球坐标
\(\rho\) 为到原点距离，\(\phi\) 为从 \(z\) 轴向下夹角，\(\theta\) 为经度。
MIT 18.02 · 第 26 课
引入球坐标 \((\rho,\phi,\theta)\)，推导体积元 \(dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)，并用它求球冠体积，最后把引力问题化为三重积分。
核心思想：球坐标是描述球对称问题的天然语言。\(\rho\) 控制"离原点多远"，\(\phi\) 控制"从北极点往下转多少"，\(\theta\) 控制"经度"。体积元多出的 \(\rho^2\sin\phi\) 来自球面上"小矩形"的两条边长。
球坐标 \((\rho,\phi,\theta)\) 与直角坐标的关系：
\[\rho = \text{到原点的距离},\quad \phi = \text{从正 }z\text{ 轴向下的夹角},\quad \theta = \text{与柱坐标相同的经度}.\]转换公式：
\[z = \rho\cos\phi,\qquad r = \rho\sin\phi,\]
\[x = \rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\phi\sin\theta,\qquad \rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]
几何直观：\(\phi\) 类似纬度，但 \(\phi=0\) 是北极，\(\phi=\pi/2\) 是赤道，\(\phi=\pi\) 是南极。
先看半径为 \(a\) 的球面上的面积元。在球面上取一个"小矩形"，对应角度变化 \(\Delta\phi\) 与 \(\Delta\theta\)：
因此球面面积元为
\[dS = a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta.\]核心思想：球面上不同纬度处，\(\theta\) 方向的"纬线圈"半径不同——在赤道（\(\phi=\pi/2\)）最大，在两极缩为点。这就是 \(\sin\phi\) 因子的来源。
对于体积元，再沿径向增加一层厚度 \(d\rho\)：
\[dV = d\rho\cdot dS = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.\]求单位球面 \(x^2+y^2+z^2\le 1\) 在平面 \(z=1/\sqrt{2}\) 上方的那部分体积。
在球坐标下，平面方程为 \(\rho\cos\phi = 1/\sqrt{2}\)，即 \(\rho = \sec\phi/\sqrt{2}\)。球面是 \(\rho=1\)。固定 \((\phi,\theta)\)，射线从平面进入、从球面离开，所以
\[\frac{\sec\phi}{\sqrt{2}}\le\rho\le1.\]平面 \(z=r\) 对应 \(\phi=\pi/4\)，所以 \(0\le\phi\le\pi/4\)，\(0\le\theta\le2\pi\)。于是
\[V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_{\sec\phi/\sqrt{2}}^{1} \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.\]计算可得
\[V = \frac{2\pi}{3}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = \frac{2\pi - \sqrt{2}\,\pi}{3}.\]注意：这个例子若用柱坐标或直角坐标会复杂得多。球坐标的优势在于：球面是 \(\rho=\text{常数}\)，锥面是 \(\phi=\text{常数}\)，都非常简单。
质量为 \(m\) 的质点位于原点，质量为 \(\Delta M\) 的质点在 \((x,y,z)\) 处。Newton 万有引力给出
\[|\vec F| = \frac{G\,\Delta M\,m}{\rho^2},\qquad \operatorname{dir}(\vec F) = \langle x,y,z\rangle,\]即
\[\vec F = \frac{G\,\Delta M\,m}{\rho^3}\langle x,y,z\rangle.\]对于密度为 \(\delta\) 的连续物体，把 \(\Delta M = \delta\,dV\) 代入并积分：
\[\vec F = Gm\iiint_R \frac{\langle x,y,z\rangle}{\rho^3}\,\delta\,dV,\qquad F_z = Gm\iiint_R \frac{z}{\rho^3}\,\delta\,dV.\]对称性简化：把物体放置得使 \(z\) 轴是对称轴，则 \(x,y\) 方向的分力抵消，只剩 \(F_z\)。再用球坐标：\(z=\rho\cos\phi\)，\(\rho^3\) 与分母约去一个 \(\rho^2\)，得到非常简洁的积分。
在球坐标下：
\[F_z = Gm\iiint_R \frac{\rho\cos\phi}{\rho^3}\,\delta\,\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = Gm\iiint_R \delta\cos\phi\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.\]定理（Newton）：均匀球壳（或均匀球体）对球外质点的引力，等价于全部质量集中在球心时的引力。
设半径为 \(a\) 的均匀球体（密度 \(\delta\)）与 \(xy\) 平面在原点相切，测试质点 \(m\) 位于原点。在过球心的竖直截面中，球面方程为 \(\rho = 2a\cos\phi\)（直径 \(2a\) 为斜边的内接直角三角形）。于是
\[F_z = Gm\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\phi} \delta\cos\phi\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta = Gm\delta\pi a = \frac{GMm}{a^2},\]其中 \(M = \dfrac{4}{3}\pi a^3\delta\) 是球体总质量。这正是把全部质量放在球心时的结果！
Newton 定理的深远意义：在计算行星间的引力时，可以把整个星球视为质点。这一定理是天体力学的基础。
问题 1：球坐标下的体积元 \(dV\) 是？
问题 2：单位球在平面 \(z=1/\sqrt{2}\) 上方的部分，\(\phi\) 的范围是？
问题 3：Newton 关于引力的定理指出，均匀球体对球外质点的引力等价于？
\(\rho\) 为到原点距离，\(\phi\) 为从 \(z\) 轴向下夹角，\(\theta\) 为经度。
\(dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\)，来自球面面积元乘径向厚度。
球面、锥面、半平面在球坐标下都是"坐标面"，积分限简单。
均匀球体对球外质点的引力等价于质量集中在球心。
lecture_notes/week_11_summary.pdfstudy_materials/gravitnl_attracn.pdf