决策顺序
根号 → 三角代换/配方；有理式 → 部分分式；乘积 → 分部积分
MIT 18.01 · 第 32 课
在第 33 课的第四次期中考试之前，这一课把 lecture 25–32 的积分技术串成一条线：三角代换、部分分式、分部积分，以及参数方程和极坐标下的弧长与面积。重点是识别题型、选择正确的技术——这是期中 4 真正要考的能力。
这是期中 4（第 33 课，覆盖 lecture 25–32）前的最后一堂新讲课。本课不引入新方法，而是通过综合练习把已有的积分技术打通：一道题可能需要先用部分分式拆分，再对每块做三角代换或配方，最后用分部积分收尾。
| 主题 | 对应 lecture | 核心工具 |
|---|---|---|
| 三角积分 | 25 | 半角公式、递推 |
| 直接代换 | 25 | u = g(x), du = g'(x)dx |
| 三角反代换与配方 | 27 | x = a sin/tan/sec u；配方 |
| 部分分式 | 28 | 长除法、覆盖法、三类积木 |
| 分部积分与递推 | 29 | ∫u dv = uv − ∫v du；LIATE |
| 参数方程、弧长、表面积 | 30 | ds = √(dx²+dy²)；2π·半径·ds |
| 极坐标与极坐标面积 | 31 | A = (1/2)∫r² dθ |
期中 4 公式表（考试时会印发）包含：三角恒等式、sec/tan/反三角的导数与积分公式。但不包含部分分式形状、递推公式、弧长和面积公式——这些必须自己熟记。
拿到一道积分题，按以下顺序判断：
∫ x·eˣ dx → 分部积分（代数 × 指数）。
∫ 1/(x²+4x+13) dx → 配方 → 反正切。
∫ √(x²+1) dx → 三角反代换 x = tan u。
∫ x²/(x²−1) dx → 长除 → 1 + 1/(x²−1) → 部分分式。
∫ eˣ sin x dx → 分部积分（循环型）。
∫ 1/((x²+1)(x−1)) dx。分母已是一次 × 不可约二次，设：
\[\frac{1}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}.\]覆盖法求 A：乘 \(x-1\)，令 \(x=1\)：\(A = 1/2\)。
令 x=0：\(1/(-1) = A/(-1) + C/1\) → \(−1 = −A + C\) → \(C = A − 1 = −1/2\)。
比较 x² 系数：0 = A + B → B = −A = −1/2。
积分：
\[\int\!\left(\frac{1/2}{x-1} + \frac{-x/2-1/2}{x^2+1}\right)dx = \frac12\ln|x-1| - \frac14\ln(x^2+1) - \frac12\tan^{-1}x + c.\]∫ x³ e^{x²} dx。先用代换 \(w=x²\)，\(dw=2x dx\)：
\[\int x^3 e^{x^2}\,dx = \frac12\int w e^w\,dw.\]再分部积分：\(u=w\)，\(dv=e^w dw\) → \(\frac12(w e^w - e^w)+c\)。回代 w=x²：
\[\frac12 e^{x^2}(x^2-1) + c.\]求摆线一拱（x = a(t−sin t), y = a(1−cos t), t∈[0,2π]）的弧长。
dx/dt = a(1−cos t)，dy/dt = a sin t。利用 \(1-\cos t = 2\sin^2(t/2)\)，\(\sin t = 2\sin(t/2)\cos(t/2)\)：
\[ds = \sqrt{a^2(1-\cos t)^2 + a^2\sin^2 t}\,dt = a\sqrt{2-2\cos t}\,dt = 2a|\sin(t/2)|\,dt.\]t∈[0,2π] 时 sin(t/2) ≥ 0：
\[L = \int_0^{2\pi} 2a\sin(t/2)\,dt = 2a\!\left[-2\cos(t/2)\right]_0^{2\pi} = 2a(2+2) = 8a.\]1. 该长除没长除。假分式直接拆部分分式是期中 4 最常扣分的错误。看到 deg(P) ≥ deg(Q) 立刻长除。
2. 部分分式漏项。重因式 \((x-a)^m\) 要写 m 项，不可约二次的分子必须是一次式。
3. 分部积分选错 u/dv。用 LIATE 快速判断；如果一次分部后更复杂，多半选反了。
4. 组合题分步拿分。期中 4 的综合题按步骤给分：即使最后答案错，部分分式拆对、代换写对、上下限代对都能拿分。不要跳步。
问题 1：∫ 1/((x−1)(x²+1)) dx 首选哪项技术？
问题 2：∫ x³/(x²+1) dx 的第一步是？
问题 3：摆线 x=a(t−sin t), y=a(1−cos t) 的 ds 化简后是？
问题 4：极坐标下求心形线 r = a(1+cos θ) 的面积，积分表达式应为？
根号 → 三角代换/配方；有理式 → 部分分式；乘积 → 分部积分
假分式必须先长除再拆部分分式
一道题可能需要多种技术依次使用
三角公式印发，其余公式（递推、极坐标面积等）需熟记
综合题按步骤给分，不要跳步