AA^T = I\)
解题入口利用正弦、余弦的加法公式；对矩阵元素尝试不同的符号组合。
完成后检查
- 验证 \(A_\theta A_\theta^T = I\)。
- 验证 \(A_\theta^{-1} = A_{-\theta}\)。
来源说明：题面来自原资料，已翻译为中文。
来源：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 2-3
题目 B-5
糕点营养矩阵模型
Matrix multiplication · Linear systems · Nutrition modeling
官方题面翻译可离线作答
饼干、甜甜圈和牛角面包的原料基本相同（面粉、糖、鸡蛋、黄油），但比例不同。例如，制作一块饼干需要 22 克面粉，而一个甜甜圈需要 40 克，一个牛角面包需要 50 克。各种糕点的成分可用一个 \(4\times 3\) 矩阵 \(M = \begin{pmatrix} 22 & 40 & 50 \\ 18 & 10 & 3 \\ 5 & 14 & 5 \\ 10 & 10 & 22 \end{pmatrix}\) 表示，其中第 \(i\) 行的元素表示制作各类糕点所需的第 \(i\) 种原料的克数（\(i=1\) 为面粉，\(2\) 为糖，\(3\) 为鸡蛋，\(4\) 为黄油）。
- a) 设一批糕点包含 \(x_1\) 块饼干、\(x_2\) 个甜甜圈和 \(x_3\) 个牛角面包，记列向量 \(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\)。向量 \(MX\) 的各个分量分别表示什么？
- b) 每种原料都有特定的营养价值：例如，100 克面粉含 10 克蛋白质、76 克碳水化合物和 1 克脂肪。对四种原料同样处理，可构建一个 \(3\times 4\) 矩阵 \(N = \begin{pmatrix} 0.10 & 0 & 0.13 & 0 \\ 0.76 & 1.00 & 0.01 & 0 \\ 0.01 & 0 & 0.10 & 0.82 \end{pmatrix}\)，其中第 \(i\) 列的元素表示第 \(i\) 种原料中蛋白质、碳水化合物和脂肪所占的比例。给出 (a) 中这批糕点总营养价值的矩阵公式。（答案保留符号形式，不必代入数值计算。）
- c) 给出矩阵公式，表示各类糕点的数量 \(x_i\)，使其合计能提供 \(y_1\) 克蛋白质、\(y_2\) 克碳水化合物和 \(y_3\) 克脂肪。答案写成 \(X = AY\) 的形式，并给出 \(A\) 的公式及其各分量的数值（可使用计算器或 MATLAB）。
- d) 2000 千卡饮食的推荐每日摄入量为蛋白质 50 克、碳水化合物 300 克、脂肪 65 克。若只吃饼干、甜甜圈和牛角面包来遵循该标准，则每天应各吃多少？这个答案有什么问题？请解释。
公式与已知条件
- 糕点成分矩阵：\(M = \begin{pmatrix} 22 & 40 & 50 \\ 18 & 10 & 3 \\ 5 & 14 & 5 \\ 10 & 10 & 22 \end{pmatrix}\)
- 营养转换矩阵：\(N = \begin{pmatrix} 0.10 & 0 & 0.13 & 0 \\ 0.76 & 1.00 & 0.01 & 0 \\ 0.01 & 0 & 0.10 & 0.82 \end{pmatrix}\)
- 每日推荐摄入量：蛋白质 50 g、碳水化合物 300 g、脂肪 65 g
解题入口利用符号矩阵乘法；对于 \(X = AY\)，用计算器或 MATLAB 计算 \(A\)。
完成后检查
- 说明 \(MX\) 各分量的实际含义（原料总克数）。
- 关注糕点数量为负数或不合理的情形，并加以解释。
来源说明：题面来自原资料，已翻译为中文。
来源：study_materials/603eb9211b64157226c3d4376025a08b_ps1.pdf · 3-4
来源与改编说明
- 来源说明：A 部分（A-Recitation、A-1、A-2、A-3）原资料仅提供教材与补充笔记的题号，未给出完整题面，已根据各讲知识点设计为自包含的站内等价练习；B 部分（B-1 至 B-5）题面来自原资料，已完整翻译为中文。