MIT 18.01 · 第 26 课
第三次期中考试
Exam 3 覆盖第 18–24 课，从定积分的定义一直考到数值积分。本页是考前复习指南：梳理考试范围、汇总核心公式、精练代表性习题（取自 prexam 3 复习题），并附自测quiz。请在有纸笔的环境下完成。
授课：Prof. David Jerison
日期：2006-11-07 · 1:05–1:55
难度：中等 → 较难
考试范围与题型
Exam 3 覆盖 Lecture 18–24，即从「定积分定义」到「数值积分」。根据 Exam 3 Review 官方提纲，题型分五类：
- 计算定积分：换元法、FTC 1。
- FTC 2 应用：\(\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) 的导数、图像、换元。
- 黎曼和、梯形与辛普森法则：用定义算极限，数值近似。
- 面积与体积：曲线间面积、旋转体体积（圆盘/垫圈/壳层）、一般切片。
- 累积量问题：平均值、概率、功。
注意：本课是第 25 课（三角函数积分）之后、考试前一天上的。三角函数积分不在 Exam 3 范围内（PS6 注明 Lec 25 的题目「due after Exam 3」）。
定积分基本性质
\[ \int_a^b f = -\int_b^a f,\quad
\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f,\quad
\int_a^b cf = c\int_a^b f,\quad
\Bigl|\int_a^b f\Bigr|\le\int_a^b |f|. \]
两个基本定理
\[ \text{FTC 1: }\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x). \]
\[ \text{FTC 2: }\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x). \]
面积与体积
\[ A = \int_a^b (\text{上}-\text{下})\,dx. \]
\[ V_{\text{圆盘}} = \int_a^b \pi R(x)^2\,dx,\quad
V_{\text{垫圈}} = \int_a^b \pi\bigl(R^2-r^2\bigr)\,dx,\quad
V_{\text{壳层}} = \int_a^b 2\pi x\,h(x)\,dx. \]
累积量
\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx,\quad
W = \int_a^b F(x)\,dx,\quad
P = \int_a^b p(x)\,dx. \]
数值积分（\(n\) 等份，\(h=(b-a)/n\)）
\[ T_n = \frac{h}{2}(y_0+2y_1+\dots+2y_{n-1}+y_n),\quad |E_T|\le\frac{(b-a)h^2}{12}M_2. \]
\[ S_n = \frac{h}{3}(y_0+4y_1+2y_2+\dots+4y_{n-1}+y_n),\quad |E_S|\le\frac{(b-a)h^4}{180}M_4. \]
对数定义
\[ \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t},\quad \ln(ab)=\ln a+\ln b. \]
代表性习题精练
以下题目改编自 prexam 3 复习题（Notes Exam 3 Review），覆盖五大题型。先尝试独立完成，再看提示。
A 类：计算定积分
A1：\(\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+3x}\)。
提示：令 \(u=1+3x\)，\(du=3dx\)，\(x=0,1\) 对应 \(u=1,4\)。答案：\(\frac13\ln 4 = \frac23\ln 2\)。
A2：\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x\sin 2x\,dx\)。
提示：\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)，被积函数 \(=2\sin x\cos^2 x\)，凑 \(u=\cos x\)。答案：\(2/3\)。
B 类：FTC 2 与变限积分
B1：设 \(\displaystyle F(x)=\int_0^x (3+\sin t)\,dt\)。
- (a) 不求显式公式，证明 \(F(1)\ge 2\)。
- (b) 判断 \(F(x)\) 在 \(0<x<1\) 上是凹 (concave up) 还是凸 (concave down)。
- (c) 把 \(\displaystyle \int_1^2 (3+\sin 2t)\,dt\) 用 \(F\) 的值表示。
解答：
- (a) 在 \([0,1]\) 上 \(\sin t\ge -1\)，故 \(3+\sin t\ge 2\)，积分 \(\ge 2\cdot 1 = 2\)。
- (b) \(F'(x)=3+\sin x\)，\(F''(x)=\cos x\)。在 \(0<x<1\)（弧度）内 \(\cos x>0\)，故 \(F''>0\)，图像凹 (concave up)。
- (c) 令 \(u=2t\)，则 \(\int_1^2 (3+\sin 2t)\,dt = \frac12\int_2^4 (3+\sin u)\,du = \frac12\bigl(F(4)-F(2)\bigr)\)。
B2：若 \(\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt = e^{2x}\cos x + c\)，求 \(f(t)\) 与常数 \(c\)。
解答：两边对 \(x\) 求导：\(f(x) = 2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x\)，故 \(f(t)=e^{2t}(2\cos t-\sin t)\)。令 \(x=0\)：左边 \(=0\)，右边 \(=1+c\)，故 \(c=-1\)。
C 类：体积
C1：玻璃花瓶由 \(y=\sqrt{x}\) 在第一象限绕 \(y\) 轴旋转而成（\(0\le x\le a\)）。用水平切片求体积。
解答：水平切片是半径 \(x=y^2\) 的圆盘（\(0\le y\le\sqrt a\)）：
\[ V = \int_0^{\sqrt a} \pi (y^2)^2\,dy = \pi\int_0^{\sqrt a} y^4\,dy = \frac{\pi (\sqrt a)^5}{5} = \frac{\pi a^{5/2}}{5}. \]
C2：冰淇淋筒（prexam 3 第 7 题）：圆锥高 5、底半径 1，顶点在原点、轴沿正 \(y\) 轴；顶部覆盖由 \(y=6-x^2\) 绕 \(y\) 轴旋转的抛物面。用壳层法求冰淇淋体积。
提示：圆锥母线方程 \(x = y/5\)（半径与高度成正比）。在 \(x\) 处壳层高度 = 抛物面 \(y=6-x^2\) 减去圆锥顶 \(y=5x\)（改写为 \(y\) 关于 \(x\)）。求两曲线交点定积分限，用壳层公式 \(2\pi x\cdot h(x)\) 积分。
D 类：平均值与概率
D1：矩形内接于半径为 \(a\) 的四分之一圆（\(x\in[0,a]\)），\(x\) 在 \([0,a]\) 上均匀随机选取，求矩形平均面积。
解答：矩形宽 \(x\)、高 \(\sqrt{a^2-x^2}\)，面积 \(A(x)=x\sqrt{a^2-x^2}\)。平均值：
\[ \frac{1}{a}\int_0^a x\sqrt{a^2-x^2}\,dx \overset{u=a^2-x^2}{=} \frac{1}{a}\cdot\frac12\int_0^{a^2} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3a}a^3 = \frac{a^2}{3}. \]
E 类：数值积分
E1：用梯形法则和辛普森法则（均取 \(n=2\)）近似 \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^6 x\,dx\)。
解答：节点 \(0,\pi/4,\pi/2\)，\(y_0=0,y_1=1/8,y_2=1\)。
- 梯形：\(T_2=\frac{\pi/4}{2}(0+2\cdot 1/8+1)=\frac{5\pi}{32}\approx 0.4909\)。
- 辛普森：\(S_2=\frac{\pi/4}{3}(0+4\cdot 1/8+1)=\frac{\pi}{8}\approx 0.3927\)。
考前提醒：高频失分点
壳层 vs 圆盘选错：绕 \(y\) 轴旋转时，若竖条高度表达式简单，优先用壳层法；若水平截面半径简单，用垫圈法。
- 换元忘换限：换元后立即改上下限，或代回原变量再代原限——两种都对，混用必错。
- 垫圈法「外减内」要平方：\(\pi(R^2-r^2)\)，不是 \(\pi(R-r)^2\)。
- 辛普森要求偶数段：\(n\) 必须是偶数。
- 有向面积 vs 总面积：题目问面积时，若曲线交叉必须分段取绝对值。
- FTC 2 链式法则：\(\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f = f(g(x))\,g'(x)\)。
- 数值近似的系数：梯形 \(1,2,\dots,2,1\)；辛普森 \(1,4,2,4,\dots,4,1\)。
模拟自测
问题 1：\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt = \)
问题 2：由 \(y=x\) 与 \(y=x^2\) 所围区域绕 \(x\) 轴旋转所得体积为
问题 3：粒子衰变概率密度 \(ae^{-at}\)，若半衰期为 1 秒，则 \(a=\)
问题 4：关于数值积分，下列叙述正确的是
本课要点
考试范围
Lecture 18–24（不含三角函数积分）
五大题型
定积分、FTC 2、数值、面积体积、累积量
核心技巧
换元、壳层/圆盘选择、辛普森偶数段
复习资源
Exam 3 Review + prexam 3 + PS5/PS6
参考资料
- Exam 3 Review（官方题型提纲，含单摆例题）
- prexam 3 复习题（9 道代表性习题，本页面已精选）
- PS5、PS6 全部习题与解答
- Notes PI、FT、AV（定积分性质、基本定理、平均值）