MIT 18.02 · 第 21 课

Gradient Fields and Potential Functions (梯度场与势函数)

给出判断一个向量场是否为梯度场的检验法（\(N_x = M_y\)），并介绍两种求势函数的方法：线积分法和不定积分法。

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学习目标

• 掌握梯度场的检验法：\(\vec{F} = M\hat{\imath} + N\hat{\jmath}\) 是梯度场当且仅当 \(N_x = M_y\)（在平面上）。
• 会用两种方法求势函数 \(f\)：线积分法（方法 1）和不定积分法（方法 2）。
• 理解旋度（curl）的定义及其物理意义。

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梯度场的检验法

若 \(\vec{F} = M\hat{\imath} + N\hat{\jmath}\) 是梯度场，即存在 \(f\) 使得 \(M = f_x\)，\(N = f_y\)，则由混合偏导数相等：

\[ N_x = f_{yx} = f_{xy} = M_y \]

例题 1：判断

\(\vec{F} = -y\hat{\imath} + x\hat{\jmath}\)：\(N_x = 1\)，\(M_y = -1\)，不相等，所以不是梯度场。

例题 2：参数问题

对于哪些 \(a\)，\(\vec{F} = (4x^2 + axy)\hat{\imath} + (3y^2 + 4x^2)\hat{\jmath}\) 是梯度场？

\(N_x = 8x\)，\(M_y = ax\)，所以需要 \(a = 8\)。

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求势函数的两种方法

以 \(\vec{F} = (4x^2 + 8xy)\hat{\imath} + (3y^2 + 4x^2)\hat{\jmath}\)（取 \(a=8\)）为例。

方法 1：线积分法（FTC 逆用）

若 \(\vec{F} = \nabla f\)，则从 \((0,0)\) 到 \((x_1,y_1)\) 的线积分等于 \(f(x_1,y_1) - f(0,0)\)。选择最简单的路径：先沿 \(x\) 轴到 \((x_1,0)\)，再垂直到 \((x_1,y_1)\)。

沿 \(C_1\)：\(y=0\)，\(dy=0\)，\(0 \le x \le x_1\)：

\[ \int_{C_1} = \int_0^{x_1} 4x^2\,dx = \frac{4x_1^3}{3} \]

沿 \(C_2\)：\(x=x_1\)，\(dx=0\)，\(0 \le y \le y_1\)：

\[ \int_{C_2} = \int_0^{y_1} (3y^2 + 4x_1^2)\,dy = y_1^3 + 4x_1^2 y_1 \]

所以 \(f(x_1,y_1) = \frac{4x_1^3}{3} + y_1^3 + 4x_1^2 y_1 + c\)（\(c = f(0,0)\) 为任意常数）。

方法 2：不定积分法

要找 \(f\) 使得 \(f_x = 4x^2 + 8xy\)，\(f_y = 3y^2 + 4x^2\)。

第一步：对第一个方程关于 \(x\) 积分（视 \(y\) 为常数）：

\[ f = \frac{4x^3}{3} + 4x^2y + g(y) \]

其中 \(g(y)\) 是只依赖于 \(y\) 的"积分常数"。

第二步：对 \(y\) 求偏导并与第二个方程比较：

\[ f_y = 4x^2 + g'(y) = 3y^2 + 4x^2 \implies g'(y) = 3y^2 \implies g(y) = y^3 + c \]

第三步：代回得到

\[ f(x,y) = \frac{4x^3}{3} + 4x^2y + y^3 + c \]

与方法 1 的结果一致！

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旋度（Curl）

定义二维向量场的旋度（标量 curl）：

\[ \operatorname{curl}(\vec{F}) = N_x - M_y \]

物理意义

• 对于速度场，\(\operatorname{curl}(\vec{F})\) = 2×角速度（旋转分量）。
• 对于力场，\(\operatorname{curl}(\vec{F})\) = 施加在测试质量上的力矩，衡量场的旋转效应。

例子：

• \(\vec{F} = \langle a, b\rangle\)（平移）：curl = 0。
• \(\vec{F} = \langle x, y\rangle\)（膨胀）：curl = 0。
• \(\vec{F} = \langle -y, x\rangle\)（旋转）：curl = 2。

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知识检查

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本课要点

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一手资料

• lecture_notes/week_09_summary.pdf
• 官方课程主页：MIT OCW 18.02

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